Przeczytaj

Dzieląc liczbę $2^{4}$ przez liczbę $2^{7}$ możemy zapisać kolejno
$\frac{2^{4}}{2^{7}} = \frac{2^{4}}{2^{4 + 3}} = \frac{2^{4}}{2^{4} \cdot 2^{3}}$ ,
co po uproszczeniu licznika i mianownika przez $2^{4}$ pozwala zapisać wynik w postaci $\frac{1}{2^{3}}$ .

Z drugiej strony, stosując wzór na dzielenie potęgpotęg o tych samych podstawach moglibyśmy zapisać
$\frac{2^{4}}{2^{7}} = 2^{4 - 7} = 2^{- 3}$ .

W ten sposób otrzymaliśmy więc równość
$2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}}$ .

Ten wstępny przykład jest ilustracją umowy, którą przyjmujemy określając potęgę niezerowej liczby rzeczywistej o wykładniku ujemnym.

potęga o wykładniku ujemnym

Definicja: potęga o wykładniku ujemnym

Niech $n$ będzie liczbą naturalną dodatnią. Potęgą liczby rzeczywistej $a \neq 0$ o wykładniku $(- n)$ nazywamy liczbę:

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

Ważne!

Zachodzi równość:

\frac{1}{a^{n}} = \frac{1^{n}}{a^{n}} = {(\frac{1}{a})}^{n}

więc liczbę $a^{- n}$ można również zdefiniować za pomocą równości:

a^{- n} = {(\frac{1}{a})}^{n}

Zatem dla dowolnych i różnych od zera liczb $a$ oraz $b$ prawdziwa jest równość:

{(\frac{a}{b})}^{- n} = \frac{1}{{(\frac{a}{b})}^{n}} = \frac{1}{\frac{a^{n}}{b^{n}}} = \frac{b^{n}}{a^{n}} = {(\frac{b}{a})}^{n}

Zauważmy, że dla liczby $a \neq 0$ i dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ zachodzi równość:

a^{n} \cdot a^{- n} = \frac{a^{n}}{a^{n}} = 1

Jednocześnie

a^{n} \cdot a^{- n} = a^{n - n} = a^{0}

co tłumaczy, dlaczego przyjmujemy $a^{0} = 1$ dla $a \neq 0$ .

Przykład 1

Bezpośrednio z definicji potęgi o wykładniku ujemnym oraz na podstawie podanych wyżej własności wynikają następujące równości:

$10^{- 4} = \frac{1}{10^{4}} = 0, 0001$

$2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}$

${(- \frac{1}{3})}^{- 3} = {(- 3)}^{3} = - 3^{3} = - 27$
${(- \frac{2}{5})}^{- 2} = {(- \frac{5}{2})}^{2} = {(\frac{5}{2})}^{2} = \frac{25}{4}$

${(- 0, 625)}^{- 100} \cdot {(- 2 \frac{14}{25})}^{- 50} = {(- \frac{5}{8})}^{- 100} \cdot {(- \frac{64}{25})}^{- 50} =$
$= {(- \frac{8}{5})}^{100} \cdot {(- \frac{25}{64})}^{50} = {({(\frac{8}{5})}^{2})}^{50} \cdot {(\frac{25}{64})}^{50} = {(\frac{64}{25} \cdot \frac{25}{64})}^{50} = 1^{50} = 1$ .

Jak widzimy z powyższych przykładów, działania na potęgach o wykładniku całkowitym dają się sprowadzić do operowania potęgami o wykładnikach naturalnych.
Tym sposobem można sprawdzić, że dla potęg o wykładnikach całkowitych prawdziwe są poniższe tożsamości.

bg‑gray1

Ważne!

Dla dowolnych i różnych od zera liczb rzeczywistych $a$ i $b$ oraz dowolnych liczb całkowitych $m$ i $n$ prawdziwe są wzory:

a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n - m}

a^{n} \cdot b^{n} = {(a \cdot b)}^{n}

a^{n} : b^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n}

Posługując się potęgami o wykładniku ujemnym, możemy w wygodny sposób zapisywać bardzo małe liczby.

Przykład 2

Zapiszemy podane wielkości z użyciem o potęg podstawie $10$ , pamiętając o zależnościach między jednostkami długości:

$1$ milimetr zapiszemy w decymetrach,
$10$ centymetrów zapiszemy w kilometrach,
$10$ mikrometrów zapiszemy w metrach,
$1$ nanometr zapiszemy w milimetrach.

Ponieważ:

$1 km = 10^{3} m$ , tzn. $1$ kilometr to $10^{3}$ metrów,

$1 m = 10^{9} nm$ , tzn. $1$ metr to $10^{9}$ nanometrów,

$1 m = 10^{6} μ m$ , tzn. $1$ metr to $10^{6}$ mikrometrów,

$1 m = 10^{3} mm$ , tzn. $1$ metr to $10^{3}$ milimetrów,

$1 m = 10^{2} cm$ , tzn. $1$ metr to $10^{2}$ centymetrów,

$1 m = 10^{1} dm$ , tzn. $1$ metr to $10^{1}$ decymetrów,

więc:

$1 mm = 10^{- 2} dm$ ,
$10 cm = 10^{- 4} km$ ,
$10 μm = 10^{- 5} m$ ,
$1 nm = 10^{- 6} mm$ .

Już wiesz

Jeśli liczba $x$ jest zapisana w postaci:

x = m \cdot 10^{k}

gdzie $m$ jest liczbą spełniającą nierówność $1 \leq m < 10$ , natomiast $k$ jest liczbą całkowitą, to mówimy, że liczba $x$ jest zapisana w notacji wykładniczej. Mówimy też wtedy, że liczba $x$ jest rzędu $10^{k}$ .

Przykład 3

Ułamek $0, 00000000000046$ zapisujemy w notacji wykładniczejnotacja wykładniczanotacji wykładniczej:

$0, 00000000000046 = 4, 6 \cdot 0, 0000000000001 = 4, 6 \cdot 10^{- 13}$ .

A zatem rozważany ułamek jest rzędu $10^{- 13}$ .

Przykład 4

RSN1NxmJH488m

Ilustracja przedstawia atom wodoru o wielkości 1,2·10-10 metra. W jego środku znajdują się protony o wielkości 1,6·10-15 metra.

Średnica protonu mierzona w metrach wynosi około $1, 6 \cdot 10^{- 15}$ .

Skoro potęgi o ujemnym wykładniku całkowitym są wygodną formą zapisu bardzo małych liczb, więc również opisując świat w mikroskali korzystamy z notacji wykładniczej.

Przykład 5

Atom ma rozmiary rzędu $10^{- 10} m$ , zaś jądro atomowe jest od niego $100000 = 10^{5}$ razy mniejsze. A zatem jądro atomowe ma rozmiary około:

$\frac{10^{- 10}}{10^{5}} = \frac{1}{10^{10}} \cdot \frac{1}{10^{5}} = \frac{1}{10^{15}} = 10^{- 15} m$ .

Przykład 6

Obliczymy, ile razy większa jest rozwielitka o długości $3 \cdot 10^{- 3} m$ od bakterii wielkości $2 \cdot 10^{- 6} m$ .

Mamy:

$\frac{3 \cdot 10^{- 3}}{2 \cdot 10^{- 6}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{10^{6}}{10^{3}} = 1500$ .

A zatem rozwielitka jest większa od bakterii $1500$ razy.

Przykład 7

Magda tworzy model Układu Słonecznego, z modelem Ziemi wielkości grejpfruta o średnicy $15 cm$ .
Jak duża powinna być w modelu Magdy kulka przedstawiająca Księżyc?

Zauważmy, że ponieważ w zaproponowanym przez Magdę modelu Układu Słonecznego Ziemia ma średnicę $0, 15 m$ , a w rzeczywistości jej średnica jest równa około $1, 3 \cdot 10^{7} m$ , więc Magda wykonuje model Układu Słonecznego w skali $s = \frac{0, 15}{1, 3 \cdot 10^{7}} \approx 0, 00000001153846154 \approx 1, 15 \cdot 10^{- 8}$ .

Posługując się zapisaną w notacji wykładniczej skalą $s$ obliczymy drugim sposobem, że w modelu Magdy:

średnica Księżyca powinna być równa (w metrach) w przybliżeniu
$1, 15 \cdot 10^{- 8} \cdot 3, 5 \cdot 10^{6} = (1, 15 \cdot 3, 5) \cdot 10^{- 8 + 6} =$
$= 4, 025 \cdot 10^{- 2} = 0, 04025$ ,
czyli około $4 cm$ ,

odległość Księżyca od Ziemi powinna być równa w przybliżeniu $1, 15 \cdot 10^{- 8} \cdot 3, 8 \cdot 10^{8} = (1, 15 \cdot 3, 8) \cdot 10^{- 8 + 8} = 4, 37$ ,
czyli około $4, 5 m$ .

Korzystając ze spostrzeżeń poczynionych powyżej obliczymy ponadto:

jaką wielkość powinna mieć kula przedstawiająca Słońce w modelu Magdy,
w jakiej odległości od grejpfruta przedstawiającego Ziemię powinna się ona znajdować.

Ponieważ Słońce ma średnicę około $1, 4 \cdot 10^{9} m$ i znajduje się $150$ milionów $km$ od Ziemi, więc w modelu Magdy:

kula przedstawiająca Słońce powinna mieć wielkość $1, 15 \cdot 10^{- 8} \cdot 1, 4 \cdot 10^{9} \approx 16, 10 (m)$
i powinna się ona znajdować w odległości od modelu Ziemi o $1, 15 \cdot 10^{- 8} \cdot 150 \cdot 10^{9} \approx 1730 (m)$ , czyli w odległości prawie dwóch kilometrów!

Na zakończenie pokażemy kilka przykładów ilustrujących poznane już wcześniej prawa działań na potęgach, tym razem stosowane z użyciem potęg o wykładniku ujemnym.

Przykład 8

Wykażemy, że $25 %$ liczby $8^{- 7}$ to $2^{- 23}$ .

Obliczamy:
$25 % \cdot 8^{- 7} = \frac{1}{4} \cdot {(2^{3})}^{- 7} = \frac{2^{- 21}}{2^{2}} = 2^{- 21 - 2} = 2^{- 23}$ . Koniec dowodu

Przykład 9

Iloraz $\frac{{(27^{- 4} + 81^{- 3} + 9^{- 6})}^{5}}{9^{22} + 18 \cdot 9^{20} - 10 \cdot 9^{21}}$ zapiszemy w postaci potęgi o podstawie $3$ .

Przekształcamy, korzystając z własności działań na potęgach:

$\frac{{(27^{- 4} + 81^{- 3} + 9^{- 6})}^{5}}{9^{22} + 18 \cdot 9^{20} - 10 \cdot 9^{21}} = \frac{{({(3^{3})}^{- 4} + {(3^{4})}^{- 3} + {(3^{2})}^{- 6})}^{5}}{9^{20} \cdot (9^{2} + 18 - 10 \cdot 9^{1})} =$
$= \frac{{(3^{3 \cdot (- 4)} + 3^{4 \cdot (- 3)} + 3^{2 \cdot (- 6)})}^{5}}{9^{20} \cdot (81 + 18 - 90)} = \frac{{(3^{- 12} + 3^{- 12} + 3^{- 12})}^{5}}{9^{20} \cdot 9} =$
$= \frac{{(3 \cdot 3^{- 12})}^{5}}{9^{20 + 1}} = \frac{{(3^{1 + (- 12)})}^{5}}{9^{21}} = \frac{{(3^{- 11})}^{5}}{{(3^{2})}^{21}} = \frac{3^{- 11 \cdot 5}}{3^{2 \cdot 21}} = \frac{3^{- 55}}{3^{42}} =$
$= 3^{- 55 - 42} = 3^{- 97}$ .

Przykład 10

Rozpatrzmy liczbę $n = 32^{- 4}$ . Obliczymy ile składników równych $n$ musi mieć suma, która jest równa $4^{- 5}$ .

Przyjmijmy, że $4^{- 5}$ jest sumą $k$ liczb równych $n$ , to znaczy że zachodzi równość
$k \cdot n = 4^{- 5}$ .
Wtedy:
$k \cdot 32^{- 4} = 4^{- 5}$ ,
skąd
$k = \frac{4^{- 5}}{32^{- 4}} = \frac{{(2^{2})}^{- 5}}{{(2^{5})}^{- 4}} = \frac{2^{- 10}}{2^{- 20}} = 2^{- 10 - (- 20)} = 2^{- 10 + 20} = 2^{10} = 1024$ .

Zatem rozpatrywana suma musi mieć $2^{10} = 1024$ składniki równe $n$ .

Słownik

potęga liczby rzeczywistej o wykładniku naturalnym

potęgą liczby rzeczywistej $a$ o wykładniku naturalnym $n \geq 2$ nazywamy liczbę $a^{n} = \underset{n czynników}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot . . . \cdot a}}$ .
Liczbę $a$ nazywamy podstawą potęgi. Ponadto przyjmujemy, że dla każdej liczby rzeczywistej $a^{1} = a$ oraz dla $a \neq 0$ , $a^{0} = 1$

notacja wykładnicza

jeśli liczba $x$ jest zapisana w postaci $x = m \cdot 10^{k}$ , gdzie $m$ jest liczbą spełniającą nierówność $1 \leq m < 10$ , natomiast $k$ jest liczbą całkowitą, to mówimy, że liczba $x$ jest zapisana w notacji wykładniczej.
Mówimy też wtedy, że liczba $x$ jest rzędu $10^{k}$

Wprowadzenie

Film edukacyjny

Słownik