1. PrzekrójprzekrójPrzekrój wyznaczony przez płaszczyznę zawierającą wysokość ściany bocznej i wysokość ostrosłupa.
RL7C3yB39f0Aq
Przekrojem jest trójkąt, którego podstawą jest wysokość podstawy ostrosłupa, a wysokością jest wysokość ostrosłupa. Jest to jednocześnie przekrój wyznaczony przez płaszczyznę zawierającą wysokość ściany bocznej i przeciwległą krawędź boczną.
2. PrzekrójprzekrójPrzekrój wyznaczony przez płaszczyznę zawierającą krawędź podstawy i przecinającą przeciwległą krawędź boczną.
RXVEXtQrlj3Ov
Przekrojem jest trójkąt równoramienny, którego podstawą jest krawędź podstawy, a wysokością odcinek łączący środek krawędzi podstawy z wierzchołkiem przekroju.
3. PrzekrójprzekrójPrzekrój wyznaczony przez płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzny podstawy.
Przekrojem w tym przypadku może być:
a) trójkąt, gdy płaszczyzna przechodzi przez jedną krawędź boczną,
R1cPbQBbQGSU6
b) trapez, gdy płaszczyzna przechodzi przez dwie krawędzie boczne.
R9ceCWHj8nx0M
4. PrzekrójprzekrójPrzekrój wyznaczony przez płaszczyznę przechodzącą przez wysokości dwóch sąsiednich ścian bocznych lub środki dwóch krawędzi podstawy oraz wierzchołek ostrosłupa.
RdIOobI5i5y52
Przekrojem jest trójkąt równoramienny, którego podstawą jest odcinek łączący środki krawędzi podstawy, a wysokością jest odcinek łączący środek tego odcinka z wierzchołkiem ostrosłupa.
5. PrzekrójprzekrójPrzekrój wyznaczony przez płaszczyznę przechodzącą przez trzy różne punkty należące do krawędzi ostrosłupa wychodzących z jednego wierzchołka.
RaccIRRBIwhx7
Przekrojem jest trójkąt, którego boki są zawarte odpowiednio w podstawie oraz ścianach bocznych ostrosłupa.
6. PrzekrójprzekrójPrzekrój wyznaczony przez płaszczyznę równoległą do płaszczyzny podstawy.
R1aPrBcPOEL24
Przekrojem jest trójkąt równoboczny, którego bokami są odcinki równoległe do krawędzi podstawy ostrosłupa. Przekrój ten dzieli ostrosłup prawidłowy trójkątny na dwie bryły: ostrosłup prawidłowy trójkątny i ostrosłup ścięty.
Przykład 1
Obliczmy pole przekroju ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wyznaczonego przez płaszczyznę przechodzącą przez wysokość ściany bocznej i przeciwległą krawędź boczną ostrosłupa, w którym krawędź boczna jest trzy razy dłuższa od wysokości ostrosłupa a krawędź podstawy ma długość .
Rozwiązanie:
Wykonajmy rysunek z odpowiednimi oznaczeniami.
R1XH7raBAjJSN
Zauważmy, że przekrojem ostrosłupa jest trójkąt , którego podstawą jest wysokość podstawy ostrosłupa, a wysokością jest wysokość ostrosłupa.
Chcąc obliczyć pole tego trójkąta należy wyznaczyć długość odcinka , który jest podstawą tego trójkąta oraz długość wysokości , czyli odcinka , który jest wysokością ostrosłupa i jednocześnie wysokością trójkąta.
Skoro długość krawędzi podstawy to , to wysokość podstawy ma długość .
Punkt dzieli odcinek na dwie części, z których dłuższa to .
Do obliczenia długości wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta :
,
,
,
,
.
Zatem pole przekroju wynosi: .
Przykład 2
Obliczmy pole przekroju ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wyznaczonego płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej, wiedząc, że krawędź podstawy ma długość , a krawędź boczna jest od niej dwa razy dłuższa, zaś cosinus kąta między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ostrosłupa wynosi .
Rozwiązanie:
Wykonajmy rysunek z odpowiednimi oznaczeniami.
RvtcKOptpBR0g
Zauważ, że przekrojem jest trójkąt równoramienny , którego podstawą jest krawędź podstawy ostrosłupa , a wysokością odcinek .
Chcąc obliczyć pole tego trójkąta należy wyznaczyć długość odcinka , który jest wysokością tego trójkąta. Długość odcinka wyznaczymy stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta , po uprzednim wyznaczeniu długości odcinka .
Wiemy, że , więc korzystając z twierdzenia cosinusów, dla trójkąta obliczymy długość odcinka :
,
,
,
,
.
Trójkąt jest prostokątny, więc stosując twierdzenie Pitagorasa mamy:
,
,
,
.
Zatem pole przekroju wynosi: .
Przykład 3
Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość , a pole podstawy jest równe . Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch krawędzi podstawy oraz wierzchołek ostrosłupa. Wykażemy, że pole otrzymanego przekroju jest większe od .
Rozwiązanie:
Wykonajmy rysunek z odpowiednimi oznaczeniami.
R15TkhyGMjikg
Zauważmy, że przekrojem jest trójkąt równoramienny , którego podstawą jest odcinek , a wysokością jest odcinek .
Chcąc obliczyć pole tego trójkąta należy wyznaczyć długość odcinka , który jest połową odcinka .
Oznaczmy odcinek , odcinek , odcinek .
Wiemy, że pole podstawy jest równe . Wykorzystamy wzór na pole trójkąta równobocznego.
,
,
,
.
Odcinek oraz .
Odcinek jest wysokością ściany bocznej, więc trójkąt jest prostokątny. Stosując twierdzenie Pitagorasa mamy:
,
,
,
.
Wiemy, że trójkąt jest równoramienny. Jego podstawą jest odcinek , a wysokością odcinek . Stosując twierdzenie Pitagorasa mamy:
,
,
,
,
.
Zatem pole przekroju wynosi: . Liczba ta jest większa niż , co kończy dowód.
Przykład 4
Ostrosłup prawidłowy trójkątny o polu podstawy przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi bocznych. Wyznaczymy pole otrzymanego przekroju.
Rozwiązanie
Wykonajmy rysunek z odpowiednimi oznaczeniami.
RKMXOCyuT9X6L
Wiemy, że punkty , , są środkami krawędzi bocznych ostrosłupa. Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wynika, że każdy z odcinków , , jest równoległy odpowiednio do odcinków , , oraz . Stąd wniosek, że trójkąty i są podobne (cecha bok, bok, bok), skala podobieństwa . Wiemy, że pola figur podobnych są w stosunku , , stąd .
Słownik
przekrój
przekrój
figura płaska będąca częścią wspólną trójwymiarowej bryły i płaszczyzny przecinającej tę bryłę.