Przeczytaj

Poznane dotychczas wzory opisujące pochodne funkcji elementarnychfunkcje elementarnefunkcji elementarnych będą znajdowały zastosowanie w optymalizacji. Najpierw jednak poznasz kolejne własności pojęcia pochodnej funkcji. Niniejsza lekcja pokaże w jaki sposób wyznaczać pochodne funkcji potęgowychfunkcja potęgowa o wykładniku $α$ funkcji potęgowych o dowolnym wykładniku rzeczywistym.

Jak już wiemy, jeśli $f$ jest funkcją potęgową postaci $f (x) = x^{n}$ , gdzie $n \in N$ , wówczas pochodna $f^{'}$ funkcji wyrażona jest za pomocą wzoru

f^{'} (x) = {(x^{n})}^{'} = n \cdot x^{n - 1}

Okazuje się, iż powyższy wzór pozostaje również prawdziwy dla funkcji potęgowych o dowolnym wykładniku rzeczywistym.

Pochodna funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym

Twierdzenie: Pochodna funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym

Niech $f$ będzie dowolną funkcją potęgową postaci $f (x) = x^{α}$ , gdzie $α \in R$ jest dowolnym wykładnikiem rzeczywistym. Wówczas pochodna funkcji $f$ wyraża się wzorem

f^{'} (x) = {(x^{α})}^{'} = α \cdot x^{α - 1}

Dowód

Korzystając z definicji pochodnej funkcji w punkciepochodna funkcji w punkciepochodnej funkcji w punkcie, udowodnimy powyższe twierdzenie dla szczególnego przypadku funkcji $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , czyli funkcji $f (x) = \sqrt{x}$ . Niech $x$ będzie dowolnym argumentem, dla którego funkcja $f$ jest określona. Wówczas $f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} = lim_{h \to 0} (\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}) =$ $= lim_{h \to 0} \frac{x + h - x}{h (\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} = lim_{h \to 0} \frac{h}{h (\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} = lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

Zatem ostatecznie $f^{'} (x) = {(\sqrt{x})}^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

Zauważ, że stosując wprowadzony wzór na pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym ${(x^{α})}^{'} = α \cdot x^{α - 1}$ do funkcji $f (x) = \sqrt{x}$ otrzymamy ten sam wynik. Wystarczy funkcję $f$ zapisać w postaci $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , aby otrzymać $f^{'} (x) = {(x^{\frac{1}{2}})}^{'} = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

Warto zwrócić uwagę na fakt użyteczności oraz możliwość obszernego zastosowania wprowadzonego powyżej wzoru. Za jego pomocą znaleźć możesz pochodne funkcji potęgowych nie tylko o wykładniku naturalnym, ale także pochodne funkcji potęgowych o wykładniku całkowitym ujemnym, jak na przykład $y = \frac{1}{x^{2}}$ , bądź pochodne funkcji potęgowych o wykładniku wymiernym, jak na przykład $y = \sqrt{x}$ czy $y = \sqrt[3]{x}$ .

Rozpoczniemy od wyznaczenia pochodnych wybranych funkcji potęgowych o wykładniku całkowitym ujemnym.

Przykład 1

Korzystając z wzoru na pochodną funkcji potęgowej, znajdziemy pochodną funkcji $f (x) = \frac{1}{x}$ dla $x \neq 0$ .

Rozwiązanie

Najpierw zapiszmy funkcję $f$ jako $f (x) = x^{- 1}$ . Zauważmy, że wykładnik $α = - 1$ , zatem $f^{'} (x) = {(\frac{1}{x})}^{'} = {(x^{- 1})}^{'} = - 1 \cdot x^{- 1 - 1} = - x^{- 2} = - \frac{1}{x^{2}}$ .

Przykład 2

Rozważmy funkcję $f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ . Znajdziemy pochodną funkcji $f$ w dowolnym punkcie $x \neq 0$ .

Rozwiązanie

Zauważ, że funkcję $f$ możemy zapisać w postaci $f (x) = x^{- 3}$ , gdzie wykładnik $α = - 3$ . Korzystając z wzoru na pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym, otrzymamy $f^{'} (x) = {(x^{- 3})}^{'} = - 3 \cdot x^{- 3 - 1} = - 3 x^{- 4} = - \frac{3}{x^{4}}$ .

Kolejne funkcje, których pochodne wyznaczymy za pomocą powyższego wzoru, to funkcje potęgowe o wykładniku wymiernym dodatnim.

Przykład 3

Znajdziemy pochodną funkcji $f (x) = \sqrt[4]{x}$ dla $x \geq 0$ .

Rozwiązanie

Funkcję $f$ zapiszemy w postaci $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ , gdzie wykładnik $α = \frac{1}{4}$ .

Pochodna funkcji $f$ będzie postaci $f^{'} (x) = {(x^{\frac{1}{4}})}^{'} = \frac{1}{4} \cdot x^{\frac{1}{4} - 1} = \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} = \frac{1}{4 \sqrt[4]{x^{3}}}$ .

Przykład 4

Wyznaczymy pochodną funkcji $f (x) = \sqrt[5]{x^{9}}$ dla $x \in R$ .

Rozwiązanie

W tym celu funkcję $f$ należy zapisać jako $f (x) = x^{\frac{9}{5}}$ , aby otrzymać $f^{'} (x) = {(x^{\frac{9}{5}})}^{'} = \frac{9}{5} \cdot x^{\frac{9}{5} - 1} = \frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} = \frac{9 \sqrt[5]{x^{4}}}{5}$ .

Na koniec wyznaczymy pochodne wybranych funkcji potęgowych o wykładniku wymiernym ujemnym.

Przykład 5

Znajdziemy pochodną funkcji $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ .

Rozwiązanie

Funkcję $f$ zapiszemy jako $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ , gdzie wykładnik $α = - \frac{1}{2}$ . Zatem pochodna $f^{'}$ funkcji $f$ będzie równa $f^{'} (x) = {(x^{- \frac{1}{2}})}^{'} = - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1} = - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} = - \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}}}$ .

Przykład 6

Rozważmy funkcję $f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{7}}}$ . Chcemy wyznaczyć pochodną tej funkcji korzystając z wzoru na pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym.

Rozwiązanie

Zapiszemy najpierw funkcję $f$ w postaci $f (x) = x^{- \frac{7}{3}}$ . Zauważ, że wówczas wykładnik $α = - \frac{7}{3}$ . Stosując się do wprowadzonego powyżej wzoru, otrzymamy $f^{'} (x) = {(x^{- \frac{7}{3}})}^{'} = - \frac{7}{3} \cdot x^{- \frac{7}{3} - 1} = - \frac{7}{3} x^{- \frac{10}{3}} = - \frac{7}{3 \sqrt[3]{x^{10}}}$ .

Słownik

funkcje elementarne

funkcje, które możemy otrzymać z tak zwanych podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych, składania oraz odwracania funkcji. Do podstawowych funkcji elementarnych należą:

funkcje stałe
funkcje potęgowe
funkcje wykładnicze
funkcje logarytmiczne
funkcje trygonometryczne

funkcja potęgowa o wykładniku

α

funkcja potęgowa o wykładniku

α

funkcja określona wzorem $f (x) = x^{α}$ . Dziedzina funkcji potęgowej zależy od wykładnika $α$

pochodna funkcji w punkcie

granica właściwa ilorazu różnicowego

f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Słownik