Przeczytaj

Poznane dotychczas wzory opisujące pochodne funkcji elementarnychfunkcje elementarnefunkcji elementarnych będą znajdowały zastosowanie w optymalizacji. Najpierw jednak poznasz kolejne własności pojęcia pochodnej funkcji. Niniejsza lekcja pokaże w jaki sposób wyznaczać pochodne funkcji potęgowychfunkcja potęgowa o wykładniku $\alpha$ funkcji potęgowych o dowolnym wykładniku rzeczywistym.

Jak już wiemy, jeśli $f$ jest funkcją potęgową postaci $f\left(x\right)=x^n$ , gdzie $n\in\mathbb{N}$ , wówczas pochodna $f'$ funkcji wyrażona jest za pomocą wzoru

$f'\left(x\right)=\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}$ .

Okazuje się, iż powyższy wzór pozostaje również prawdziwy dla funkcji potęgowych o dowolnym wykładniku rzeczywistym.

Pochodna funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym

Twierdzenie: Pochodna funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym

Niech $f$ będzie dowolną funkcją potęgową postaci $f\left(x\right)=x^\alpha$ , gdzie $\alpha\in\mathbb{R}$ jest dowolnym wykładnikiem rzeczywistym. Wówczas pochodna funkcji $f$ wyraża się wzorem

$f'\left(x\right)=\left(x^\alpha\right)'=\alpha\cdot x^{\alpha-1}$ .

Dowód

Korzystając z definicji pochodnej funkcji w punkciepochodna funkcji w punkciepochodnej funkcji w punkcie, udowodnimy powyższe twierdzenie dla szczególnego przypadku funkcji $f\left(x\right)=x^\frac12$ , czyli funkcji $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ . Niech $x$ będzie dowolnym argumentem, dla którego funkcja $f$ jest określona. Wówczas $f'\left(x\right)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\left(\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\right)=$ $=\lim\limits_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{h}{h\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Zatem ostatecznie $f'\left(x\right)=\left(\sqrt{x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Zauważ, że stosując wprowadzony wzór na pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym $\left(x^\alpha\right)'=\alpha\cdot x^{\alpha-1}$ do funkcji $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ otrzymamy ten sam wynik. Wystarczy funkcję $f$ zapisać w postaci $f\left(x\right)=x^\frac12$ , aby otrzymać $f'\left(x\right)=\left(x^\frac12\right)'=\frac12\cdot x^{\frac12-1}=\frac12\cdot x^{-\frac12}=\frac12\cdot\frac{1}{x^\frac12}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Warto zwrócić uwagę na fakt użyteczności oraz możliwość obszernego zastosowania wprowadzonego powyżej wzoru. Za jego pomocą znaleźć możesz pochodne funkcji potęgowych nie tylko o wykładniku naturalnym, ale także pochodne funkcji potęgowych o wykładniku całkowitym ujemnym, jak na przykład $y=\frac{1}{x^2}$ , bądź pochodne funkcji potęgowych o wykładniku wymiernym, jak na przykład $y=\sqrt{x}$ czy $y=\sqrt[3]{x}$ .

Rozpoczniemy od wyznaczenia pochodnych wybranych funkcji potęgowych o wykładniku całkowitym ujemnym.

Przykład 1

Korzystając z wzoru na pochodną funkcji potęgowej, znajdziemy pochodną funkcji $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ dla $x\neq 0$ .

Rozwiązanie

Najpierw zapiszmy funkcję $f$ jako $f\left(x\right)=x^{-1}$ . Zauważmy, że wykładnik $\alpha=-1$ , zatem $f'\left(x\right)=\left(\frac{1}{x}\right)'=\left(x^{-1}\right)'=-1\cdot x^{-1-1}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$ .

Przykład 2

Rozważmy funkcję $f\left(x\right)=\frac{1}{x^3}$ . Znajdziemy pochodną funkcji $f$ w dowolnym punkcie $x\neq 0$ .

Rozwiązanie

Zauważ, że funkcję $f$ możemy zapisać w postaci $f\left(x\right)=x^{-3}$ , gdzie wykładnik $\alpha=-3$ . Korzystając z wzoru na pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym, otrzymamy $f'\left(x\right)=\left(x^{-3}\right)'=-3\cdot x^{-3-1}=-3x^{-4}=-\frac{3}{x^4}$ .

Kolejne funkcje, których pochodne wyznaczymy za pomocą powyższego wzoru, to funkcje potęgowe o wykładniku wymiernym dodatnim.

Przykład 3

Znajdziemy pochodną funkcji $f\left(x\right)=\sqrt[4]{x}$ dla $x\geq 0$ .

Rozwiązanie

Funkcję $f$ zapiszemy w postaci $f\left(x\right)=x^\frac14$ , gdzie wykładnik $\alpha=\frac14$ .

Pochodna funkcji $f$ będzie postaci $f'\left(x\right)=\left(x^\frac14\right)'=\frac14\cdot x^{\frac14-1}=\frac14x^{-\frac34}=\frac1{4\sqrt[4]{x^3}}$ .

Przykład 4

Wyznaczymy pochodną funkcji $f\left(x\right)=\sqrt[5]{x^9}$ dla $x\in\mathbb{R}$ .

Rozwiązanie

W tym celu funkcję $f$ należy zapisać jako $f\left(x\right)=x^\frac95$ , aby otrzymać $f'\left(x\right)=\left(x^\frac95\right)'=\frac95\cdot x^{\frac95-1}=\frac95 x^\frac45=\frac{9\sqrt[5]{x^4}}5$ .

Na koniec wyznaczymy pochodne wybranych funkcji potęgowych o wykładniku wymiernym ujemnym.

Przykład 5

Znajdziemy pochodną funkcji $f\left(x\right)=\frac1{\sqrt{x}}$ .

Rozwiązanie

Funkcję $f$ zapiszemy jako $f\left(x\right)=x^{-\frac12}$ , gdzie wykładnik $\alpha=-\frac12$ . Zatem pochodna $f'$ funkcji $f$ będzie równa $f'\left(x\right)=\left(x^{-\frac12}\right)'=-\frac12 x^{-\frac12-1}=-\frac12 x^{-\frac32}=-\frac1{2\sqrt{x^3}}$ .

Przykład 6

Rozważmy funkcję $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^7}}$ . Chcemy wyznaczyć pochodną tej funkcji korzystając z wzoru na pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym.

Rozwiązanie

Zapiszemy najpierw funkcję $f$ w postaci $f\left(x\right)=x^{-\frac73}$ . Zauważ, że wówczas wykładnik $\alpha=-\frac73$ . Stosując się do wprowadzonego powyżej wzoru, otrzymamy $f'\left(x\right)=\left(x^{-\frac73}\right)'=-\frac73\cdot x^{-\frac73-1}=-\frac73 x^{-\frac{10}3}=-\frac7{3\sqrt[3]{x^{10}}}$ .

Słownik

funkcje elementarne

funkcje, które możemy otrzymać z tak zwanych podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych, składania oraz odwracania funkcji. Do podstawowych funkcji elementarnych należą:

funkcje stałe
funkcje potęgowe
funkcje wykładnicze
funkcje logarytmiczne
funkcje trygonometryczne

funkcja potęgowa o wykładniku $\alpha$

funkcja określona wzorem $f\left(x\right)=x^\alpha$ . Dziedzina funkcji potęgowej zależy od wykładnika $\alpha$

pochodna funkcji w punkcie

granica właściwa ilorazu różnicowego

$f'\left(x\right)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Słownik