Wykres funkcji $\left|f\left(x\right)\right|$ otrzymujemy przez odbicie symetryczne względem osi $X$ tej części wykresu funkcji $f\left(x\right)$, która znajduje się pod osią $X$.

Na podstawie wykresu funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=\left|{\left(\frac{1}{3}\right)}^x-3\right|$ wyznaczymy:

a) zbiór wartości tej funkcji,

b) miejsce zerowe,

c) przedziały monotoniczności.

Wykres funkcji $f\left(x\right)$ wygląda następująco:

R57b1ZWgPVxG8

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący krzywą biegnącą niemal pionowo w dół od minus nieskończoności w drugiej ćwiartce do punktu nawias minus 1 średnik 0 zamknięcie nawiasu. Z tego punktu wykres odbija łukowato do wyróżnionego zamalowaną kropką punktu nawias 0 średnik 2 zamknięcie nawiasu i biegnie dalej wypłaszczonym łukiem do plus nieskończoności w pierwszej ćwiartce. Część wykresu w pierwszej ćwiartce wypłaszcza się do prostej y równa się trzy.

Rozwiązania:

a) zbiorem wartości tej funkcji jest przedział $⟨0,\infty )$,

b) miejscem zerowym jest liczba $(-1)$,

c) funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty ,-1⟩$ oraz rosnąca w przedziale $⟨-1,\infty )$.

Na wykresie przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=\left|{\left(\frac{1}{4}\right)}^x-1\right|$.

R1NqNx4Ddxhcl

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do sześciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący krzywą biegnącą niemal pionowo w dół od minus nieskończoności w drugiej ćwiartce do punktu wyróżnionego zamalowaną kropką nawias 0 średnik 0 zamknięcie nawiasu. Z tego punktu wykres odbija łukowato w prawo i biegnie dalej wypłaszczonym łukiem do plus nieskończoności w pierwszej ćwiartce. Część wykresu w pierwszej ćwiartce wypłaszcza się do poziomej y równa się jeden.

Korzystając z wykresu funkcji, wyznaczymy:

a) argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości większe od $3$,

b) przedziały monotoniczności tej funkcji,

c) liczbę rozwiązań równania $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Rozwiązania:

a) $f\left(x\right)>3$ dla $x\in \left(-\infty ,-1\right)$,

b) funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty ,0⟩$ i rosnąca w przedziale $⟨0,\infty )$,

c) rozwiązanie równania $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ sprowadza się do odczytania, dla ilu argumentów funkcja przyjmuje wartość $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Z wykresu funkcji możemy odczytać, że istnieją dwa takie argumenty, zatem powyższe równanie ma dwa rozwiązania.

Na podstawie wykresu funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=\left|2^x-2\right|$ określimy liczbę rozwiązań równania $f\left(x\right)=m$, w zależności od parametru $m\in \mathrm{ℝ}$.

RquYZ5llWTHiC

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący łukowatą krzywą biegnącą w drugiej ćwiartce. Ta część wykresu w minus nieskończoności wypłaszcza się do poziomu y równa się dwa. Krzywa ta przecina oś Y w punkcie nawias 0 średnik 1 zamknięcie nawiasu. Z tego punktu wykres biegnie do punktu nawias 1 średnik 0 zamknięcie nawiasu. W tym punkcie wykres odbija do góry i biegnie niemal pionowo w pierwszej ćwiartce.

Równanie $f\left(x\right)=m$, gdzie $m\in \mathrm{ℝ}$ posiada:

• $0$ rozwiązań, gdy $m\in \left(-\infty ,0\right)$,

• $1$ rozwiązanie, gdy $m\in \left\{0\right\}\cup ⟨2,\infty )$,

• $2$ rozwiązania, gdy $m\in \left(0,2\right)$.

funkcja określona wzorem $f\left(x\right)=a^x$, gdzie $a\in \left(0,1\right)\cup \left(1,\infty \right)$ oraz $x\in \mathrm{ℝ}$

odbicie symetryczne względem osi $X$ tej części wykresu, która znajduje się pod osią $X$