Przeczytaj

W zależności od tego, w jakiej odległości od prostej znajduje się środek okręgu, możliwe są trzy sytuacje przedstawione poniżej.

R3FlUWNOh1CNY

Rysunek przedstawia trzy możliwe położenia okręgu i prostej. Pierwsze to sytuacja, gdy prosta i okrąg są rozłączne. Wtedy odległość d między środkiem okręgu O a prostą k jest większa, niż długość promienia okręgu r. Odległość d wyprowadzona jest ze środka okręgu w taki sposób, że jest prostopadła do prostej k. Druga możliwość to sytuacja, gdy prosta i okrąg są styczne. Figury mają wtedy jeden punkt wspólny, jest to punkt styczności. Wtedy odległość d jest równa promieniowi r i oczywiście odległość jest poprowadzona ze środka okręgu i odcinek d jest prostopadły do prostej. Trzecia sytuacja, to gdy okrąg i prosta się przecinają. Mają wtedy dwa punkty wspólne, są to punkty przecięcia, a prostopadła do prostej odległość d jest mniejsza od długości promienia okręgu r.

Widzimy, że okrąg o promieniu $r$ jest styczny do prostej w punkcie $A$ tylko wtedy, gdy jego środek leży dokładnie w odległości $r$ od prostej, czyli wówczas, gdy odcinek $O A$ jest promieniem okręgu prostopadłymproste prostopadłeprostopadłym do prostej.

o prostej stycznej do okręgu

Twierdzenie: o prostej stycznej do okręgu

Jeśli na płaszczyźnie dane są prosta i okrąg, to prosta jest styczna do okręgu o promieniu $r$ wtedy i tylko wtedy, gdy środek tego okręgu jest odległy od prostej o $r$ .

Już wiesz

Odległością $d$ punktu $O$ od prostej $k$ nazywamy długość najkrótszego odcinka $O A$ , którego koniec $A$ leży na prostej $k$ . Odcinek $O A$ jest prostopadły do prostej $k$ .

RqwHFE4byJFX9

Rysunek przedstawia wzajemne położenie środka okręgu O oraz poziomej prostej k. Z punktu O poprowadzony jest pionowy odcinek d, będący odległością między punktem O a prostą k. Odcinek ten jest prostopadły do prostej. Drugi koniec odcinka, który jest wspólny z prostą, oznaczono jako A.

Zastanówmy się teraz, ile prostych stycznych do danego okręgu można poprowadzić z ustalonego punktu $P$ . Możliwe są trzy sytuacje.

RgJMJ3tqMSrVp

Sytuacja pierwsza. Jeśli punkt $P$ leży we wnętrzu koła ograniczonego okręgiem, to przez ten punkt nie można poprowadzić prostej stycznej do okręgu.

Przykład ten zilustrowano rysunkiem okręgu, wewnątrz którego leży punkt $P$ . Punkt ten nie jest tożsamy ze środkiem okręgu.

Sytuacja druga. Jeśli punkt $P$ leży na okręgu, to prosta styczna do tego okręgu i przechodząca przez ten punkt jest tylko jedna.

Przykład ten zilustrowano rysunkiem okręgu, na którym leży punkt $P$ . Przez ten punkt przechodzi prosta styczna do okręgu.

Sytuacja trzecia. Jeśli punkt $P$ leży na zewnątrz okręgu, to jest poza kołem ograniczonym okręgiem, to przez ten punkt można poprowadzić dokładnie dwie proste styczne do okręgu.

Przykład ten zilustrowano rysunkiem okręgu oraz punktu $P$ leżącego na zewnątrz okręgu. Przez punkt $P$ przechodzą dwie proste styczne do okręgu.

Ostatni z powyższych przypadków jest szczególnie interesujący. Aby go przeanalizować, wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku. Zauważmy, że odcinki $O A$ i $O B$ są prostopadłeproste prostopadłeprostopadłe odpowiednio do odcinków $P A$ i $P B$ (twierdzenie o prostej stycznej do okręgu). Zatem, na mocy twierdzenia Pitagorasa:

$|P A| = \sqrt{{|P O|}^{2} - {|A O|}^{2}} = \sqrt{{|P O|}^{2} - {|B O|}^{2}} = |P B|$

RoiXzFebxMHsw

Ilustracja przedstawia punkt P oraz okrąg o środku w punkcie O. Punkt P leży poza okręgiem. Przecinają się w nim dwie proste styczne do okręgu. Punkty styczności to punkty A oraz B. Na rysunku wykreślono również odcinek PO oraz dwa promienie okręgu. Pierwszy z nich to OA, jest on prostopadły do prostej PA. Drugi promień to odcinek OB. Jest on prostopadły do prostej PB.

Oznacza to, że tzw. odcinki styczne $P A$ oraz $P B$ są równe. W konsekwencji trójkąty prostokątne $A P O$ oraz $B P O$ są przystającetrójkąty przystająceprzystające na mocy cechy bbb. Wynika stąd, że zachodzi też cecha kkk i w konsekwencji kąty wewnętrzne $A P O$ i $B P O$ mają równe miary. Zatem odcinek $P O$ zawiera się w dwusiecznej kąta $A P B$ . Udowodniliśmy w ten sposób poniższe twierdzenie.

o odcinkach stycznych

Twierdzenie: o odcinkach stycznych

Na płaszczyźnie dane są: okrąg o środku $O$ oraz punkt $P$ leżący na zewnątrz tego okręgu. Jeżeli z punktu $P$ poprowadzimy dwie styczne do danego okręgu, przy czym $A$ i $B$ są punktami styczności, to:

odcinki styczne są równe: $|P A| = |P B|$ ;
odcinek $P O$ zawiera się w dwusiecznej kąta $A P B$ .

Rozważmy teraz dwa okręgi o promieniach $r$ oraz $R$ . Przyjmijmy, że $R ⩾ r$ . Na poniższych rysunkach przedstawiono dwie sytuacje: gdy suma promieni jest mniejsza od odległości środków okręgów (pierwszy rysunek) i gdy jest ona dokładnie równa (drugi rysunek) odległości środków okręgów. W tej drugiej sytuacji okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny, o takich okręgach mówimy, że są styczne zewnętrznie.

RjugGYr10cHfu

Ilustracja przedstawia dwie sytuacje. Pierwsza prezentuje dwa różne okręgi, które są rozłączne, czyli nie mają żadnych punktów wspólnych. Promień mniejszego okręgu wynosi małe r, a dużego okręgu wynosi wielkie R. Promienie narysowane są poziomo. Sytuacja druga przedstawia dwa okręgi takie jak poprzednio, jednak inaczej względem siebie położone. Tym razem okręgi są styczne do siebie, czyli mające jeden punkt wspólny. Tutaj promienie również narysowane są poziomo i tworzą odcinek o długości małe r plus wielkie R.

o okręgach stycznych zewnętrznie

Twierdzenie: o okręgach stycznych zewnętrznie

Dwa okręgi są styczne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy odległość ich środków jest równa sumie ich promieni.

Co się stanie, gdy środki okręgów dalej będą się zbliżać? Możliwe sytuacje przedstawiają kolejne rysunki:

RF6Ka9HjdFCLf

Ilustracja przedstawia trzy sytuacje. Pierwsza prezentuje dwa różne okręgi, które się przecinają, czyli mają dwa punkty wspólne. Promień mniejszego okręgu wynosi małe r, a dużego okręgu wynosi wielkie R. Promienie narysowane są poziomo i nachodzą na siebie w części wspólnej ograniczonej przez okręgi. Sytuacja druga przedstawia dwa okręgi takie jak poprzednio, jednak inaczej względem siebie położone. Tym razem okręgi są styczne wewnętrznie, czyli mają jeden punkt wspólny. Tutaj promienie również narysowane są poziomo i nachodzą na siebie. Sytuacja trzecia przedstawia również te same okręgi, jednak tym razem są one rozłączne wewnętrznie, to znaczy mniejszy leży w większym, ale nie mają żadnych punktów wspólnych. Ich promienie narysowane są poziomo i nachodzą na siebie.

Drugi rysunek wydaje się najciekawszy, gdyż tylko na nim okręgi znów są styczne. Są jednak styczne w inny sposób: mały okrąg leży teraz wewnątrz obszaru ograniczonego dużym okręgiem. W tej sytuacji różnica promieni jest równa odległości środków okręgów.

o okręgach stycznych wewnętrznie

Twierdzenie: o okręgach stycznych wewnętrznie

Dwa okręgi o różnych promieniach są styczne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy odległość ich środków jest równa różnicy ich promieni.

Przykład 1

Dane są dwa okręgi: jeden o promieniu $R = 6$ i drugi o promieniu $r = 4$ .

R1MquYf63QWke

Ilustracja przedstawia dwie sytuacje. Pierwsza prezentuje dwa różne okręgi styczne wewnętrznie. Ich promienie narysowane są poziomo i nachodzą na siebie. Promień dużego okręgu wynosi 6, a małego 4. Na rysunku oznaczona jest również różnica między obiema długościami, czyli część promienia dużego koła, która nie nachodzi na siebie z promieniem małego koła. Ta część ma długość 2. Sytuacja druga przedstawia również te same okręgi, jednak tym razem są one rozłączne wewnętrznie. Ich promienie narysowane są poziomo i nachodzą na siebie. Promień dużego koła podzielony jest na trzy odcinki o długościach kolejno od lewej: 1, 4 oraz 1, przy czym tylko w środkowej części promienie obu kół nakładają się na siebie.

Jeśli odległość środków tych okręgów jest równa $2$ , to okręgi są styczne wewnętrznie (pierwszy rysunek). Jeśli natomiast odległość ta jest równa $1$ , to okręgi nie mają punktów wspólnych, ponieważ mniejszy okrąg leży wewnątrz obszaru ograniczonego większym okręgiem (drugi rysunek).

Przykład 2

Okręgi o promieniach długości: $1$ , $2$ i $3$ oraz środkach odpowiednio w punktach: $A$ , $B$ , $C$ są parami styczne zewnętrznie (tzn. każde dwa okręgi są do siebie styczne zewnętrznie). Oblicz pole trójkąta $A B C$ .

RTnv7QkYBMTIg

Ilustracja przedstawia trzy okręgi parami styczne zewnętrznie. Okrąg najmniejszy ma środek w punkcie A, okrąg średni ma środek w punkcie B, okrąg największy ma środek w punkcie C. Pomiędzy środkami wykreślono linią przerywaną trójkąt prostokątny ABC, przy czym przy wierzchołku A znajduje się kąt prosty.

Rozwiązanie

Z warunku zewnętrznej styczności wynika, że: $|A B| = 1 + 2 = 3$ , $|B C| = 2 + 3 = 5$ , $|A C| = 1 + 3 = 4$ .

Mamy zatem:

${|A B|}^{2} + {|A C|}^{2} = {|B C|}^{2}$ .

Na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa trójkąt $A B C$ jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku $A$ . Stąd jego pole jest równe:

$P = \frac{1}{2} |A B| \cdot |A C| = 6$ .

Odpowiedź: Pole trójkąta $A B C$ jest równe $6$ .

Przykład 3

Okrąg o środku w punkcie $A$ ma promień $r = 4$ , a okrąg o środku w punkcie $B$ – promień $R = 6$ . Dla jakich długości odcinka $A B$ oba te okręgi przecinają się w dwóch punktach?

Rozwiązanie

Gdy $|A B| > 10$ , wtedy okręgi nie mają punktów wspólnych. Jeśli $|A B| =$ $R + r = 10$ . Gdy odległość środków będzie mniejsza niż $2$ to okręgi są styczne zewnętrznie (pierwszy rysunek). Gdy odległość punktów $A$ i $B$ będzie się zmniejszać, okręgi będą się przecinać w dwóch różnych punktach, aż do momentu, gdy staną się one styczne wewnętrznie (trzeci rysunek). Stanie się tak dla $|A B| =$ $R - r = 2$ . Gdy odległość środków będzie mniejsza niż $2$ , to mały okrąg znajdzie się we wnętrzu dużego, a wtedy okręgi nie będą miały punktów wspólnych.

R1Pu2AOFrLkbk

Ilustracja przedstawia trzy różne położenia dwóch różnych okręgów: małego o środku w punkcie A o promieniu o długości 4 i dużego o środku w punkcie B o promieniu o długości 6. Pierwszy rysunek przedstawia sytuację, gdy okregi są styczne zewnętrznie, a ich promienie tworzą wspólnie odcinek AB o długości 10. Drugi rysunek przedstawia sytuację, gdy okręgi się przecinają. Trzeci rysunek przedstawia sytuację, gdy okręgi są styczne zewnętrznie, a promienie nakładają się na siebie.

Odpowiedź: Okręgi przecinają się w dwóch punktach, gdy $2 < |A B| < 10$ .

Przykład 4

W równoramienny trójkąt $A B C$ , w którym $|A C| = |B C| = 5$ i $|A B| = 8$ , wpisano okrąg. Ustal, w jakim stosunku punkty styczności dzielą każdy z boków trójkąta.

RN3anrwObyoXF

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC, w który jest wpisany okrąg o środku w punkcie O. Ze środka okręgu poprowadzono trzy promienie, każdy jest prostopadły do jednego z boków. I tak kolejno mamy: promień OM jest prostopadły do podstawy AB trójkąta ABC. Promień OL jest prostopadły do boku BC, a promień OK do boku AC

Rozwiązanie

Zgodnie z twierdzeniem o odcinkach stycznych, możemy wprowadzić oznaczenia jak na rysunku poniżej.

R36JfOFFMQZ2V

Ponieważ trójkąt $A B C$ jest równoramienny, więc:

$x + z = z + y$ ,

czyli $x = y$ . A zatem punkt $M$ dzieli bok $A B$ w stosunku $1 : 1$ . Wynika stąd, że skoro $|A B| = x + y = 8$ . Wobec tego:

$|C K| = |A C| - |A K| = 5 - 4 = 1$ ,

$|C L| = |B C| - |B L| = 5 - 4 = 1$ .

Zatem punkt styczności $K$ dzieli bok $A C$ w stosunku $4 : 1$ , podobnie jak punkt $L$ dzieli bok $B C$ .

Odpowiedź: Punkt $M$ dzieli bok $A B$ w stosunku $1 : 1$ . Punkt $K$ dzieli bok $A C$ w stosunku $4 : 1$ . Punkt $L$ dzieli bok $B C$ także w stosunku $4 : 1$ .

Słownik

proste prostopadłe

proste przecinające się pod kątem prostym

trójkąty przystające

trójkąty, które mają takie same kąty i takie same długości boków

Wprowadzenie

Prezentacja multimedialna

Słownik