W zależności od tego, w jakiej odległości od prostej znajduje się środek okręgu, możliwe są trzy sytuacje przedstawione poniżej.
R3FlUWNOh1CNY
Widzimy, że okrąg o promieniu jest styczny do prostej w punkcie tylko wtedy, gdy jego środek leży dokładnie w odległości od prostej, czyli wówczas, gdy odcinek jest promieniem okręgu prostopadłymproste prostopadłeprostopadłym do prostej.
o prostej stycznej do okręgu
Twierdzenie: o prostej stycznej do okręgu
Jeśli na płaszczyźnie dane są prosta i okrąg, to prosta jest styczna do okręgu o promieniu wtedy i tylko wtedy, gdy środek tego okręgu jest odległy od prostej o .
Już wiesz
Odległością punktu od prostej nazywamy długość najkrótszego odcinka , którego koniec leży na prostej . Odcinek jest prostopadły do prostej .
RqwHFE4byJFX9
Zastanówmy się teraz, ile prostych stycznych do danego okręgu można poprowadzić z ustalonego punktu . Możliwe są trzy sytuacje.
RgJMJ3tqMSrVp
Sytuacja pierwsza. Jeśli punkt leży we wnętrzu koła ograniczonego okręgiem, to przez ten punkt nie można poprowadzić prostej stycznej do okręgu.
Przykład ten zilustrowano rysunkiem okręgu, wewnątrz którego leży punkt . Punkt ten nie jest tożsamy ze środkiem okręgu.
Sytuacja druga. Jeśli punkt leży na okręgu, to prosta styczna do tego okręgu i przechodząca przez ten punkt jest tylko jedna.
Przykład ten zilustrowano rysunkiem okręgu, na którym leży punkt . Przez ten punkt przechodzi prosta styczna do okręgu.
Sytuacja trzecia. Jeśli punkt leży na zewnątrz okręgu, to jest poza kołem ograniczonym okręgiem, to przez ten punkt można poprowadzić dokładnie dwie proste styczne do okręgu.
Przykład ten zilustrowano rysunkiem okręgu oraz punktu leżącego na zewnątrz okręgu. Przez punkt przechodzą dwie proste styczne do okręgu.
Ostatni z powyższych przypadków jest szczególnie interesujący. Aby go przeanalizować, wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku. Zauważmy, że odcinki i są prostopadłeproste prostopadłeprostopadłe odpowiednio do odcinków i (twierdzenie o prostej stycznej do okręgu). Zatem, na mocy twierdzenia Pitagorasa:
RoiXzFebxMHsw
Oznacza to, że tzw. odcinki styczne oraz są równe. W konsekwencji trójkąty prostokątne oraz są przystającetrójkąty przystająceprzystające na mocy cechy bbb. Wynika stąd, że zachodzi też cecha kkk i w konsekwencji kąty wewnętrzne i mają równe miary. Zatem odcinek zawiera się w dwusiecznej kąta . Udowodniliśmy w ten sposób poniższe twierdzenie.
o odcinkach stycznych
Twierdzenie: o odcinkach stycznych
Na płaszczyźnie dane są: okrąg o środku oraz punkt leżący na zewnątrz tego okręgu. Jeżeli z punktu poprowadzimy dwie styczne do danego okręgu, przy czym i są punktami styczności, to:
odcinki styczne są równe: ;
odcinek zawiera się w dwusiecznej kąta .
Rozważmy teraz dwa okręgi o promieniach oraz . Przyjmijmy, że . Na poniższych rysunkach przedstawiono dwie sytuacje: gdy suma promieni jest mniejsza od odległości środków okręgów (pierwszy rysunek) i gdy jest ona dokładnie równa (drugi rysunek) odległości środków okręgów. W tej drugiej sytuacji okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny, o takich okręgach mówimy, że są styczne zewnętrznie.
RjugGYr10cHfu
o okręgach stycznych zewnętrznie
Twierdzenie: o okręgach stycznych zewnętrznie
Dwa okręgi są styczne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy odległość ich środków jest równa sumie ich promieni.
Co się stanie, gdy środki okręgów dalej będą się zbliżać? Możliwe sytuacje przedstawiają kolejne rysunki:
RF6Ka9HjdFCLf
Drugi rysunek wydaje się najciekawszy, gdyż tylko na nim okręgi znów są styczne. Są jednak styczne w inny sposób: mały okrąg leży teraz wewnątrz obszaru ograniczonego dużym okręgiem. W tej sytuacji różnica promieni jest równa odległości środków okręgów.
o okręgach stycznych wewnętrznie
Twierdzenie: o okręgach stycznych wewnętrznie
Dwa okręgi o różnych promieniach są styczne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy odległość ich środków jest równa różnicy ich promieni.
Przykład 1
Dane są dwa okręgi: jeden o promieniu i drugi o promieniu .
R1MquYf63QWke
Jeśli odległość środków tych okręgów jest równa , to okręgi są styczne wewnętrznie (pierwszy rysunek). Jeśli natomiast odległość ta jest równa , to okręgi nie mają punktów wspólnych, ponieważ mniejszy okrąg leży wewnątrz obszaru ograniczonego większym okręgiem (drugi rysunek).
Przykład 2
Okręgi o promieniach długości: , i oraz środkach odpowiednio w punktach: , , są parami styczne zewnętrznie (tzn. każde dwa okręgi są do siebie styczne zewnętrznie). Oblicz pole trójkąta .
RTnv7QkYBMTIg
Rozwiązanie
Z warunku zewnętrznej styczności wynika, że: , , .
Mamy zatem:
.
Na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa trójkąt jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku . Stąd jego pole jest równe:
.
Odpowiedź: Pole trójkąta jest równe .
Przykład 3
Okrąg o środku w punkcie ma promień , a okrąg o środku w punkcie – promień . Dla jakich długości odcinka oba te okręgi przecinają się w dwóch punktach?
Rozwiązanie
Gdy, wtedy okręgi nie mają punktów wspólnych. Jeśli . Gdy odległość środków będzie mniejsza niż to okręgi są styczne zewnętrznie (pierwszy rysunek). Gdy odległość punktów i będzie się zmniejszać, okręgi będą się przecinać w dwóch różnych punktach, aż do momentu, gdy staną się one styczne wewnętrznie (trzeci rysunek). Stanie się tak dla . Gdy odległość środków będzie mniejsza niż , to mały okrąg znajdzie się we wnętrzu dużego, a wtedy okręgi nie będą miały punktów wspólnych.
R1Pu2AOFrLkbk
Odpowiedź: Okręgi przecinają się w dwóch punktach, gdy .
Przykład 4
W równoramienny trójkąt , w którym i , wpisano okrąg. Ustal, w jakim stosunku punkty styczności dzielą każdy z boków trójkąta.
RN3anrwObyoXF
Rozwiązanie
Zgodnie z twierdzeniem o odcinkach stycznych, możemy wprowadzić oznaczenia jak na rysunku poniżej.
R36JfOFFMQZ2V
Ponieważ trójkąt jest równoramienny, więc:
,
czyli . A zatem punkt dzieli bok w stosunku . Wynika stąd, że skoro . Wobec tego:
,
.
Zatem punkt styczności dzieli bok w stosunku , podobnie jak punkt dzieli bok .
Odpowiedź: Punkt dzieli bok w stosunku . Punkt dzieli bok w stosunku . Punkt dzieli bok także w stosunku .
Słownik
proste prostopadłe
proste prostopadłe
proste przecinające się pod kątem prostym
trójkąty przystające
trójkąty przystające
trójkąty, które mają takie same kąty i takie same długości boków