Zadanie 1. Treść zadania: Na okręgu o promieniu r opisano trójkąt o polu 24 i obwodzie 30. Jaka jest długość promienia okręgu? Na slajdzie przedstawiony jest trójkąt A B C o bokach długości a , c, b. Poprowadzono w  nim dwusieczne wszystkich kątów wewnętrznych, tak że punkt przecięcia O wyznacza środek okręgu wpisanego w ten trójkąt. Poprowadzono trzy prostopadłe odcinki łączące środek okręgu z każdym bokiem i oznaczono je jako r. Kolorem niebieskim zaznaczono trójkąt A  O C, którego podstawa ma długość b a wysokość r. Rozwiązanie: Pole trójkąta jest równe sumie pól trzech małych trójkątów o wysokości r. Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami: $24=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)·r$. Suma $\left(a+b+c\right)$ to obwód trójkąta, równy 30. Stąd: $r=\frac{24}{\frac{1}{2}·30}=\frac{24}{15}=\frac{8}{5}$. Odpowiedź: Promień okręgu jest równy $\frac{8}{5}$. Zadanie 2.Treść zadania: Trapez równoramienny, który nie jest równoległobokiem, opisany jest na okręgu. Wykaż, że pole trapezu jest równe iloczynowi długości ramienia trapezu i średnicy okręgu wpisanego. Na slajdzie przedstawiono trapez A B C D w którym wpisany jest okrąg o środku w punkcie O, wyznaczony przez przecięcie dwusiecznych kątów wewnętrznych trapezu. Od środka okręgu do każdego boku trapezu poprowadzone są prostopadłe odcinki oznaczone jako r. Miejsce przecięcia promienia okręgu wpisanego z dolną podstawą dzieli ją na dwie części o długościach x i y, miejsce przecięcia promienia okręgu wpisanego z górną podstawą dzieli go na dwie części o długościach t i z, miejsce przecięcia promienia okręgu wpisanego z lewym ramieniem trapezu dzieli go na dwie części o długościach i x i t oraz miejsce przecięcia promienia okręgu wpisanego z prawym ramieniem trapezy dzieli go na dwie części o długościach y i z. Kolorem różowym zaznaczono dwa trójkąty A B O oraz C D O, których podstawami są dolna i górna podstawa trapezu oraz wysokością jest promień okręgu wpisanego. Rozwiązanie: Załóżmy, że promień okręgu wpisanego jest równym r, a ramię trapezu ma długość c. Oznaczmy długości stycznych poprowadzonych z wierzchołków trapezu do okręgu wpisanego tak jak na opisanej wyżej ilustracji. Pole trapezu P jest równe sumie pól czterech trójkątów o tej samej wysokości r i podstawach długości odpowiednio:$t+x$, $x+y$ , $y+z$ oraz $z+t$. Jest więc ono równe: $P=\frac{1}{2}r\left(\left(t+x\right)+\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+t\right)\right)$. Stąd $P=\frac{1}{2}r\left(2\left(t+x+y+z\right)\right)=\frac{1}{2}·2r\left(\left(t+x\right)+\left(y+z\right)\right)=\frac{1}{2}·2r·2c=c·2r$. A to właśnie mieliśmy wykazać. Ze względu na symetrię trapezu równoramiennego w oznaczeniach moglibyśmy od razu przyjąć $x=y$ oraz $z=t$. Zadanie 3. Treść zadania: Udowodnimy, że w trójkącie prostokątnym punkt styczności okręgu wpisanego dzieli przeciwprostokątną na takie dwa odcinki, że iloczyn ich długości jest równy polu tego trójkąta. Na slajdzie znajduje się trójkąt prostokątny A B C takie , że A B oraz B  C są przyprostokątnymi. W  trójkąt A B C wpisano okrąg, tak że jego punkt styczności z bokiem A B dzieli go na dwie części o długościach y i r, punkt styczności z bokiem B C dzieli go na dwie części o długościach r i x oraz punkt styczności z przeciwprostokątną A C dzieli go na dwie częśc o długościach y i x. Rozwiązanie. Wprowadźmy, zgodnie z twierdzeniem o odcinkach stycznych oznaczenia jak w opisie powyżej. Pole trójkąta jest równe: $P=\frac{1}{2}\left(x+r\right)\left(y+r\right)$ . Mamy więc wykazać, że można prawą stronę przekształcić do iloczynu x i y. Ponieważ rozważamy trójkąt prostokątny, więc zastosujemy twierdzenie Pitagorasa, aby określić związek między liczbami x, y oraz r. Mamy ${\left(r+x\right)}^2+{\left(r+y\right)}^2={\left(x+y\right)}^2$. Stąd $rx+ry+r^2=xy$. Wracamy teraz do wzoru na pole trójkąta: $P=\frac{1}{2}\left(x+r\right)\left(y+r\right)=\frac{1}{2}\left(xy+rx+ry+r^2\right)=\frac{1}{2}\left(xy+xy\right)=xy$. A to właśnie mieliśmy udowodnić.