Zadanie 1. Treść zadania: Na okręgu o promieniu r opisano trójkąt o polu 24 i obwodzie 30. Jaka jest długość promienia okręgu? Na slajdzie przedstawiony jest trójkąt A B C o bokach długości a , c, b. Poprowadzono w  nim dwusieczne wszystkich kątów wewnętrznych, tak że punkt przecięcia O wyznacza środek okręgu wpisanego w ten trójkąt. Poprowadzono trzy prostopadłe odcinki łączące środek okręgu z każdym bokiem i oznaczono je jako r. Kolorem niebieskim zaznaczono trójkąt A  O C, którego podstawa ma długość b a wysokość r. Rozwiązanie: Pole trójkąta jest równe sumie pól trzech małych trójkątów o wysokości r. Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami: dwadzieścia cztery, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a r, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, b r, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, c r, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, nawias, a, plus, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, razy, r. Suma nawias, a, plus, b, plus, c, zamknięcie nawiasu to obwód trójkąta, równy 30. Stąd: r, równa się, początek ułamka, dwadzieścia cztery, mianownik, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, trzydzieści, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwadzieścia cztery, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, osiem, mianownik, pięć, koniec ułamka. Odpowiedź: Promień okręgu jest równy początek ułamka, osiem, mianownik, pięć, koniec ułamka. Zadanie 2.Treść zadania: Trapez równoramienny, który nie jest równoległobokiem, opisany jest na okręgu. Wykaż, że pole trapezu jest równe iloczynowi długości ramienia trapezu i średnicy okręgu wpisanego. Na slajdzie przedstawiono trapez A B C D w którym wpisany jest okrąg o środku w punkcie O, wyznaczony przez przecięcie dwusiecznych kątów wewnętrznych trapezu. Od środka okręgu do każdego boku trapezu poprowadzone są prostopadłe odcinki oznaczone jako r. Miejsce przecięcia promienia okręgu wpisanego z dolną podstawą dzieli ją na dwie części o długościach x i y, miejsce przecięcia promienia okręgu wpisanego z górną podstawą dzieli go na dwie części o długościach t i z, miejsce przecięcia promienia okręgu wpisanego z lewym ramieniem trapezu dzieli go na dwie części o długościach i x i t oraz miejsce przecięcia promienia okręgu wpisanego z prawym ramieniem trapezy dzieli go na dwie części o długościach y i z. Kolorem różowym zaznaczono dwa trójkąty A B O oraz C D O, których podstawami są dolna i górna podstawa trapezu oraz wysokością jest promień okręgu wpisanego. Rozwiązanie: Załóżmy, że promień okręgu wpisanego jest równym r, a ramię trapezu ma długość c. Oznaczmy długości stycznych poprowadzonych z wierzchołków trapezu do okręgu wpisanego tak jak na opisanej wyżej ilustracji. Pole trapezu P jest równe sumie pól czterech trójkątów o tej samej wysokości r i podstawach długości odpowiednio:t, plus, x, x, plus, y , y, plus, zet oraz zet, plus, t. Jest więc ono równe: P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, r nawias, nawias, t, plus, x, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, x, plus, y, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, y, plus, zet, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, zet, plus, t, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu. Stąd P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, r nawias, dwa nawias, t, plus, x, plus, y, plus, zet, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, dwa r nawias, nawias, t, plus, x, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, y, plus, zet, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, dwa r, razy, dwa c, równa się, c, razy, dwa r. A to właśnie mieliśmy wykazać. Ze względu na symetrię trapezu równoramiennego w oznaczeniach moglibyśmy od razu przyjąć x, równa się, y oraz zet, równa się, t. Zadanie 3. Treść zadania: Udowodnimy, że w trójkącie prostokątnym punkt styczności okręgu wpisanego dzieli przeciwprostokątną na takie dwa odcinki, że iloczyn ich długości jest równy polu tego trójkąta. Na slajdzie znajduje się trójkąt prostokątny A B C takie , że A B oraz B  C są przyprostokątnymi. W  trójkąt A B C wpisano okrąg, tak że jego punkt styczności z bokiem A B dzieli go na dwie części o długościach y i r, punkt styczności z bokiem B C dzieli go na dwie części o długościach r i x oraz punkt styczności z przeciwprostokątną A C dzieli go na dwie częśc o długościach y i x. Rozwiązanie. Wprowadźmy, zgodnie z twierdzeniem o odcinkach stycznych oznaczenia jak w opisie powyżej. Pole trójkąta jest równe: P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, nawias, x, plus, r, zamknięcie nawiasu, nawias, y, plus, r, zamknięcie nawiasu . Mamy więc wykazać, że można prawą stronę przekształcić do iloczynu x i y. Ponieważ rozważamy trójkąt prostokątny, więc zastosujemy twierdzenie Pitagorasa, aby określić związek między liczbami x, y oraz r. Mamy nawias, r, plus, x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, r, plus, y, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, x, plus, y, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Stąd r x, plus, r y, plus, r indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, x y. Wracamy teraz do wzoru na pole trójkąta: P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, nawias, x, plus, r, zamknięcie nawiasu, nawias, y, plus, r, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, nawias, x y, plus, r x, plus, r y, plus, r indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, nawias, x y, plus, x y, zamknięcie nawiasu, równa się, x y. A to właśnie mieliśmy udowodnić.