Zadanie 1. Podróż pociągiem

Pani Bitowa jedzie pociągiem z Chełma do Zamościa.

Jeśli założymy, że trasa z jednego miasta do drugiego leży na linii prostej będącej osią OX, to bieg torów na mapie można opisać funkcją $f\left(x\right)=x^3+\sin \left({\left(x+2\right)}^2\right)$.

Przyjmij, że funkcja jest ciągła w przedziale $⟨-\mathrm{1,1}⟩$.

Zadanie 1.1

Pani Bitowa chce się dowiedzieć, jaka jest odległość między Chełmem a Zamościem na mapie w linii prostej. Wiadomo, że dla podanych założeń Chełm jest w punkcie $x=-0.23$, natomiast Zamość znajduje w przedziale $⟨0,\frac{1}{2}⟩$.

RdHzFLdrkekeQ

Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. Jednostką na osiach jest odcinek o długości zero przecinek dwa. Na układzie współrzędnych narysowana jest zielona krzywa opisana jako bieg torów na mapie. Krzywa przechodzi przez punkt na osi OX minus zero przecinek dwa. Określający położenie miasta Chełm. Na rysunku na poziomej osi zaznaczono przedział w którym znajduje się Zamość. Przedział zaczyna się od zera do zero przecinek pięć.

Napisz program, który obliczy odległość od Chełma do Zamościa na mapie w linii prostej według podanych powyżej założeń, z przybliżeniem równym: $\epsilon =0.01$

Długość odcinka ograniczonego punktami A oraz B można obliczyć ze wzoru: $\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$.

Do oceny oddajesz:

• plik odleglosc.txt zawierający odpowiedź (odległość między Chełmem a Zamościem w linii prostej; wynik podany z przybliżeniem równym: $\epsilon =0.01$),

• plik(i) z komputerową realizacją zadania.

Rozwiązanie

Zauważmy, że skoro zarówno Chełm, jak i Zamość leżą na osi OX, to są miejscami zerowymi funkcji opisującej tory. W związku z tym wzór na odległość między obydwoma miastami upraszcza się do następującej postaci:

Wystarczy zatem znaleźć położenie drugiego miejsca zerowego, czyli Zamościa, i obliczyć wartość bezwzględną (inaczej moduł) z różnicy obu miejsc zerowych.

W celu znalezienia położenia Zamościa skorzystamy z metody bisekcji. Przystąpmy do zapisania programu:

początek ← 0
koniec ← 0.5
E ← 0.01
x ← -0.23
wypisz moduł(bisekcja(początek, koniec, E, 0) - f(x))

1. W głównej części kodu zapisujemy dane potrzebne do obliczenia drugiego miejsca zerowego funkcji oraz długości odcinka ograniczonego przez miejsca zerowe podanej funkcji. [linie kodu od $1$ do $4$]

2. Następnie wypisujemy wynik, czyli długość odcinka między dwoma punktami. Oba punkty są miejscami zerowymi, zatem wypisujemy wartość bezwzględną ich różnicy jako odległość na osi OX. [linia kodu $5$]

funkcja bisekcja(x1, x2, E, szukana_wartosc)
	dopóki moduł(x1 - x2) > E, wykonuj:
		środek ← (x1 + x2) / 2
		jeżeli moduł(f(środek) - szukana_wartosc) <= E:
			przerwij pętlę
		w przeciwnym wypadku jeżeli f(x1) * f(środek) < 0:
			x1 ← środek
		w przeciwnym wypadku:
			x2 ← środek
	zwróć (x1 + x2) / 2

1. Definiujemy funkcję, która dla podanych ograniczeń przedziału, dokładności oraz szukanej wartości funkcji zwróci wartość argumentu (w tym przypadku miejsca zerowego).   [linia kodu $1$]

2. Wykonujemy algorytm bisekcji:

• Algorytm wykonujemy, dopóki odległość między wartościami funkcji dla punktów skrajnych przedziału jest większa niż dokładność. [linia kodu $2$]

• Ustalamy środek przedziału. Jeżeli jego wartość różni się od $0$ o mniej niż epsilon, to znaczy, że znaleźliśmy miejsce zerowe z zadaną dokładnością i możemy przerwać pętlę. W przeciwnym wypadku, w zależności od iloczynu wartości funkcji w środku i na brzegach, aktualizujemy jeden z brzegów przedziału, zawężając go. [linie kodu od $3$ do $9$]

3. Na koniec zwracamy przybliżoną wartość znalezionego miejsca zerowego.     [linia kodu $10$]

funkcja f(x)
	zwróć x*x*x + sin((x + 2)*(x + 2))

1. Definiujemy funkcję, która dla wartości x zwraca wartość funkcji podanej w zadaniu.

funkcja moduł(x)
	jeżeli x >= 0:
    	zwróć x
	w przeciwnym razie:
    	zwróć -x

1. Definiujemy funkcję, która zwróci wartość bezwzględną podanej zmiennej.    [linia kodu $1$]

2. Jeżeli wartość zmiennej jest większa lub równa $0$, zwracamy pierwotną wartość zmiennej. [linie kodu $2$, $3$]

3. Jeżeli jednak wartość zmiennej jest mniejsza od $0$, zwracamy wartość przeciwną do wartości zmiennej. [linie kodu od $4$ do $5$]

Odpowiedź do zadania

0.71

Uwaga: Ze względu na niedokładność odpowiedź może się różnić o $0.01$.

Zadanie 1.2

W celu odwiedzenia rezerwatu przyrody położonego między Chełmem a Zamościem, pani Bitowa postanowiła zmienić trasę przejazdu. Rezerwat znajduje się w przedziale $⟨-\mathrm{1,2}⟩$ oraz przyjmuje wartość funkcji równą $1$. Załóżmy, że w danym przedziale nie istnieje inny punkt o wartości równej $1$.

Napisz program obliczający obwód trójkąta. Wierzchołki tego trójkąta znajdują się na wykresie w punktach zawierających: Chełm, Zamość oraz rezerwat przyrody według podanych w zadaniu założeń, z przybliżeniem równym $\epsilon =0.01$.

Odpowiedź podaj w zaokrągleniu do dwóch miejsc po przecinku.

Do oceny oddajesz:

• plik obwod.txt zawierający odpowiedź (obwód trójkąta, którego wierzchołki na wykresie odpowiadają punktom oznaczającym: Chełm, Zamość oraz rezerwat przyrody; wynik podany z przybliżeniem równym $\epsilon =0.01$),

• plik(i) z komputerową realizacją zadania.

Rozwiązanie

poczatekZ ← 0
koniecZ ← 0.5
początekR ← 1
koniecR ← 2
E ← 0.01
x1 ← -0.23
x2 ← bisekcja(początekZ, koniecZ, E, 0)
x3 ← bisekcja(początekR, koniecR, E, 1)
wypisz obwód(x1, x2, x3)

1. W głównej części kodu korzystamy z położenia Chełma (x1), przybliżenia ($\epsilon$) oraz punktów początekZ, koniecZ, poczatekR oraz koniecR, oznaczających zakresy przedziałówprzedziałprzedziałów, w których znajdują się Zamość oraz rezerwat. [linie kodu od 1 do 6]

2. Następnie za pomocą metody bisekcji obliczamy położenie Zamościa oraz rezerwatu na osi OX. [linie kodu 7 do 8]

3. Mając wszystkie trzy punkty i znając ich wartości funkcji (0 dla Chełma i Zamościa oraz 1 dla rezerwatu), wyliczamy obwód trójkąta za pomocą funkcji obwód().

funkcja bisekcja(x1, x2, E, szukana_wartosc)
	dopóki moduł(x1 - x2) > E, wykonuj:
    	środek ← (x1 + x2) / 2
    	jeżeli moduł(f(środek) - szukana_wartosc) <= E:
        	przerwij pętlę
    	w przeciwnym wypadku jeżeli f(x1) * f(środek) < 0:
        	x1 ← środek
    	w przeciwnym wypadku:
        	x2 ← środek
	zwróć (x1 + x2) / 2

• Funkcja analogiczna do funkcji bisekcja() opisanej w zadaniu 1.1.

funkcja obwód(x, y, z)
	xy ← moduł(x - y)
    xz ← moduł(f((x - z)*(x - z) + 1))
    yz ← moduł(f((y - z)*(y - z) + 1))
    zwróć zaokrąglij(xy + xz + yz)

1. Definiujemy funkcję, która dla podanych punktów zwróci obwód trójkąta, którego wierzchołki znajdują się w tych punktach. [linia kodu $1$]

2. Obliczenie długości odcinka xy będzie przebiegało tak, jak w zadaniu 1.1 – czyli dzięki temu, że oba punkty są pierwiastkami funkcji, możemy pominąć wartości y we wzorze na odległość. [linia kodu $2$]

3. Przy obliczaniu długości xz oraz yz należy skorzystać z pełnego wzoru na odległości punktów. [linie kodu $3$, $4$]

4. Na koniec zwracamy zaokrąglony odpowiednio obwód trójkąta. [linia kodu $5$]

funkcja f(x)
      zwróć x*x*x + sin((x + 2)*(x + 2)

• Funkcja analogiczna do funkcji f() opisanej w zadaniu 1.1.

funkcja moduł(x)
	jeżeli x >= 0:
    	zwróć x
    w przeciwnym razie:
    	wypisz -x

• Funkcja analogiczna do funkcji moduł() opisanej w zadaniu 1.1.

Odpowiedź do zadania

3.68

Uwaga: Ze względu na niedokładność odpowiedź może się różnić o $0.03$.

Słownik