Zadanie 1. Podróż pociągiem

Pani Bitowa jedzie pociągiem z Chełma do Zamościa.

Jeśli założymy, że trasa z jednego miasta do drugiego leży na linii prostej będącej osią OX, to bieg torów na mapie można opisać funkcją $f(x)=x^3+\sin ((x+2{)}^2)$.

Przyjmij, że funkcja jest ciągła w przedziale $⟨-1,1⟩$.

Zadanie 1.1

Pani Bitowa chce się dowiedzieć, jaka jest odległość między Chełmem a Zamościem na mapie w linii prostej. Wiadomo, że dla podanych założeń Chełm jest w punkcie $x=-0.23$, natomiast Zamość znajduje w przedziale $⟨0,\frac{1}{2}⟩$.

RdHzFLdrkekeQ

Ilustracja

Napisz program, który obliczy odległość od Chełma do Zamościa na mapie w linii prostej według podanych powyżej założeń, z przybliżeniem równym: $\epsilon =0.01$

Długość odcinka ograniczonego punktami A oraz B można obliczyć ze wzoru: $\sqrt{{(x_B-x_A)}^2+{(y_B-y_A)}^2}$.

Do oceny oddajesz:

• plik odleglosc.txt zawierający odpowiedź (odległość między Chełmem a Zamościem w linii prostej; wynik podany z przybliżeniem równym: $\epsilon =0.01$),

• plik(i) z komputerową realizacją zadania.

Rozwiązanie

Zauważmy, że skoro zarówno Chełm, jak i Zamość leżą na osi OX, to są miejscami zerowymi funkcji opisującej tory. W związku z tym wzór na odległość między obydwoma miastami upraszcza się do następującej postaci:

Wystarczy zatem znaleźć położenie drugiego miejsca zerowego, czyli Zamościa, i obliczyć wartość bezwzględną (inaczej moduł) z różnicy obu miejsc zerowych.

W celu znalezienia położenia Zamościa skorzystamy z metody bisekcji. Przystąpmy do zapisania programu:

początek ← 0
koniec ← 0.5
E ← 0.01
x ← -0.23
wypisz moduł(bisekcja(początek, koniec, E, 0) - f(x))

1. W głównej części kodu zapisujemy dane potrzebne do obliczenia drugiego miejsca zerowego funkcji oraz długości odcinka ograniczonego przez miejsca zerowe podanej funkcji. [linie kodu od 1 do 4]

2. Następnie wypisujemy wynik, czyli długość odcinka między dwoma punktami. Oba punkty są miejscami zerowymi, zatem wypisujemy wartość bezwzględną ich różnicy jako odległość na osi OX. [linia kodu 5]

funkcja bisekcja(x1, x2, E, szukana_wartosc)
	dopóki moduł(x1 - x2) > E, wykonuj:
		środek ← (x1 + x2) / 2
		jeżeli moduł(f(środek) - szukana_wartosc) <= E:
			przerwij pętlę
		w przeciwnym wypadku jeżeli f(x1) * f(środek) < 0:
			x1 ← środek
		w przeciwnym wypadku:
			x2 ← środek
	zwróć (x1 + x2) / 2

1. Definiujemy funkcję, która dla podanych ograniczeń przedziału, dokładności oraz szukanej wartości funkcji zwróci wartość argumentu (w tym przypadku miejsca zerowego).   [linia kodu 1]

2. Wykonujemy algorytm bisekcji:

• Algorytm wykonujemy, dopóki odległość między wartościami funkcji dla punktów skrajnych przedziału jest większa niż dokładność. [linia kodu 2]

• Ustalamy środek przedziału. Jeżeli jego wartość różni się od 0 o mniej niż epsilon, to znaczy, że znaleźliśmy miejsce zerowe z zadaną dokładnością i możemy przerwać pętlę. W przeciwnym wypadku, w zależności od iloczynu wartości funkcji w środku i na brzegach, aktualizujemy jeden z brzegów przedziału, zawężając go. [linie kodu od 3 do 9]

3. Na koniec zwracamy przybliżoną wartość znalezionego miejsca zerowego.     [linia kodu 10]

funkcja f(x)
	zwróć x*x*x + sin((x + 2)*(x + 2))

1. Definiujemy funkcję, która dla wartości x zwraca wartość funkcji podanej w zadaniu.

funkcja moduł(x)
	jeżeli x >= 0:
    	zwróć x
	w przeciwnym razie:
    	zwróć -x

1. Definiujemy funkcję, która zwróci wartość bezwzględną podanej zmiennej.    [linia kodu 1]

2. Jeżeli wartość zmiennej jest większa lub równa 0, zwracamy pierwotną wartość zmiennej. [linie kodu 2, 3]

3. Jeżeli jednak wartość zmiennej jest mniejsza od 0, zwracamy wartość przeciwną do wartości zmiennej. [linie kodu od 4 do 5]

Odpowiedź do zadania

0.71

Uwaga: Ze względu na niedokładność odpowiedź może się różnić o 0.01.

Zadanie 1.2

W celu odwiedzenia rezerwatu przyrody położonego między Chełmem a Zamościem, pani Bitowa postanowiła zmienić trasę przejazdu. Rezerwat znajduje się w przedziale $⟨-1,2⟩$ oraz przyjmuje wartość funkcji równą 1. Załóżmy, że w danym przedziale nie istnieje inny punkt o wartości równej 1.

Napisz program obliczający obwód trójkąta. Wierzchołki tego trójkąta znajdują się na wykresie w punktach zawierających: Chełm, Zamość oraz rezerwat przyrody według podanych w zadaniu założeń, z przybliżeniem równym $\epsilon =0.01$.

Odpowiedź podaj w zaokrągleniu do dwóch miejsc po przecinku.

Do oceny oddajesz:

• plik obwod.txt zawierający odpowiedź (obwód trójkąta, którego wierzchołki na wykresie odpowiadają punktom oznaczającym: Chełm, Zamość oraz rezerwat przyrody; wynik podany z przybliżeniem równym $\epsilon =0.01$),

• plik(i) z komputerową realizacją zadania.

Rozwiązanie

poczatekZ ← 0
koniecZ ← 0.5
początekR ← 1
koniecR ← 2
E ← 0.01
x1 ← -0.23
x2 ← bisekcja(początekZ, koniecZ, E, 0)
x3 ← bisekcja(początekR, koniecR, E, 1)
wypisz obwód(x1, x2, x3)

1. W głównej części kodu korzystamy z położenia Chełma (x1), przybliżenia ($\epsilon$) oraz punktów początekZ, koniecZ, poczatekR oraz koniecR, oznaczających zakresy przedziałówprzedziałprzedziałów, w których znajdują się Zamość oraz rezerwat. [linie kodu od 1 do 6]

2. Następnie za pomocą metody bisekcji obliczamy położenie Zamościa oraz rezerwatu na osi OX. [linie kodu 7 do 8]

3. Mając wszystkie trzy punkty i znając ich wartości funkcji (0 dla Chełma i Zamościa oraz 1 dla rezerwatu), wyliczamy obwód trójkąta za pomocą funkcji obwód().

funkcja bisekcja(x1, x2, E, szukana_wartosc)
	dopóki moduł(x1 - x2) > E, wykonuj:
    	środek ← (x1 + x2) / 2
    	jeżeli moduł(f(środek) - szukana_wartosc) <= E:
        	przerwij pętlę
    	w przeciwnym wypadku jeżeli f(x1) * f(środek) < 0:
        	x1 ← środek
    	w przeciwnym wypadku:
        	x2 ← środek
	zwróć (x1 + x2) / 2

• Funkcja analogiczna do funkcji bisekcja() opisanej w zadaniu 1.1.

funkcja obwód(x, y, z)
	xy ← moduł(x - y)
    xz ← moduł(f((x - z)*(x - z) + 1))
    yz ← moduł(f((y - z)*(y - z) + 1))
    zwróć zaokrąglij(xy + xz + yz)

1. Definiujemy funkcję, która dla podanych punktów zwróci obwód trójkąta, którego wierzchołki znajdują się w tych punktach. [linia kodu 1]

2. Obliczenie długości odcinka xy będzie przebiegało tak, jak w zadaniu 1.1 – czyli dzięki temu, że oba punkty są pierwiastkami funkcji, możemy pominąć wartości y we wzorze na odległość. [linia kodu 2]

3. Przy obliczaniu długości xz oraz yz należy skorzystać z pełnego wzoru na odległości punktów. [linie kodu 3, 4]

4. Na koniec zwracamy zaokrąglony odpowiednio obwód trójkąta. [linia kodu 5]

funkcja f(x)
      zwróć x*x*x + sin((x + 2)*(x + 2)

• Funkcja analogiczna do funkcji f() opisanej w zadaniu 1.1.

funkcja moduł(x)
	jeżeli x >= 0:
    	zwróć x
    w przeciwnym razie:
    	wypisz -x

• Funkcja analogiczna do funkcji moduł() opisanej w zadaniu 1.1.

Odpowiedź do zadania

3.68

Uwaga: Ze względu na niedokładność odpowiedź może się różnić o 0.03.

Słownik