Przeczytaj

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Definicja: Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy koniunkcję dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Układ taki przyjmuje postać:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

gdzie:
$x$ oraz $y$ – oznaczają niewiadome,
$a_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{1}$ oraz $b_{2}$ – współczynniki przy niewiadomych odpowiednio $x$ oraz $y$ , przy czym przynajmniej jedna liczba z pary liczb $a_{1}$ i $a_{2}$ oraz $b_{1}$ i $b_{2}$ jest różna od zera,
$c_{1}$ i $c_{1}$ – nazywamy wyrazami wolnymi.

Rozwiązanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Definicja: Rozwiązanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Rozwiązaniem układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania danego układu równań.

Przy czym taki układ równań może mieć jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania.

Ważne!

Ilustracją geometryczną układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi są dwie proste.

Dwie proste na płaszczyźnie mogą mieć następujące położenie:

proste przecinają się w jednym punkcie,

proste pokrywają się,

proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych.

Przykład 1

Dany jest układ równań

$\{\begin{cases} - 3 x + y = 1 \\ 6 x - 2 y = - 2 \end{cases}$ .

Narysujemy wykresy równań składowych tego układu.

Przekształcamy każde z równań.

$- 3 x + y = 1$ i $6 x - 2 y = - 2$

$y = 3 x + 1$ i $- 2 y = - 6 x - 2 | : (- 2)$

$y = 3 x + 1$ i $y = 3 x + 1$

Otrzymaliśmy takie same równania. Oznacza to, że równania, które pojawiły się w tym układzie, są równaniami równoważnymi.

Narysujemy ich wykresy – są to pokrywające się proste.

Wybieramy dowolny $x \in ℝ$ i korzystając z warunku zawartego w równaniu, obliczamy $y$ .

Otrzymujemy np. punkty o współrzędnych $(0, 1)$ , $(1, 4)$ .

Zaznaczmy punkty w układzie współrzędnych, a następnie rysujemy wykresy tych równań.

Rb9beZ2gNhrb8

Ilustracja przedstawiająca układ równań. Zaznaczono na nim prostą o równaniu y=3x+1. Zaznaczono na niej punkty. 0,1 oraz 1,4

Wykresy tych równań, to proste równoległe, które się pokrywają. Mają więc nieskończenie wiele wspólnych punktów.

A zatem układ równań $\{\begin{cases} - 3 x + y = 1 \\ 6 x - 2 y = - 2 \end{cases}$ ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci

$\{\begin{cases} x = t \in ℝ \\ y = 3 t + 1 \end{cases}$

Taki układ nazywamy układem nieoznaczonym lub układem równań zależnych.

Nieoznaczony układ równań (układ równań zależnych)

Definicja: Nieoznaczony układ równań (układ równań zależnych)

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, który ma nieskończenie wiele rozwiązań, nazywamy układem nieoznaczonym lub układem równań zależnych.

Przykład 2

Na rysunku przedstawiona jest geometryczna interpretacja układu równań liniowych.

R1acoZrAAMGlM

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z zaznaczoną prostą. Przecinającą się z osią rzędnych w punkcie 4 oraz mająca miejsce zerowe w punkcie dwa

Na rysunku widoczna tylko jedna prosta. Zatem, jeśli w poleceniu podana została informacja, że jest to interpretacja geometryczna układu równań, to wiemy, że jest to układ nieoznaczony. Znajdźmy ten układ.

Odczytujemy współrzędne dwóch punktów leżących na tej prostej.

RLco6vQPmMMMD

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z zaznaczoną prostą. Przecinającą się z osią rzędnych w punkcie 0,4oraz z osią odciętych w punkcie 2,0

Wiemy, że równanie kierunkowe prostej przedstawionej na rysunku ma postać $y = a x + b$ i należą do niej punkty $(0, 4)$ oraz $(2, 0)$ .

Postawimy więc ich współrzędne do wzoru i obliczmy wartości współczynników $a$ i $b$ .

Punkt $(0, 4)$ :
$4 = a \cdot 0 + b$
$b = 4$

Punkt $(2, 0)$ :
$0 = a \cdot 2 + b$
$2 a + 4 = 0$
$2 a = - 4$
$a = - 2$

Równanie prostej ma więc postać $y = - 2 x + 4$ .

Możemy zapisać nieskończenie wiele nieoznaczonych układów równań spełniających warunki tego zadania. Na przykład:

$\{\begin{cases} y = - 2 x + 4 \\ 2 x + y = 4 \end{cases} \lor \{\begin{cases} - 2 x - y = - 4 \\ x + 0, 5 y = 2 \end{cases} \lor \{\begin{cases} - 4 x - 2 y = - 8 \\ 3 y = - 6 x + 12 \end{cases}$ .

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Twierdzenie: Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

gdzie przynajmniej jedna z pary liczb $a_{1}$ i $a_{2}$ oraz $b_{1}$ i $b_{2}$ jest różna od zera, jest układem nieoznaczonym wtedy i tylko wtedy, gdy

\{\begin{cases} a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0 \\ c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} = 0 \\ a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1} = 0 \end{cases}

Przykład 3

Dany jest układ równań liniowych z dwiema niewiadomymiukład równań liniowych z dwiema niewiadomymi

$\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 5 \\ - 6 x + 4 y = - 10 \end{cases}$ .

Sprawdzimy, czy jest to układ nieoznaczony.

Odczytujemy wartości współczynników przy niewiadomych $x$ oraz $y$ oraz wyrazów wolnych.

$a_{1} = 3$

$b_{1} = - 2$

$c_{1} = 5$

$a_{2} = - 6$

$b_{2} = 4$

$c_{2} = - 10$

Sprawdzamy czy współczynniki układu równań spełniają warunki powyższego twierdzenia

$a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0$
$a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 3 \cdot 4 - (- 6) \cdot (- 2) = 12 - 12 = 0$

$c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} = 0$
$c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} = 5 \cdot 4 - (- 2) \cdot (- 10) = 20 - 20 = 0$

$a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1} = 0$
$a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1} = 3 \cdot (- 10) - 5 \cdot (- 6) = - 30 + 30 = 0$

Wszystkie warunki są spełnione, a zatem układ równań

$\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 5 \\ - 6 x + 4 y = - 10 \end{cases}$

jest nieoznaczonym układem równań liniowych.

Przykład 4

Sprawdzimy, czy układ równań

$\{\begin{cases} 10 x - 5 y = - 25 \\ - 2 x + y = 12 \end{cases}$

jest układem równań zależnych.

Odczytujemy wartości współczynników przy niewiadomych $x$ oraz $y$ oraz wyrazów wolnych.

$a_{1} = 10$

$b_{1} = - 5$

$c_{1} = - 25$

$a_{2} = - 2$

$b_{2} = 1$

$c_{2} = 12$

Sprawdzamy, czy zachodzi warunek $a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0$ .

$a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 10 \cdot 1 - (- 5) \cdot (- 2) = 10 - 10 = 0$

Sprawdzamy teraz, czy zachodzi warunek $c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} = 0$ .

$c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} = - 25 \cdot 1 - 12 \cdot (- 5) = - 25 + 60 \neq 0$

Drugi z warunków nie jest spełniony. Nie musimy już zatem sprawdzać trzeciego z nich, ponieważ, aby układ był nieoznaczony, muszą zachodzić wszystkie trzy zależności.

A zatem układ równań $\{\begin{cases} 10 x - 5 y = - 25 \\ - 2 x + y = 12 \end{cases}$ nie jest układem równań zależnych.

(Jest to układ sprzeczny.)

Przykład 5

Jakie wartości muszą przyjąć parametry $a$ oraz $b$ , aby układ

$\{\begin{cases} (a - 1) x + 12 y = 25 \\ - 4 x + 3 y = 2 b - 3 \end{cases}$

był układem nieoznaczonym?

Z twierdzenia zamieszczonego w materiale wiemy, że układ będzie nieoznaczony, gdy zachodzi układ warunków

$\{\begin{cases} a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0 \\ c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} = 0 \\ a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1} = 0 \end{cases}$

W tym układzie równań mamy:

$a_{1} = a - 1$

$b_{1} = 12$

$c_{1} = 25$

$a_{2} = - 4$

$b_{2} = 3$

$c_{2} = 2 b - 3$

Z pierwszego warunku możemy zapisać równanie:

$3 \cdot (a - 1) + 12 \cdot 4 = 0$

$3 a - 3 + 48 = 0$

$3 a = - 45 | : 3$

$a = - 15$

Z drugiego warunku możemy zapisać równanie:

$25 \cdot 3 - (2 b - 3) \cdot 12 = 0$

$75 - 24 b + 36 = 0$

$- 24 b = - 111 | : (- 24)$

$b = 4 \frac{5}{8}$

Sprawdzamy jeszcze, czy zachodzi ostatni warunek.

$(a - 1) (2 b - 3) - (- 4) \cdot 25 = 0$

$L = (- 15 - 1) \cdot (2 \cdot 4 \frac{5}{8} - 3) + 100 = (- 16) \cdot \frac{25}{4} + 100 = 0 = P$

Otrzymaliśmy tożsamość, a zatem układ równań

$\{\begin{cases} (a - 1) x + 12 y = 25 \\ - 4 x + 3 y = 2 b - 3 \end{cases}$

jest nieoznaczony dla $a = - 15$ i $b = 4 \frac{5}{8}$ .

Przykład 6

Do równania $x + 2 y = 15$ dopiszemy drugie, tak aby równania tworzyły razem nieoznaczony układ równańnieoznaczony układ równań.

Oczywiście zadanie takie posiada nieskończenie wiele rozwiązańrozwiązań. Należy dopisać dowolne równanie równoważne, np. pomnożyć lub podzielić obie strony pierwszego równania przez dowolną liczbę.

Wtedy układy równań spełniające warunki zadania mają na przykład postać:

$\{\begin{cases} x + 2 y = 15 \\ - 3 x - 6 y = - 45 \end{cases}$ lub $\{\begin{cases} x + 2 y = 15 \\ 0, 5 x + y = 7, 5 \end{cases}$ .

(Sprawdź, czy układy są nieoznaczone.)

Przykład 7

W ułamku $\frac{x}{y}$ , gdzie $x, y \in ℤ$ i $y \neq 0$ , mianownik stanowi $60 %$ licznika. Jeżeli pomniejszymy ułamek o jeden, to otrzymamy liczbę $\frac{2}{3}$ . Znajdziemy ten ułamek.

Zapisujemy układ równań opisujący warunki zadania:

$\{\begin{cases} \frac{x}{y} - 1 = \frac{2}{3} \\ y = 60 % \cdot x \end{cases}$

Przekształcamy każde z równań do najprostszej postaci.

$\frac{x}{y} - 1 = \frac{2}{3}$ i $y = 60 % \cdot x$

$\frac{x}{y} = \frac{2}{3} + 1$ i $y = 0, 6 \cdot x$

$\frac{x}{y} = \frac{5}{3}$ i $y = \frac{3}{5} x$

$y = \frac{3}{5} x$

Otrzymaliśmy równania równoważne, a więc układ jest nieoznaczony.

Aby był spełniony warunek $y \in ℤ$ , $x$ musi być wielokrotnością liczby $5$ , a więc $x = 5 k$ , $k \in ℤ$ .

Zadanie ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci ${\begin{cases} x = 5 k, k \in ℤ \\ y = \frac{3}{5} x \end{cases}$ , np.:

$x = 5 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{5}{3}$ ,

$x = 15 \Rightarrow y = 9 \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{15}{9}$ ,

$x = 10 \Rightarrow y = 6 \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{10}{6}$ .

Słownik

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

układ równań postaci:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

rozwiązanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

każda para liczb spełniających każde z równań składowych w tym układzie

nieoznaczony układ równań (układ równań zależnych)

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, który ma nieskończenie wiele rozwiązań

Wprowadzenie

Animacja

Słownik