Przeczytaj

Częstość zdarzenia

Praktycznym wymiarem rachunku prawdopodobieństwa jest dostarczenie metod określenia, jak często zajdzie dane zdarzenie. Prawdopodobieństwo można więc uznać za liczbową charakterystykę możliwości zajścia zdarzenia losowego w warunkach nieskończonej powtarzalności.

Zatem prawdopodobieństwo będziemy określać tylko dla doświadczeń, które można powtarzać dowolną liczbę razy.

Ważne!

Jeśli wśród $n$ powtarzalnych doświadczeń dany wynik pojawia się $k$ razy ( $k \leq n$ , $k \in ℕ$ , $n \in ℕ_{+}$ ), to liczbę $\frac{k}{n}$ nazwiemy częstością tego wyniku.

Dla niektórych doświadczeń losowych ich częstość, przy dużej liczbie doświadczeń, koncentruje się wokół pewnej liczby. Intuicyjnie można więc określić prawdopodobieństwo, jako liczbę, wokół której stabilizuje się częstość. Rachunek prawdopodobieństwa dotyczy więc zdarzeń występujących w powtarzalnych doświadczeniach, o stabilizującej się częstości, wraz ze wzrostem liczby powtórzeń doświadczenia.

Każdemu takiemu zdarzeniu $A$ można więc przyporządkować pewną liczbę $P (A)$ , określającą szansę zajścia tego zdarzenia w pojedynczym doświadczeniu. Przy czym liczba $P (A)$ musi być tak zdefiniowana, aby w dostatecznie długim ciągu powtórzeń tego samego doświadczenia losowego, przeprowadzonego w tych samych warunkach, częstość pojawienia się zdarzenia $A$ zbliżała się nieograniczenie do tej samej liczby.

Ustalimy teraz kilka własności częstości, które pomogą nam zdefiniować prawdopodobieństwo.

Zdarzenie pewne zachodzi zawsze, więc częstość tego zdarzenia jest równa $1$ .
Zdarzenie niemożliwe nie zachodzi nigdy, więc jego częstość jest równa $0$ .
Częstość zajścia danego zdarzenia elementarnego jest więc zawsze liczbą nieujemną i nie większą od $1$ .
Jeśli zdarzenia $A$ i $B$ są rozłączne, $A \cap B = \emptyset$ , to nie ma zdarzeń elementarnych sprzyjających jednocześnie tym zdarzeniom. Zatem częstość zajścia zdarzenia $A \cup B$ będzie równa sumie zajścia zdarzenia $A$ i zajścia zdarzenia $B$ .

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa

Opierając się na zaobserwowanych prawidłowościach, w $1933$ r. uczony rosyjski Andriej Kołmogorow podał definicję, zwaną aksjomatyczną definicją prawdopodobieństwaaksjomatyczną definicją prawdopodobieństwa.

R129mhgojPxF3

Zdjęcie przedstawia siwego mężczyznę w garniturze, trzymającego otwartą książkę. — Andriej Nikołajewicz Kołmogorow
Андре́й Никола́евич Колмого́ров
Źródło: Konrad Jacobs, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 2.0.

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa

Definicja: Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa

Niech $Ω$ będzie skończoną przestrzenią zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwem określonym na tej przestrzeni zdarzeń elementarnych nazywamy funkcję $P$ , która każdemu zdarzeniu $A$ , takiemu że $A \subset Ω$ przyporządkowuje liczbę rzeczywistą $P (A)$ spełniającą warunki:

$P (A) \geq 0$ ,
$P (Ω) = 1$ ,
jeśli $B \subset Ω$ i $A \cap B = \emptyset$ to $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

Liczbę $P (A)$ nazywamy prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia $A$ .

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwaAksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa nie jest zbyt wygodna w zastosowaniach praktycznych, gdyż nie określa dokładnie ani wyboru zbioru zdarzeń elementarnych, ani nie określa w sposób jednoznaczny funkcji przyporządkowującej zdarzeniom liczby rzeczywiste (takich funkcji może być wiele). Z definicji nie wynika też w jaki sposób należy liczyć prawdopodobieństwo poszczególnych zdarzeń.

Rozkład prawdopodobieństwa

Przykład 1

Na stole leży $10$ kartek. Na każdej kartce zapisane jest jedno pytanie. Na czterech kartkach są pytania z algebry, a na sześciu z geometrii. Uczeń losuje jedno pytanie.

Przyjmijmy, że prawdopodobieństwa wylosowania pytań z algebry i geometrii są proporcjonalne do liczby pytań z tych dziedzin matematyki. Możliwe wyniki losowania i ich prawdopodobieństwa przedstawia tabela.

Pytanie	Algebra	Geometria
prawdopodobieństwo	$\frac{4}{10}$	$\frac{6}{10}$

Mówimy, że w tabeli podaliśmy rozkład prawdopodobieństwa.

Rozkład prawdopodobieństwa

Definicja: Rozkład prawdopodobieństwa

Niech $Ω = \{ω_{1}, ω_{2}, . . ., ω_{n}\}$ będzie zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych (wyników) pewnego doświadczenia losowego. Każdemu wynikowi $ω_{i}$ $(1 \leq i \leq n)$ przyporządkowujemy nieujemną liczbę $p_{i}$ tak, aby spełniony był warunek

p_{1} + p_{2} + . . . + p_{n} = 1

Liczba $p_{i}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia $ω_{i}$ .

Mówimy, że na przestrzeni $Ω$ został określony rozkład prawdopodobieństwa.

Przykład 2

Doświadczenie polega na rzucie kostką, na ściankach której zapisane są liczby $1$ , $1$ , $2$ , $2$ , $2$ , $5$ .

Określimy rozkład prawdopodobieństwa w tym doświadczeniu.

$Ω = \{ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}\}$ , gdzie:

$ω_{1}$ – otrzymanie jedynki,

$ω_{2}$ – otrzymanie dwójki,

$ω_{3}$ – otrzymanie piątki.

Zatem:

$p (ω_{1}) = \frac{2}{6}$ ,

$p (ω_{2}) = \frac{3}{6}$ ,

$p (ω_{3}) = \frac{1}{6}$ .

Wynik rzutu $(ω_{i})$	$1$	$2$	$5$
Prawdopodobieństwo $p (ω_{i})$	$\frac{2}{6}$	$\frac{3}{6}$	$\frac{1}{6}$

$p (ω_{1}) + p (ω_{2}) + p (ω_{3}) = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = 1$

Znając rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze możliwych wyników $Ω$ , możemy zdefiniować prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia $A \subset Ω$ .

Prawdopodobieństwo zdarzenia

Definicja: Prawdopodobieństwo zdarzenia

Niech $A \subset Ω$ i $A = \{ω_{1}, ω_{2}, . . ., ω_{k}\}$ . Prawdopodobieństwem $P (A)$ zdarzenia $A$ nazywamy sumę prawdopodobieństw zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu $A$ .

P (A) = p_{1} + p_{a} + . . . + p_{k}

Zauważmy, że $0 \leq P (A) \leq 1$ .

Przykład 3

W tabeli przedstawiony jest rozkład prawdopodobieństwa doświadczenia losowego polegającego na rzucie niesymetryczną kostką do gry.

$ω_{i}$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$p_{i}$	$\frac{1}{18}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{9}$

Obliczymy prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek, będącej liczbą pierwszą.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na wyrzuceniu liczby oczek, będącej liczbą pierwszą.

Wtedy $A = \{2, 3, 5\}$ .

$P (A) = \frac{2}{9} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4 + 6 + 3}{18} = \frac{13}{18}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek, będącej liczbą pierwszą jest równe $\frac{13}{18}$ .

Przykład 4

Rzucamy dwa razy symetryczną monetą.

Rozpatrujemy doświadczenie, którego wynikiem jest liczba wyrzuconych orłów.

W tym doświadczeniu:

$Ω = \{0, 1, 2\}$

Rozkład prawdopodobieństwa:

Liczba orłów	$0$	$1$	$2$
Prawdopodobieństwo	$\frac{1}{4}$	$\frac{2}{4}$	$\frac{1}{4}$

Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia: $A$ – wypadł co najmniej jeden orzeł.

$P (A) = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadł orzeł jest równe $\frac{3}{4}$ .

Słownik

aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa

niech $Ω$ będzie skończoną przestrzenią zdarzeń elementarnych; prawdopodobieństwem określonym na tej przestrzeni zdarzeń elementarnych nazywamy funkcję $P$ , która każdemu zdarzeniu $A$ , takiemu że $A \subset Ω$ przyporządkowuje liczbę rzeczywistą $P (A)$ spełniającą warunki:

$P (A) \geq 0$
$P (Ω) = 1$
jeśli $B \subset Ω$ i $A \cap B = \emptyset$ to $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

Wprowadzenie

Infografika

Częstość zdarzenia

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa

Rozkład prawdopodobieństwa

Słownik