Przeczytaj
Okrąg na płaszczyźnie kartezjańskiej opisujemy za pomocą równania. Wyróżniamy dwie postacie tego równania:
równanie okręgu w postaci ogólnej , gdzie promień okręgu obliczamy ze wzoru , zaś punkt jest środkiem okręgu,
równanie okręgu w postaci kanonicznej , gdzie nazywamy promieniem okręgu, zaś punkt środkiem okręgu.
Prostą na płaszczyźnie opisujemy za pomocą równania. Wyróżniamy dwie postacie tego równania:
postać ogólną prostej , gdzie oraz i nie są jednocześnie równe ,
postać kierunkową prostej , gdzie .
Do badania wzajemnego położenia prostej i okręgu wykorzystamy wzór na odległość punktu od prostej danej wzorem .
Wzór ten przedstawia się następująco:
.
Liczba punktów wspólnych prostej i okręgu na płaszczyźnie kartezjańskiej zależy od odległości prostej od środka okręgu.
Prosta i okrąg na płaszczyźnie kartezjańskiej:
przecinają się w dwóch punktach i , gdy zachodzi warunek: ,
Zauważmy, że .
Prostą nazywamy sieczną.
przecinają się w jednym punkcie , gdy zachodzi warunek: ,
Zauważmy, że .
Mówimy, że okrąg i prosta są styczne, a prosta jest styczną do okręgu.
nie przecinają się, gdy zachodzi warunek: .
Okrąg i prosta przecinają się co najwyżej w dwóch punktach.
Zbadamy wzajemne położenie prostej o równaniu i okręgu o równaniu .
Rozwiązanie:
Z równania okręgurównania okręgu możemy odczytać, że oraz .
Obliczymy odległość punktu od podanej prostej.
Zatem:
.
Zauważmy, że , zatem prosta i okrąg przecinają się w dwóch punktach.
Jeżeli równanie prostejrównanie prostej zapisane jest w postaci kierunkowej, to przekształcamy je najpierw do postaci ogólnej, a następnie wyznaczamy odległość środka okręgu od tej prostej.
Zbadamy wzajemne położenie prostej o równaniu i okręgu o równaniu .
Rozwiązanie:
Z równania okręgu możemy odczytać, że oraz .
Zapiszemy równanie prostej w postaci ogólnej.
Po przekształceniu mamy: .
Obliczymy odległość punktu od podanej prostej.
Zatem:
.
Zauważmy, że , zatem prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.
Czasami równanie okręgu jest zapisane w postaci ogólnej. Nie odczytamy wówczas bezpośrednio współrzędnych środka i długości promienia, ale obliczamy je ze wzorów.
Określimy wzajemne położenie prostej o równaniu i okręgu o równaniu .
Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru na równanie okręgu w postaci ogólnej , obliczamy wartości współczynników , oraz .
Zatem: , oraz .
Czyli , .
Środek okręgu .
Obliczamy długość promienia okręgu .
Wyznaczamy odległość środka okręgu od podanej prostej.
.
Ponieważ , zatem prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.
W łatwy sposób można określić wzajemne położenie okręgu i prostej, która jest równoległa lub prostopadła do osi układu współrzędnych.
Zbadamy wzajemne położenie prostej o równaniu , gdzie i okręgu o równaniu .
Rozwiązanie:
Z równania okręgu możemy odczytać, że oraz .
Przedstawmy na rysunku wzajemne położenie tego okręgu z prostą o równaniu .
Możemy zauważyć, że dla różnych wartości parametru , gdzie , prosta i okrąg mają:
punktów wspólnych, gdy ,
punkt wspólny, gdy ,
punkty wspólne, gdy .
W celu wyznaczenia punktów wspólnych prostej i okręgu możemy rozwiązać układ równań, w którym jedno równanie jest liniowe, a drugie kwadratowe. Na podstawie rozwiązania możemy stwierdzić, jakie jest ich wzajemne położenie.
Wyznaczymy punkty wspólne prostej o równaniu i okręgu o równaniu .
Rozwiązanie:
W celu wyznaczenia punktów wspólnych rozwiążemy układ równań:
Jeżeli zastosujemy metodę podstawiania, to otrzymujemy równanie z niewiadomą :
.
Równanie przekształcamy do postaci .
Ponieważ wyróżnik tego równania jest mniejszy od , więc równanie nie ma rozwiązań, zatem układ równań nie ma rozwiązania.
Prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.
Słownik
postać ogólna: , promień okręgu , - środek okręgu
postać kanoniczna: , - promień okręgu, - środek okręgu
postać ogólna: , gdzie ,, oraz i nie są jednocześnie równe
postać kierunkowa: , gdzie ,