Przeczytaj

Pole powierzchni każdego graniastosłupa można policzyć ze wzoru:

P_{c} = 2 P_{p} + P_{b}

gdzie $P_{p}$ jest polem podstawy, a $P_{b}$ sumą wszystkich ścian bocznych.

Przykład 1

Obliczymy pole powierzchni graniastosłupa pochyłego czworokątnego, którego podstawą jest romb, jak na rysunku.

R1R6UHh5raueK

Rysunek przedstawia graniastosłup czworokątny pochyły A, B, C, D, E, F, G, H. Na figurze zaznaczono kąt EAD 45 stopni i kąt HDC, równy 65 stopni. Oznaczono bok podstawy AD równy 5 i przekątną BD równą 6.

Korzystając z faktu, że przekątne dzielą się na połowy i pod kątem prostym otrzymujemy, że połowa przekątnej $A C$ jest przyprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej $3$ i przeciwprostokątnej $5$ . Ze znanej trójki Pitagorejskiej otrzymujemy trójkąt o bokach długości $3$ , $4$ , $5$ . Czyli $|A C| = 8$ .

A zatem $P_{p} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$ .

Ściany boczne są parami przystającymi równoległobokami. Ich pola obliczymy ze wzoru $P = a b \sin α$ , gdzie $a$ , $b$ są długościami boków równoległoboku, a $α$ kątem między nimi.

Mamy więc:

$P_{b} = 2 \cdot 5 \cdot 3 \sqrt{2} \cdot \sin 45 ° + 2 \cdot 5 \cdot 3 \sqrt{2} \cdot \sin 65 ° \approx$
$\approx 30 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 30 \sqrt{2} \cdot 0, 9063 \approx 30 + 38, 4513 \approx 68, 45$

A zatem pole całkowite wynosi $P_{c} \approx 48 + 68, 5 = 116, 45$ .

Ważne!

Aby obliczyć pole powierzchni bocznej graniastosłupapole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego wystarczy pomnożyć obwód wielokąta w podstawie przez długość krawędzi bocznej.

Przykład 2

Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez, którego wysokość wynosi $3$ . Suma długości podstaw trapezu wynosi $12$ , a suma długości ramion $10$ . Obliczymy pole powierzchni tego graniastosłupa, wiedząc, że wysokość bryły wynosi $6$ .

Obliczymy najpierw pole trapezu będącego podstawą tego graniastosłupa: $P_{p} = \frac{12 \cdot 3}{2} = 18$ .

Pole boczne jest sumą pól ścian bocznych. Jeżeli oznaczymy boki trapezu przez $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , to $P_{b} = a H + b H + c H + d H = (a + b + c + d) \cdot H = O b w_{trapezu} \cdot H$ .

Czyli $P_{b} = (12 + 10) \cdot 6 = 132$ .

Pole powierzchni graniastosłupa wynosi więc $P_{c} = 2 \cdot 18 + 132 = 168$ .

W szczególności mamy następujące wzory:

Dla sześcianu o krawędzi $a : P_{c} = 6 a^{2}$
Dla prostopadłościanu o krawędziach $a$ , $b$ , $c$ : $P_{c} = 2 a b + 2 b c + 2 a c$
Dla graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy $a$ i wysokości $H$ : $P_{c} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a H$
Dla graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $a$ i wysokości $H$ : $P_{c} = 2 a^{2} + 4 a H$
Dla graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy $a$ i wysokości $H$ : $P_{c} = 3 a^{2} \sqrt{3} + 6 a H$

Przykład 3

Pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi $42$ . Obliczymy długość krawędzi podstawy wiedząc, że wysokość wynosi $2$ .

Podstawimy dane do wzoru na pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego czworokątnego $P_{c} = 2 a^{2} + 4 a H$ . Mamy więc $42 = 2 a^{2} + 4 a \cdot 2$ . Jest to równanie kwadratowe równoważne z równaniem $2 a^{2} + 8 a - 42 = 0$ . Dzieląc stronami przez $2$ otrzymujemy $a^{2} + 4 a - 21 = 0$ .

Rozwiążemy to równanie za pomocą wyróżnika trójmianu kwadratowego.

Mamy więc $Δ = 16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 21) = 16 + 84 = 100$ .

$\sqrt{Δ} = 10$

$a_{1} = \frac{- 4 - 10}{2} = - 7 < 0, a_{2} = \frac{- 4 + 10}{2} = 3$ .

Ponieważ $a$ jest długością krawędzi podstawy, to $a = 3$ .

Do obliczania pola powierzchni graniastosłupa możemy również wykorzystać długości odcinków i miary kątów w graniastosłupie.

Przykład 4

Podstawą graniastosłupa prostegograniastosłup prostygraniastosłupa prostego jest trapez prostokątny o podstawach długości $2$ i $4$ . Dłuższa przekątna graniastosłupa ma długość $5 \sqrt{2}$ i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $45 °$ . Obliczymy pole powierzchni tego graniastosłupa.

Zrobimy rysunek pomocniczy.

RzF7NBAafZTG1

Rysunek przedstawia graniastosłup prosty A, B, C, D, I, J, K, L. W podstawie jest trapez prostokątny z oznaczoną przekątną d. Oznaczono też przekątną całej figury, IC równą 5 pierwiastków z dwóch. Dodatkowo przekątną jest nachylona pod kątem 45 stopni.

Trójkąt $I A C$ jest równoramienny prostokątny, czyli $d = 5$ i $H = 5$ . Obliczymy długość wysokości trapezu z twierdzenia Pitagorasa.

R1eTs7PmVcFGh

Rysunek przedstawia trapez prostokątny A, B, C, D. Górna podstawa jest równa 2, a dolna jest równa 4. Przekątna dłuższa, AC trapezu wynosi 5.

Mamy ${|A B|}^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ , a stąd $|A B| = 3$ .

Możemy teraz obliczyć długość ramienia $C D$ .

R1S57Z7AtLxYm

Rysunek przedstawia trapez prostokątny A, B, C, D. W odcinku BC umieszczono punkt I, który dzieli bok na dwie równe części każda o długości 2. Górna podstawa jest równa 2, a odcinek ID jest równy 3.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $D I C$ mamy $3^{2} + 2^{2} = {|C D|}^{2}$ . A stąd $| C D | = \sqrt{13}$ .

Teraz możemy już obliczyć pole powierzchni graniastosłupa.

$P_{p} = \frac{(2 + 4) \cdot 3}{2} = 9$ oraz $P_{b} = (2 + 3 + 4 + \sqrt{13}) \cdot 5 = 45 + 5 \sqrt{13}$ . A zatem $P_{c} = 18 + 45 + 5 \sqrt{13} = 63 + 5 \sqrt{13}$ .

Słownik

graniastosłup prosty

graniastosłup, którego wszystkie ściany boczne są prostokątami

pole powierzchni bocznej graniastosłupa

suma pól ścian bocznych graniastosłupa

Wprowadzenie

Animacja 3D

Słownik