Przeczytaj
Pole powierzchni każdego graniastosłupa można policzyć ze wzoru:
gdzie jest polem podstawy, a sumą wszystkich ścian bocznych.
Obliczymy pole powierzchni graniastosłupa pochyłego czworokątnego, którego podstawą jest romb, jak na rysunku.
Korzystając z faktu, że przekątne dzielą się na połowy i pod kątem prostym otrzymujemy, że połowa przekątnej jest przyprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej i przeciwprostokątnej . Ze znanej trójki Pitagorejskiej otrzymujemy trójkąt o bokach długości , , . Czyli .
A zatem .
Ściany boczne są parami przystającymi równoległobokami. Ich pola obliczymy ze wzoru , gdzie , są długościami boków równoległoboku, a kątem między nimi.
Mamy więc:
A zatem pole całkowite wynosi .
Aby obliczyć pole powierzchni bocznej graniastosłupapole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego wystarczy pomnożyć obwód wielokąta w podstawie przez długość krawędzi bocznej.
Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez, którego wysokość wynosi . Suma długości podstaw trapezu wynosi , a suma długości ramion . Obliczymy pole powierzchni tego graniastosłupa, wiedząc, że wysokość bryły wynosi .
Obliczymy najpierw pole trapezu będącego podstawą tego graniastosłupa: .
Pole boczne jest sumą pól ścian bocznych. Jeżeli oznaczymy boki trapezu przez , , , , to .
Czyli .
Pole powierzchni graniastosłupa wynosi więc .
W szczególności mamy następujące wzory:
Dla sześcianu o krawędzi
Dla prostopadłościanu o krawędziach , , :
Dla graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy i wysokości :
Dla graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy i wysokości :
Dla graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy i wysokości :
Pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi . Obliczymy długość krawędzi podstawy wiedząc, że wysokość wynosi .
Podstawimy dane do wzoru na pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego czworokątnego . Mamy więc . Jest to równanie kwadratowe równoważne z równaniem . Dzieląc stronami przez otrzymujemy .
Rozwiążemy to równanie za pomocą wyróżnika trójmianu kwadratowego.
Mamy więc .
.
Ponieważ jest długością krawędzi podstawy, to .
Do obliczania pola powierzchni graniastosłupa możemy również wykorzystać długości odcinków i miary kątów w graniastosłupie.
Podstawą graniastosłupa prostegograniastosłupa prostego jest trapez prostokątny o podstawach długości i . Dłuższa przekątna graniastosłupa ma długość i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem . Obliczymy pole powierzchni tego graniastosłupa.
Zrobimy rysunek pomocniczy.
Trójkąt jest równoramienny prostokątny, czyli i . Obliczymy długość wysokości trapezu z twierdzenia Pitagorasa.
Mamy , a stąd .
Możemy teraz obliczyć długość ramienia .
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta mamy . A stąd .
Teraz możemy już obliczyć pole powierzchni graniastosłupa.
oraz . A zatem .
Słownik
graniastosłup, którego wszystkie ściany boczne są prostokątami
suma pól ścian bocznych graniastosłupa