Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Nierówność wielomianowa
Definicja: Nierówność wielomianowa

Nierównością wielomianową stopnia n nazywamy każdą nierówność postaci:

Wx>0 lub Wx0 lub Wx<0 lub Wx0

gdzie:
W – jest wielomianem stopnia n.

Aby rozwiązać nierówność wielomianowąnierówność wielomianowanierówność wielomianową najpierw postępujemy podobnie do rozwiązywania równań. Możemy rozłożyć odpowiedni wielomian na czynniki, a następnie obliczamy pierwiastki wielomianu.

Następnie, szkicując wykres wielomianu odczytujemy, dla jakich x wielomian przyjmuje żądane wartości.

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność x-4x+1x-20.

Aby rozwiązać nierówność, posłużymy się wykresem funkcji wielomianowej y=x-4x+1x-2. Funkcja ma trzy pojedyncze miejsca zerowe -1, 2, 4.

Narysujemy teraz szkic wykresu funkcji wielomianowej. Dokładny wykres możemy otrzymać korzystając z programów komputerowych. Dla nas najważniejsze jest określenie, dla jakich argumentów x wykres funkcji wielomianowej znajduje się poniżej osi X lub na osi X.

Aby wykonać szkic wykresu  funkcji wielomianowej, zaznaczamy na osi X  miejsca zerowe wielomianu (jeżeli istnieją). Przez te punkty na osi X przechodzi wykres. Ma on kształt „wężyka” rysowanego linią ciągłą. Wykres spotykając się z pojedynczym pierwiastkiem wielomianu „przechodzi” na drugą stronę osi X.

Ważne jest również jak rozpoczynamy rysowanie wykresu. Najczęściej zaczynamy rysować wykres od strony prawej do lewej.

Zaczynamy od góry, wtedy gdy współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest dodatni.

W naszym przykładzie współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest równy 1.

RUMIT7mP8saRa

W tych przedziałach, gdzie wykres znajduje się pod osią X lub na osi X funkcja wielomianowa przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero (niedodatnie).

Zbiorem rozwiązań nierówności jest -, -12, 4.

Przykład 2

Rozwiążemy nierówność -xx-12x+3>0.

Obliczymy takie x, dla których  odpowiednie wyrażenie jest równe zero.

-xx-12x+3=0

-x=0 lub x-12 lub x+3=0

x=0 lub x=1 (podwójny pierwiastek) lub x=-3

Sporządzimy  teraz szkic wykresu funkcji wielomianowej y=-xx-12x+3.

W tym celu najpierw zaznaczamy na osi X miejsca zerowe wielomianu. Wykres funkcji zaczniemy rysować od prawej strony i od dołu, ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze niewiadomy jest ujemny.

Należy również zwrócić uwagę, że liczba 1 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu, zatem wykres „odbija” się od osi X.

R12PItc1HPyBu

Zbiorem rozwiązań nierówności jest -3, 0.

Ważne!
  • Jeżeli pierwiastek wielomianu ma krotność nieparzystą, to wykres funkcji wielomianowej przechodzi na drugą stronę osi X.

  • Jeżeli pierwiastek wielomianu ma krotność parzystą, to wykres funkcji wielomianowej „odbija” się od osi X (jest do niej styczny).

  • Jeżeli współczynnik przy najwyższej potędze niewiadomej jest dodatni, wówczas wykres funkcji wielomianowej rysujemy od prawej strony, zaczynając od góry.

  • Jeżeli współczynnik przy najwyższej potędze niewiadomej jest ujemny, wówczas wykres funkcji wielomianowej rysujemy od prawej strony, zaczynając od dołu.

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność -x3x+122-x20.

Obliczymy takie x, dla których odpowiednie wyrażenie jest równe zero.

-x3x+122-x2=0

-x3=0 (potrójny pierwiastek) lub x+12=0 (podwójny pierwiastek) lub 2-x2=0 (podwójny pierwiastek)

Wykres zaczniemy rysować od dołu.

R1ciNCk2GGqCR

x-, 02

Zbiór rozwiązań nierówności to -, 02.

Przykład 4

Rozwiążemy nierówność (x24)(x+2)3(x1)<0.

(x24)(x+2)3(x1)=0

x2-4=0 lub x+23=0 lub (x1)=0

x-2x+2=0 lub x=-2 lub x=1

x=2 lub x=-2

Czyli:

-24 krotny pierwiastek,

1 – pojedynczy pierwiastek,

2 – pojedynczy pierwiastek.

RGxciqSp1h1Zr

x1, 2

Zbiór rozwiązań nierówności to 1, 2.

Słownik

nierówność wielomianowa
nierówność wielomianowa

każda nierówność postaci:

Wx>0 lub Wx0 lub Wx<0 lub Wx0

gdzie:
W – jest wielomianem stopnia n