Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Nierówność wielomianowa
Definicja: Nierówność wielomianowa

Nierównością wielomianową stopnia n nazywamy każdą z nierówności w postaci:

Wx>0 lub Wx0 lub Wx<0 lub Wx0

gdzie:
W – jest wielomianem stopnia n.

Aby rozwiązać nierówność wielomianowąnierówność wielomianowanierówność wielomianową postępujemy podobnie, jak podczas rozwiązywania równań. Najpierw rozłożymy   wielomian W na czynniki i obliczymy jego pierwiastki.

Następnie należy odpowiedzieć na pytanie, dla jakich wartości x wielomian przyjmuje wartości dodatnie lub nieujemne, lub ujemne, lub niedodatnie. W tym celu sporządzamy „siatkę znaków”, czyli tabelę, za pomocą której określamy znak wielomianu w każdym z  przedziałów.

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność x+1x+2x-3>0.

Lewa strona nierówności jest wielomianem zapisanym w postaci iloczynowej:

Wx=x+1x+2x-3

Wielomian posiada trzy pierwiastki -2, -1, 3.

Teraz narysujemy tabelę, zwaną „siatką znaków”. W pierwszej kolumnie zapisujemy czynniki wielomianu. W pierwszym wierszy zapisujemy przedziały liczbowe, które zostały wyznaczone przez pierwiastki -2, -1, 3 wielomianu.

W kolumnach znajdujących się pod przedziałami zapisujemy znaki przyjmowane w poszczególnych przedziałach przez odpowiednie sumy algebraiczne. Między przedziałami umieszczamy miejsca zerowe wielomianu. Ostatni wiersz tabeli to znaki wielomianu.

-, -2

-2

-2, -1

-1

-1, 3

3

3, 

x+1

-

-

0

+

+

x+2

-

0

+

+

+

x-3

-

-

-

0

+

Wx

-

0

+

0

-

0

+

Z tabeli odczytujemy, że Wx>0x-2, -13, .

Zbiór rozwiązań nierówności to -2, -13, .

Przykład 2

Rozwiążemy nierówność x+4x-120.

Lewa strona nierówności jest wielomianem Wx=x+4x-12, zapisanym w postaci iloczynowej. Liczba -4 jest pojedynczym pierwiastkiem wielomianu, liczba 1 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu Wx.

Ułożymy „siatkę znakówsiatka znakówsiatkę znaków”.

-, -4

-4

-4, 1

1

1, 

x+4

-

0

+

+

x-12

+

+

0

+

Wx

-

0

+

0

+

Zwróćmy uwagę, że przy przejściu przez pierwiastek podwójny 1 wartość wielomianu Wx nie zmienia znaku.

Wx0x-, -41.

Zbiór rozwiązań nierówności to -, -41.

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność -xx-32x+53<0 |:-1

xx-32x+53>0

Miejsca zerowe wielomianu to liczby:

0 – pierwiastek pojedynczy
3 – pierwiastek podwójny
-5 – pierwiastek potrójny

Rysujemy „siatkę znaków”.

-, -5

-5

-5, 0

0

0, 3

3

3, 

x

-

-

0

+

+

x-32

+

+

+

0

+

(x+5)3

-

0

+

+

+

Wx

+

0

-

0

+

0

+

Zwróćmy uwagę, że przy przejściu przez potrójny pierwiastek -5, Wx zmienia znak tak samo, jak przy przejściu przez pojedynczy pierwiastek.

Wx>0x-, -50, 33, 

Zbiór rozwiązań nierówności to -, -50, 33, .

Przykład 4

Rozwiążemy nierówność x4-5x3+6x20.

Najpierw zapiszemy nierówność w postaci iloczynowej.

x2x2-5x+60

x2x-2x-30

Wx=x2x-2x-3

Miejsca zerowe Wx to 0, 2, 3.

-, 0

0

0, 2

2

2, 3

3

3, 

x2

+

0

+

+

+

x-2

-

-

0

+

+

x-3

-

-

-

0

+

Wx

+

0

+

0

-

0

+

Wx0x2, 30

Zbiór rozwiązań nierówności to 2, 30.

Przykład 5

Rozwiążemy nierówność x4+1x+20.

Jedynym miejscem zerowym wielomianu Wx=x4+1x+2 jest liczba -2.

-, -2

-2

-2, 

x4+1

+

+

x+2

-

0

+

Wx

-

0

+

Zauważmy, że suma algebraiczna x4+1 przyjmuje zawsze wartości dodatnie, więc nie wpływa na rozwiązanie.

Wx0x-2, 

Zbiór rozwiązań nierówności -2, .

Słownik

nierówność wielomianowa
nierówność wielomianowa

każda z nierówności w postaci:

Wx>0 lub Wx0 lub Wx<0 lub Wx0

gdzie:
W – jest wielomianem stopnia n

siatka znaków
siatka znaków

tabela, za pomocą której określamy znak wielomianu w poszczególnych przedziałach