W dowolnym trójkącie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.

RHEhklTSKNsTT

Rysunek przedstawia trójkąt o podstawie $a$ i pozostałych bokach $b$ oraz $c$. Między bokami a i b zaznaczono kąt $\gamma$.

W czworokącie opisanym na okręgu sumy długości przeciwległych boków tego czworokąta są równe.

RNCmem3IdjAeB

Rysunek przedstawia czworokąt o bokach a, b, c, d, które mają różne długości.

W czworokąt $ABCD$ wpisano koło, którego pole jest równe $121\pi {\mathrm{cm}}^2$. Obliczymy pole czworokąta $ABCD$, jeżeli wiadomo, że $\left|AB\right|+\left|CD\right|=100 \mathrm{cm}$.

Korzystając ze wzoru na pole koła, obliczymy długość promienia.

$P_k=\pi r^2$

$\pi r^2=121\pi |:\pi$

$r^2=121$

$r^2-121=0$

$\left(r-11\right)\left(r+11\right)=0$

$r=11$ lub $r=-11$ – nie spełnia warunków zadania bo $r>0$

Aby na kole można było opisać czworokąt $ABCD$, musi zachodzić warunek:

$\left|AB\right|+\left|CD\right|=\left|BC\right|+\left|AD\right|$.

Czyli $\left|AB\right|+\left|CD\right|$ jest połową obwodu czworokąta $ABCD$.

$\frac{1}{2}L=100$

Korzystając ze wzoru  na pole czworokąta opisanego na okręgu, możemy obliczyć pole czworokąta $ABCD$.

$P=\frac{1}{2}L·r$

$P=100·11$

$P=1100$

Pole czworokąta $ABCD$ jest równe $1100 {\mathrm{cm}}^2$.

W trójkącie $ABC$ dane są $\left|AC\right|=3$, $\left|BC\right|=12$, $\sphericalangle \left|CAB\right|=60°$. Obliczymy długość boku $\left|AB\right|$.

Korzystając z twierdzenia cosinusówtwierdzenie cosinusówtwierdzenia cosinusów wyznaczymy długość boku $x=\left|AB\right|$.

${12}^2=3^2+x^2-2·3·x·\cos 60°$

$144=9+x^2-6x\cdot \frac{1}{2}$

$x^2-3x-135=0$

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4·\left(-135\right)=9+540=549\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{549}=3\sqrt{61}$

$x_1=\frac{3-3\sqrt{61}}{2}<0$

$x_2=\frac{3+3\sqrt{61}}{2}$

Długość boku $\left|AB\right|$ jest równa $\frac{3+3\sqrt{61}}{2}$.

Odcinek  $AB$ o długości $1$ podzielono na dwie części tak, że stosunek dłuższej części tego odcinka do krótszej części jest równy stosunkowi długości całego odcinka do dłuższej części odcinka. Obliczymy długość każdej części odcinka.

R1583Vyhra9R3

Rysunek przedstawia odcinek AB o długości 1, na którym zaznaczono punkt C. Punkt C podzielił odcinek AB na dwa mniejsze odcinki, czyli AC o długości x oraz CB o długości 1 odjąć x.

Z treści zadania możemy zapisać proporcję:

$\frac{x}{1-x}=\frac{1}{x}$

Z własności proporcji otrzymujemy:

$x^2=1-x$

$x^2+x-1=0$

$\Delta =1+4=5\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{5}$

$x_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}<0$ – nie spełnia warunków zadania, bo $x>0$

$x_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

$\left|AC\right|=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

$\left|CB\right|=1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{2-\sqrt{5}+1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

Odcinek podzielono na części o długości $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ i $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

Pole prostokąta jest równe $63 {\mathrm{cm}}^2$. Obliczymy obwód tego prostokąta jeżeli wiadomo, że długości boków tego prostokąta różnią się o $2 \mathrm{cm}$.

Niech:
$x$ – pierwszy bok prostokąta,
$x+2$ – drugi bok prostokąta.

Zapiszemy równanie opisujące pole prostokąta:

$x\left(x+2\right)=63$

$x^2+2x-63=0$

$\Delta =2^2-4·\left(-63\right)=4+252=256\Rightarrow \sqrt{\Delta }=16$

$x_1=\frac{-2-16}{2}$

$x_2=-9<0$ – nie spełnia warunków zadania, bo $x>0$

$x_2=\frac{-2+16}{2}$

$x_2=7$

Boki prostokąta mają długość $7 \mathrm{cm}$ i $9 \mathrm{cm}$.

Różnica długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnych jest równa $7$, a przeciwprostokątna jest o $8$ dłuższa od krótszej przyprostokątnej. Obliczymy długości boków tego trójkąta.

Niech:
$x$ – długość krótszej przyprostokątnej,
$x+7$ – długość dłuższej przyprostokątnej,
$x+8$ – długość przeciwprostokątnej.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

$x^2+{\left(x+7\right)}^2={\left(x+8\right)}^2$

$x^2+x^2+14x+49=x^2+16x+64$

$x^2-2x-15=0$

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4·\left(-15\right)=4+60=64\Rightarrow \sqrt{\Delta }=8$

$x_1=\frac{2-8}{2}=-3<0$

$x_2=\frac{2+8}{2}=5$

$x_2+7=12$

$x_2+8=13$

Trójkąt ma boki długości $5$, $12$, $13$.

w dowolnym trójkącie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi