Prostopadłościan jest wpisany w kulę, jeśli wszystkie wierzchołki prostopadłościanu leżą na powierzchni kuli.

Obliczymy objętość kulikulaobjętość kuli opisanej na prostopadłościanie, którego krawędzie mają długości $2$, $3$ i $6$.

Rozwiązanie:

$R=\frac{1}{2}\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\frac{1}{2}\sqrt{49}=\frac{7}{2}$

$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{7}{2}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \frac{343}{8}=\frac{343}{6}\pi$.

Objętość prostopadłościanuobjętość prostopadłościanuObjętość prostopadłościanu wynosi $480 {\mathrm{cm}}^3$. Jedna z krawędzi ma długość $5 \mathrm{cm}$, a stosunek dwóch pozostałych krawędzi wynosi $4:3$. Obliczymy pole powierzchni kuli opisanej na tym prostopadłościanie.

Rozwiązanie:

Skoro stosunek długości dwóch krawędzi prostopadłościanu wynosi $4:3$ to możemy przyjąć, że $a=4x$ oraz $b=3x$, gdzie $x$ jest dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią.

Wykorzystując informację o objętości prostopadłościanu otrzymujemy równanie:

$4x·3x·5=480$

$60x^2=480$

$x=2\sqrt{2}$

A zatem $a=8\sqrt{2} \mathrm{cm}$, $b=6\sqrt{2} \mathrm{cm}$ i $c=5 \mathrm{cm}$.

Promień kuli opisanej na tym prostopadłościanie jest równy

$R= \frac{1}{2}\sqrt{{\left(8\sqrt{2}\right)}^2+{\left(6\sqrt{2}\right)}^2+5^2}=\frac{1}{2}\sqrt{225}=\frac{15}{2}$

Pole powierzchni kulikulaPole powierzchni kuli jest równe $P=4\pi R^2=4\pi \cdot \frac{225}{4}=225\pi \left[{\mathrm{cm}}^2\right]$.

Przekątna jednej ze ścian bocznych prostopadłościanu ma długość $4$ i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $60°$. Przekątna sąsiedniej ściany bocznej tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $45°$. Obliczymy średnicę kuli opisanej na tym prostopadłościanie.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że kąt między przekątną ściany bocznej prostopadłościanu, a płaszczyzną podstawy, to kąt między przekątną ściany i krawędzią podstawy.

Wykonajmy odpowiedni rysunek.

R4bx9ADNXEeJH

Na ilustracji przedstawiono pole w kratkę. Na płaszczyźnie narysowano prostokąt o bokach długości b i c. Zaznaczono przekątną prostokąta o długości równej cztery. Kąt nachylenia przekątnej do krótszego boku b wynosi 60 stopni, natomiast kąt nachylenia do dłuższego boku c wynosi 30 stopni.

Korzystając z własności trójkąta prostokątnego o kątach $30°$, $60°$ otrzymujemy $b=2$ oraz $c=2\sqrt{3}$.

Sąsiednia ściana boczna jest kwadratem o boku długości $2\sqrt{3}$.

RK1QVzdC8azvl

Na ilustracji przedstawiono pole w kratkę. Na płaszczyźnie narysowano kwadrat o boku długości $2\sqrt{3}$. Zaznaczono przekątną kwadratu, która jest nachylona do jego boku pod kątem czterdziestu pięciu stopni.

Stąd krawędź podstawy $a=2\sqrt{3}$.

A zatem $2R=\sqrt{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2+2^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$.

W kulę o powierzchni $64\pi$ wpisano prostopadłościan którego podstawą jest kwadrat o przekątnej $6$. Jaka jest wysokość tego prostopadłościanu?

Rozwiązanie:

Wyznaczymy promień kuli. Otrzymujemy równanie:

$4\pi R^2=64\pi$

Stąd $R=4$.

Do rozwiązania zadania wykorzystamy przekrój prostopadłościanu płaszczyzną zawierającą przekątną bryły i przekątną podstawy.

R17M5uT2dxOgD

Na ilustracji przedstawiono pole w kratkę. Na płaszczyźnie narysowano okrąg opisany na prostokącie. Długość krótszego boku prostokąta wynosi 6, natomiast długość dłuższego boku oznaczono literą c. Zaznaczono przekątne prostokąta o długości osiem, które przecinają się w punkcie S stanowiącym ich środek.

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

$c^2+6^2=8^2$

$c^2=28$

$c=2\sqrt{7}$.

Obliczymy długość najmniejszego z okręgów wyznaczonych przez wierzchołki ściany graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o polu podstawy równym $25 {\mathrm{cm}}^2$ i  wysokości $6 \mathrm{cm}$.

Rozwiązanie:

Z treści zadania wiemy, że podstawą jest kwadrat o polu $25 {\mathrm{cm}}^2$, zatem jego krawędź podstawy ma długość $5 \mathrm{cm}$. Wynika stąd, że pole powierzchni podstawy jest mniejsze niż pole powierzchni ściany bocznej: $25 {\mathrm{cm}}^2>30 {\mathrm{cm}}^2$.

Wierzchołki prostopadłościanu leżą na sferze, wówczas możemy wyciąć poprzecznie z tej strefy okrąg wyznaczony przez wierzchołki górnej lub dolnej podstawy.

Do rozwiązania zadania wykorzystamy przekrój prostopadłościanu płaszczyzną zawierającą jego podstawę.

Zauważmy, że przekątna kwadratu jest także średnicą okręgu opisanego na tej figurze. Ze wzoru na przekątną kwadratu $d=a\sqrt{2}$ dostajemy, że $d=5\sqrt{2}$.

Korzystając ze wzoru na długość okręgu $L=2\mathrm{\pi }r$, gdzie $2r=d$ otrzymujemy, że $L=5\sqrt{2} \left[\mathrm{cm}\right]$.

Objętość prostopadłościanu to iloczyn długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka.

Wzór na objętość prostopadłościanu o krawędziach $a$, $b$ i $c$:

Kula powstaje przez obrót dowolnego koła wokół jego średnicy.

Wzór na objętość kuli o promieniu $R$:

Wzór na pole powierzchni kuli o promieniu $R$:

Przekątna prostopadłościanu to odcinek łączący dwa najdalej oddalone od siebie wierzchołki. Wzór na przekątną prostopadłościanu o krawędziach $a$, $b$ i $c$: