Przeczytaj

W tym materiale pokażemy kilka zastosowań logarytmów w obliczeniach z fizyki. Przekształcając podane wzory, wykorzystamy własności logarytmów. Dla przypomnienia podamy najpierw definicję logarytmu.

logarytm

Definicja: logarytm

Logarytmem liczby dodatniej $b$ przy podstawie $a$ dodatniej i różnej od jedności, nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść $a$ , aby otrzymać $b$ .

Wahadło

Wahadło matematyczne to ciało zawieszone w jednorodnym polu grawitacyjnym w taki sposób, że może wykonywać drgania wokół poziomej osi, nieprzechodzącej przez środek ciężkości zawieszonego ciała.

Dla małych drgań wahadła okres drgań nie zależy od amplitudy a jedynie od długości wahadła i przyspieszenia grawitacyjnego.

RlTUxD7XnN69C

Grafika przedstawia łuk wyznaczony przez ruch wahadła, z końców łuku biegną dwie ukośne linie łączące się nad łukiem w środku jego rozpiętości. Linie te są oznaczone literą l. Na lewym końcu łuku zaznaczona została kropka. Obok łuku narysowany został rysunek przedstawiający wahadło i pokazujący sposób w jaki ono się porusza. Ramię wahadła jest podpisane litera l.

T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}

gdzie:
$T$ – okres drgań
$l$ – długość wahadła
$g$ – przyspieszenie ziemskie

Zauważmy, że podany wzór obowiązuje nie tylko w odniesieniu do drgań wahadła na Ziemi, ale też na innych planetach. Na Księżycu dane wahadło miałoby $\sqrt{6}$ razy dłuższy okres drgań, gdyż przyspieszenie grawitacyjne jest tam około sześciokrotnie mniejsze niż na Ziemi.

Przykład 1

Obliczymy, jaką długość powinno mieć wahadło, aby jego okres drgań w Warszawie wynosił $1 s$ . Przyjmijmy, że przyspieszenie ziemskie w Warszawie jest równe $981, 2 \frac{cm}{s^{2}}$ .

Rozwiązanie

Wyznaczymy $l$ ze wzoru

$T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}$ ,

gdzie $T = 1 s$ , $g = 981, 2 \frac{cm}{s^{2}}$ .

Zapisujemy wzór w postaci dogodniejszej dla obliczeń i podstawiamy do wzoru dane.

$2 π \sqrt{\frac{l}{g}} = T$

$2 π \sqrt{\frac{l}{981, 2}} = 1$

Logarytmujemy obie strony równania i przekształcamy.

$\log (2 π \sqrt{\frac{l}{981, 2}}) = \log 1$

$\log 2 π + \log \sqrt{\frac{l}{981, 2}} = 0$

$\log 2 π + 0, 5 (\log l - \log 981, 2) = 0$

$0, 5 \log l = 0, 5 \log 981, 2 - \log 2 π$

Odczytujemy z tablic logarytmicznych przybliżone wartości odpowiednich logarytmówlogarytmlogarytmów.

$\log 981, 2 \approx 2, 9918$

$\log 2 π \approx \log 6, 28 \approx 0, 7980$

Stąd:

$0, 5 \log l \approx 0, 5 \cdot 2, 9918 - 0, 7980$

$0, 5 \log l \approx 1, 4959 - 0, 7980 = 0, 6979$

$\log l \approx 1, 3958$ .

Ponownie sięgamy do tablic logarytmicznych.

$l \approx 24, 88 cm$

Rozwiąż powyższy przykład bez użycia logarytmówlogarytmlogarytmów. Porównaj otrzymane wyniki.

Absolutna wielkość gwiazdowa

Absolutna wielkość gwiazdowa to obserwowana wielkość gwiazdowa (wyrażona w magnitudo), jaką miałby obiekt oglądany z pewnej odległości przy braku pochłaniania światła w przestrzeni międzygwiezdnej.

W przypadku, gdy obiekt znajduje się poza Układem Słonecznym, za odległość odniesienia przyjęto $10$ parseków.
Parsek to jednostka odległości używana w astronomii.
$1$ parsek to około $3, 26$ roku świetlnego.
$1$ parsek to około $3, 1 \cdot 10^{16} m$ .

Absolutna wielkość gwiazdowa jest miarą jasności ciał niebieskich. Obserwowana wielkość gwiazdowa to jasność obserwowana gwiazdy w skali wielkości gwiazdowych.

Zależność między wielkością obserwowaną a absolutną wyraża się wzorem

M = m - 5 (\log r - 1)

gdzie:
$M$ – wielkość absolutna obiektu, określona jako wielkość obserwowana z odległości $10$ parseków,
$m$ – wielkość obserwowana,
$r$ – odległość między obserwatorem a obiektem, wyrażona w parsekach.

Przykład 2

Obliczymy jasność absolutną obiektu znajdującego się w odległości $652$ lat świetlnych, którego jasność obserwowana równa jest $0, 11$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $1$ parsek to $3, 26$ roku świetlnego, zatem $652$ lata świetlne to $200$ parseków.

Zatem:
$m = 0, 11$
$r = 200$ parseków

Podstawiamy te dane do wzoru na wielkość absolutną.

$M = 0, 11 - 5 (\log 200 - 1)$

$M = 0, 11 - 5 (\log 2 + 2 - 1)$

$M \approx 0, 11 - 5 (0, 3010 + 1) = - 6, 395$

Jasność absolutna obiektu jest równa około $(- 6, 395)$ .

Rząd wielkości

Rząd wielkości to przybliżone oszacowanie wartości danej liczby, określające w przyjętej skali przedział, w którym ta wielkość się znajduje. Znajomość rzędu wielkości pozwala na przykład ocenić rozmiar wpływu tej wielkości na wyniki obliczeń.

Rząd wielkości wyrażony jest przez całkowitą potęgę liczby $10$ najbliższą wartości szacowanej liczby.

Na przykład:

liczba $1, 21$ jest rzędu jedności, czyli $10^{0}$ ,

liczba $8 \cdot 10^{8}$ jest rzędu $10^{9}$ ,

liczba $7, 9 \cdot 10^{- 11}$ jest rzędu $10^{- 10}$ .

W matematyce do określania rzędu wielkości używa się też logarytmówlogarytmlogarytmów. Rząd wielkości to najbliższa całkowita wartość logarytmulogarytmlogarytmu dziesiętnego danej liczby.

Przykład 3

Człowiek waży $70 kg$ a świerszcz $0, 007 g$ . Obliczymy, o ile rzędów wielkości masa człowieka jest większa od masy świerszcza.

Rozwiązanie

$0, 007 g = 7 \cdot 10^{- 6} kg$

$\log 70 - \log (7 \cdot 10^{- 6}) = \log \frac{70}{7 \cdot 10^{- 6}} = \log 10^{7} = 7$

Masa człowieka jest o siedem rzędów wielkości większa od masy świerszcza.

Poziom natężenia dźwięku

Miarą siły dźwięku jest natężenie dźwięku. Jednostką natężenia dźwięku jest $\frac{W}{m^{2}}$ . W zakresie słyszalności człowieka dla dźwięku o częstotliwości $1000 Hz$ natężenie dźwięku przyjmuje wartość od $10^{- 12} \frac{W}{m^{2}}$ do $10^{2} \frac{W}{m^{2}}$ . Pierwsza wartość odpowiada progowi słyszalności, druga granicy bólu. Posługiwanie się natężeniem dźwięku nie jest wygodne, bowiem stosunek największej wartości natężenia do najmniejszej wyraża się bardzo dużą liczbą $10^{14}$ . Dlatego wprowadzono pojęcie poziomu natężenia dźwięku, który określa względną wartość natężenia wzorem

L = 10 \log (\frac{I}{I_{0}})

gdzie:
$L$ – poziom natężenia dźwięku,
$I$ – natężenie dźwięku,
$I_{0}$ – natężenie dźwięku odniesienia wynoszące $10^{- 12} \frac{W}{m^{2}}$ .

Jednostką poziomu natężenia dźwięku jest decybel ( $dB$ ).

Poziom natężenia dźwięku
Wartość w $dB$	Opis
$10$	szelest liści przy łagodnym wietrze
$20$	szept
$60$	rozmowa
$70$	samochód
$90$	ruch uliczny
$130$	start samolotu

Przykład 4

Natężenie muzyki na dyskotece jest $100000$ razy większe niż natężenie rozmowy. Obliczymy w decybelach poziom natężenia dźwięku na dyskotece.

Rozwiązanie

Z tabelki zamieszczonej powyżej odczytujemy, że poziom natężenia rozmowy jest równy $60 dB$ .

Wyznaczymy natężenie dźwięku odpowiadające rozmowie.

$60 = 10 \log (\frac{I}{10^{- 12}}) = 10 \log I - 10 \log 10^{- 12} / : 10$

$6 = \log I + 12$

$\log I = - 6$

$I = 10^{- 6} \frac{W}{m^{2}}$

Natężenie muzyki (oznaczamy $I_{1}$ ) jest $100000$ razy większe niż natężenie rozmowy, zatem

$I_{1} = 100000 \cdot I = 10^{5} \cdot 10^{- 6} = 10^{- 1}$

Zatem poziom natężenia muzyki na dyskotece:

$10 \log \frac{I_{1}}{I_{O}} = 10 \log \frac{10^{- 1}}{10^{- 12}} = 10 \cdot 11 = 110$

Odpowiedź: poziom natężenia dźwięków na dyskotece jest równy $110 dB$ .

Skala Richtera

Skala Richtera jest skalą logarytmiczną określającą wielkość trzęsienia Ziemi na podstawie amplitudy drgań wstrząsów sejsmicznych. Skala ta określa energię wytworzoną w czasie wstrząsu. Każdy kolejny stopień oznacza dziesięciokrotnie większą poziomą amplitudę drgań oraz około $32$ -krotnie większą energię.

Skala Richtera	Skutki
$2, 0 - 3, 4$	Wstrząsy odczuwalne przez niewielką grupę ludzi
$2, 0 - 3, 4$	Wstrząsy odczuwalne przez wszystkich, powodujące niewielkie zniszczenia
$6, 2 - 6, 9$	Duże wstrząsy, powodujące znaczne zniszczenia
$7, 0 - 7, 3$	Poważne zniszczenia
$7, 4 - 8, 0$	Ogromne zniszczenia
$8, 1 - 8, 9$	Ogromne zniszczenia, katastrofalne skutki dla wielu miast

Siła trzęsień Ziemi określana w skali Richtera opisana jest wzorem

R = \log \frac{A}{A_{0}}

gdzie:
$A$ – amplituda trzęsienia Ziemi wyrażona w $cm$ ,
$A_{0}$ – amplituda wzorcowa równa $10^{- 4} cm$ .

Przykład 5

Obliczymy amplitudę trzęsienia Ziemi o sile $6$ w skali Richtera.

Rozwiązanie

$6 = \log \frac{A}{10^{- 4}}$

$6 = \log A - \log 10^{- 4}$

$\log A = 6 - 4 = 2$

$\log A = 2$

$A = 10^{2} = 100$ $A = 100$

Amplituda tego trzęsienia Ziemi wynosiła $100 cm$ .

Słownik

logarytm

logarytmem liczby dodatniej $b$ przy podstawie $a$ dodatniej i różnej od jedności, nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść $a$ , aby otrzymać $b$

Wprowadzenie

Mapa myśli

Wahadło

Absolutna wielkość gwiazdowa

Rząd wielkości

Poziom natężenia dźwięku

Skala Richtera

Słownik