Przeczytaj
W tym materiale pokażemy kilka zastosowań logarytmów w obliczeniach z fizyki. Przekształcając podane wzory, wykorzystamy własności logarytmów. Dla przypomnienia podamy najpierw definicję logarytmu.
Logarytmem liczby dodatniej przy podstawie dodatniej i różnej od jedności, nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść , aby otrzymać .
Wahadło
Wahadło matematyczne to ciało zawieszone w jednorodnym polu grawitacyjnym w taki sposób, że może wykonywać drgania wokół poziomej osi, nieprzechodzącej przez środek ciężkości zawieszonego ciała.
Dla małych drgań wahadła okres drgań nie zależy od amplitudy a jedynie od długości wahadła i przyspieszenia grawitacyjnego.
gdzie:
– okres drgań
– długość wahadła
– przyspieszenie ziemskie
Zauważmy, że podany wzór obowiązuje nie tylko w odniesieniu do drgań wahadła na Ziemi, ale też na innych planetach. Na Księżycu dane wahadło miałoby razy dłuższy okres drgań, gdyż przyspieszenie grawitacyjne jest tam około sześciokrotnie mniejsze niż na Ziemi.
Obliczymy, jaką długość powinno mieć wahadło, aby jego okres drgań w Warszawie wynosił . Przyjmijmy, że przyspieszenie ziemskie w Warszawie jest równe .
Rozwiązanie
Wyznaczymy ze wzoru
,
gdzie , .
Zapisujemy wzór w postaci dogodniejszej dla obliczeń i podstawiamy do wzoru dane.
Logarytmujemy obie strony równania i przekształcamy.
Odczytujemy z tablic logarytmicznych przybliżone wartości odpowiednich logarytmówlogarytmów.
Stąd:
.
Ponownie sięgamy do tablic logarytmicznych.
Rozwiąż powyższy przykład bez użycia logarytmówlogarytmów. Porównaj otrzymane wyniki.
Absolutna wielkość gwiazdowa
Absolutna wielkość gwiazdowa to obserwowana wielkość gwiazdowa (wyrażona w magnitudo), jaką miałby obiekt oglądany z pewnej odległości przy braku pochłaniania światła w przestrzeni międzygwiezdnej.
W przypadku, gdy obiekt znajduje się poza Układem Słonecznym, za odległość odniesienia przyjęto parseków.
Parsek to jednostka odległości używana w astronomii.
parsek to około roku świetlnego.
parsek to około .
Absolutna wielkość gwiazdowa jest miarą jasności ciał niebieskich. Obserwowana wielkość gwiazdowa to jasność obserwowana gwiazdy w skali wielkości gwiazdowych.
Zależność między wielkością obserwowaną a absolutną wyraża się wzorem
gdzie:
– wielkość absolutna obiektu, określona jako wielkość obserwowana z odległości parseków,
– wielkość obserwowana,
– odległość między obserwatorem a obiektem, wyrażona w parsekach.
Obliczymy jasność absolutną obiektu znajdującego się w odległości lat świetlnych, którego jasność obserwowana równa jest .
Rozwiązanie
Ponieważ parsek to roku świetlnego, zatem lata świetlne to parseków.
Zatem:
parseków
Podstawiamy te dane do wzoru na wielkość absolutną.
Jasność absolutna obiektu jest równa około .
Rząd wielkości
Rząd wielkości to przybliżone oszacowanie wartości danej liczby, określające w przyjętej skali przedział, w którym ta wielkość się znajduje. Znajomość rzędu wielkości pozwala na przykład ocenić rozmiar wpływu tej wielkości na wyniki obliczeń.
Rząd wielkości wyrażony jest przez całkowitą potęgę liczby najbliższą wartości szacowanej liczby.
Na przykład:
liczba jest rzędu jedności, czyli ,
liczba jest rzędu ,
liczba jest rzędu .
W matematyce do określania rzędu wielkości używa się też logarytmówlogarytmów. Rząd wielkości to najbliższa całkowita wartość logarytmulogarytmu dziesiętnego danej liczby.
Człowiek waży a świerszcz . Obliczymy, o ile rzędów wielkości masa człowieka jest większa od masy świerszcza.
Rozwiązanie
Masa człowieka jest o siedem rzędów wielkości większa od masy świerszcza.
Poziom natężenia dźwięku
Miarą siły dźwięku jest natężenie dźwięku. Jednostką natężenia dźwięku jest . W zakresie słyszalności człowieka dla dźwięku o częstotliwości natężenie dźwięku przyjmuje wartość od do . Pierwsza wartość odpowiada progowi słyszalności, druga granicy bólu. Posługiwanie się natężeniem dźwięku nie jest wygodne, bowiem stosunek największej wartości natężenia do najmniejszej wyraża się bardzo dużą liczbą . Dlatego wprowadzono pojęcie poziomu natężenia dźwięku, który określa względną wartość natężenia wzorem
gdzie:
– poziom natężenia dźwięku,
– natężenie dźwięku,
– natężenie dźwięku odniesienia wynoszące .
Jednostką poziomu natężenia dźwięku jest decybel ().
Poziom natężenia dźwięku | |
---|---|
Wartość w | Opis |
szelest liści przy łagodnym wietrze | |
szept | |
rozmowa | |
samochód | |
ruch uliczny | |
start samolotu |
Natężenie muzyki na dyskotece jest razy większe niż natężenie rozmowy. Obliczymy w decybelach poziom natężenia dźwięku na dyskotece.
Rozwiązanie
Z tabelki zamieszczonej powyżej odczytujemy, że poziom natężenia rozmowy jest równy .
Wyznaczymy natężenie dźwięku odpowiadające rozmowie.
Natężenie muzyki (oznaczamy ) jest razy większe niż natężenie rozmowy, zatem
Zatem poziom natężenia muzyki na dyskotece:
Odpowiedź: poziom natężenia dźwięków na dyskotece jest równy .
Skala Richtera
Skala Richtera jest skalą logarytmiczną określającą wielkość trzęsienia Ziemi na podstawie amplitudy drgań wstrząsów sejsmicznych. Skala ta określa energię wytworzoną w czasie wstrząsu. Każdy kolejny stopień oznacza dziesięciokrotnie większą poziomą amplitudę drgań oraz około -krotnie większą energię.
Skala Richtera | Skutki |
---|---|
Wstrząsy odczuwalne przez niewielką grupę ludzi | |
Wstrząsy odczuwalne przez wszystkich, powodujące niewielkie zniszczenia | |
Duże wstrząsy, powodujące znaczne zniszczenia | |
Poważne zniszczenia | |
Ogromne zniszczenia | |
Ogromne zniszczenia, katastrofalne skutki dla wielu miast |
Siła trzęsień Ziemi określana w skali Richtera opisana jest wzorem
gdzie:
– amplituda trzęsienia Ziemi wyrażona w ,
– amplituda wzorcowa równa .
Obliczymy amplitudę trzęsienia Ziemi o sile w skali Richtera.
Rozwiązanie
Amplituda tego trzęsienia Ziemi wynosiła .
Słownik
logarytmem liczby dodatniej przy podstawie dodatniej i różnej od jedności, nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść , aby otrzymać