Czworokąt (wypukły) mający przynajmniej jedną parę boków równoległych.  
Parę boków równoległych nazywa się podstawami, pozostałe boki noszą nazwę ramion, odległość między podstawami nazywa się wysokością trapezu.

RoBeAx5nEty2I

Na ilustracji przedstawiono trapez $ABCD$. Dłuższą podstawę oznaczono literą a, natomiast krótszą literą b. Linią przerywaną zaznaczono wysokość h, opuszczoną z wierzchołka D do podstawy $AB$.

Z powyższej własności wynika, że dwusieczne kątów wewnętrznych przy tym samym ramieniu są prostopadłe.

Niech $P$ oznacza punkt przecięcia przekątnych. Pokażemy, że czworokąt $ABCD$ jest trapezem wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąty $ADP$ i $BCP$ mają równe pola.

REu9KPLrwyHJH

Na ilustracji przedstawiono trapez $ABCD$. Zaznaczono przekątne trapezu łączące wierzchołek A i C, oraz B i D. Przekątne przecinają się w punkcie P. Różowym kolorem zacieniowano powstałe trójkąty $DPA$, oraz $CPB$. Niebiskim kolorem zacieniowano trójkąt $ABP$.

Rozwiązanie

Przeanalizujmy poniższe zdania:

• $ABCD$ jest trapezem o podstawach $AB$ i $CD$;

• odległości punktów $C$ i $D$ od prostej $AB$ są równe;

• pola trójkątów $ABC$ i $ABD$ są równe;

• sumy pól trójkątów $ABP$ i $ADP$ oraz $ABP$ i $BCP$ są równe;

• pola trójkątów $ADP$ i $BCP$ są równe.

Równoważność powyższych zdań potwierdza przytoczoną wcześniej własność.

Przy okazji powyższego podziału na trójkąty warto zauważyć inną charakterystykę trapezu

• trójkąty $ABP$ i $CDP$ są podobne. Wynika to wprost z twierdzenia Talesa.

Niech $M$ będzie środkiem ramienia $AD$, $N$ - środkiem ramienia $BC$. 

R195WVSWCnueP

Na ilustracji przedstawiono trapez $ABCD$. Dłuższą podstawę oznaczono literą a, natomiast krótszą literą b. Różowym kolorem zaznaczono odcinek $MN$ łączący środki ramion trapezu.

Wyznaczymy długość odcinka $MN$.

Rozwiązanie

R1BNYuSSoBzUL

Na ilustracji przedstawiono trapez $ABCD$. Dłuższą podstawę oznaczono literą a, natomiast krótszą literą b. Różowym kolorem zaznaczono odcinek $MN$ łączący środki ramion trapezu. Zaznaczono przekątną $AC$, która przecina odcinek $MN$ w punkcie E. Odległość $ME$ wynosi $\frac{b}{2}$, natomiast odległość $EN$ wynosi $\frac{a}{2}$.

Przyjmijmy, że punkt $E$ to środek przekątnej $AC$. Wtedy, korzystając z własności linii środkowej w trójkącielinia środkowa w trójkącielinii środkowej w trójkącie, $\left|EN\right|=\frac{a}{2}$ oraz $\left|ME\right|=\frac{b}{2}$.

Odcinki $\left|EN\right|$ i $\left|ME\right|$ są równoległe do podstaw, więc punkty $M$, $E$, $N$ są współliniowe.

Możemy zatem obliczyć szukaną długość odcinka

$\left|MN\right|=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}=\frac{a+b}{2}$.

Wyznaczymy długość odcinka $EF$, który jest równoległy do podstaw oraz dzieli trapez na dwa trapezy podobne.

Rozwiązanie

R1GirAB0p3Lui

Na ilustracji przedstawiono trapez $ABCD$. Dłuższą podstawę oznaczono a, natomiast krótszą b. Różowym kolorem zaznaczono poziomy odcinek $EF$ łączący ramiona trapezu.

Ponieważ trapezy $ABFE$ i $EFCD$ są podobne, to zachodzi zależność:

$\frac{\left|AB\right|}{\left|EF\right|}=\frac{\left|EF\right|}{\left|CD\right|}$

${\left|EF\right|}^2=\left|AB\right|\cdot \left|CD\right|$.

Szukana długość odcinka jest więc równa

$\left|EF\right|=\sqrt{ab}$.

Zastanówmy się, jaką długość ma odcinek $GH$, który jest równoległy do podstaw i przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych trapezu (rysunek).

R1HTiBZMI2RPy

Na ilustracji przedstawiono trapez $ABCD$. Zaznaczono przekątne trapezu łączące wierzchołki A i C, oraz B i D. Przekątne przecinają się w punkcie P. Zaznaczono poziomy odcinek $GH$, który łączy ramiona trapezu i przechodzi przez punkt P.

Rozwiązanie

RFm0LXhLdHF3R

Na ilustracji przedstawiono trapez $ABCD$. Zaznaczono przekątne trapezu łączące wierzchołki A i C, oraz B i D. Przekątne przecinają się w punkcie P. Zaznaczono poziomy odcinek $GH$, który łączy ramiona trapezu i przechodzi przez punkt P. Kolejno z wierzchołka D, punktu P i wierzchołka C poprowadzono wysokości do podstawy $AB$. Odległość z punktu D i C, do odcinka $GH$ oznaczono $h_1$. Odległość od odcinka $GH$ do podstawy $AB$ oznaczono $h_2$.

Niech $P$ będzie punktem przecięcia przekątnych trapezu.

Na początku pokażemy, że odcinki $GP$ i $PH$ mają równą długość.

Ponieważ trójkąty $ABD$ i $GPD$ są podobne (cecha kąt‑kąt‑kąt), to stosunki odpowiednich boków są równe stosunkom odpowiednich wysokości

$\frac{\left|GP\right|}{\left|AB\right|}=\frac{h_1}{h_1+h_2}$.

Analogicznie, z podobieństwa trójkątów $ABC$ i $PHC$ (cecha kąt‑kąt‑kąt)

$\frac{\left|PH\right|}{\left|AB\right|}=\frac{h_1}{h_1+h_2}$.

Ponieważ prawe strony powyższych proporcji są równe, otrzymujemy

$\frac{\left|GP\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|PH\right|}{\left|AB\right|}$

$\left|GP\right|=\left|PH\right|$.

Teraz przejdźmy do wyznaczenia długości odcinka $GH$.

Z powyższej obserwacji wiemy, że wystarczy obliczyć długość $GP$. Zapiszemy jeszcze raz proporcję

$\frac{\left|GP\right|}{\left|AB\right|}=\frac{h_1}{h_1+h_2}$,

więc

$\left|GP\right|=\frac{h_1}{h_1+h_2}\cdot \left|AB\right|=\frac{h_1}{h_1+h_2}\cdot a$.

Zauważmy, że na podstawie podobieństwa trójkątów $ABP$ i $CDP$ (cecha kąt‑kąt‑kąt), możemy wyznaczyć proporcję

$\frac{b}{a}=\frac{h_1}{h_2}$.

Ostatecznie otrzymujemy

$\left|GP\right|=\frac{h_1}{h_1+h_2}a=\frac{{}_{\frac{h_1}{h_2}}}{\frac{h_1}{h_2}+\frac{h_2}{h_2}}a=\frac{{}_{\frac{b}{a}}}{\frac{b}{a}+1}a=\frac{ab}{a+b}$.

Na koniec obliczymy długość odcinka $ST$ równoległego do podstaw trapezu, który dzieli ten trapez na dwa trapezy o równych polach.

Rozwiązanie

R1T03NmQSNITS

Na ilustracji przedstawiono trapez $ABCD$. Zaznaczono poziomy odcinek $ST$ łączący ramiona trapezu. Odległość punktu S od podstawy $AB$ wynosi $h_1$. Odległość wierzchołka D od odcinka $ST$ wynosi $h_2$.

Przyjmijmy $\left|ST\right|=x$ oraz wysokość trapezu $ABCD$ - $h$.

Pola trapezów $ABTS$ i $STCD$ są równe, więc ich wartość to połowa pola trapezu $ABCD$

$P_{ABTS}=\frac{1}{2}\left(a+x\right)\cdot h_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{a+b}{2}h$,

analogicznie

$P_{STCD}=\frac{1}{2}\left(x+b\right)\cdot h_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{\left(a+b\right)}{2}h$.

Z powyższych równań wyznaczamy $h_1$ oraz $h_2$:

$h_1=\frac{\left(a+b\right)}{2\left(a+x\right)}h$,

$h_2=\frac{\left(a+b\right)}{2\left(b+x\right)}h$.

Wiemy ponadto, że $h_1+h_2=h$.

Zatem otrzymujemy równanie

$\frac{\left(a+b\right)}{2\left(a+x\right)}h+\frac{\left(a+b\right)}{2\left(b+x\right)}h=h$,

które po podzieleniu obustronnym przez $h$ ma postać

$\frac{\left(a+b\right)}{2\left(a+x\right)}+\frac{\left(a+b\right)}{2\left(b+x\right)}=1$.

Otrzymaliśmy już równanie z jedną niewiadomą $x$.

Po prostych przekształceniach otrzymujemy

$\left(a+b\right)\left(b+x\right)+\left(a+b\right)\left(a+x\right)=2\left(a+x\right)\left(b+x\right)$

$ab+ax+b^2+bx+a^2+ax+ab+bx=2ab+2ax+2bx+2x^2$

$a^2+b^2=2x^2$.

Zatem długość odcinka $ST$ jest równa $x=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$.

odcinek łączący środki pewnych dwóch boków trójkąta; odcinek, który łączy środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku, a jego długość jest równa połowie tego boku.

czasem nierówności Cauchy’ego między średnimi; nierówności porządkujące w ciąg nierosnący cztery średnie tj. średnią kwadratową, arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną wyznaczone dla tego samego układu liczb dodatnich

ich nazwa pochodzi od nazwiska Augustina Louisa Cauchy’ego, francuskiego matematyka