Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

W tym materiale pokażemy kilka ciekawych zastosowań wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Na początek więc przypomnienie tego wzoru.

Wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń:

a2-b2=a+ba-b

Różnica kwadratów dwóch dowolnych wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez ich różnicę.

Na przestrzeni wieków wielu matematyków pasjonowało się sposobami przedstawiania liczb naturalnych w postaci różnicy kwadratów. W rozważaniach wykorzystywali zależności arytmetyczne – my wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeńwzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeńwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

Przykład 1

Wykażemy, że każdą liczbę nieparzystą większą od 1, można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych.

Niech k będzie liczbą nieparzystą większą od 1.

Wtedy liczbę tę można zapisać w postaci

k=2n+1, gdzie n jest pewną liczbą naturalną dodatnią.

Przekształcamy zapisane wyrażenie, dodając i odejmując n2.

k=2n+1+n2-n2

Wyrażenie 2n+1+n2 to kwadrat sumy liczb n1. Zatem

k=n+12-n2

Wynika stąd, że liczbę k można przedstawić w postaci różnicy kwadratów liczb n+1n, co należało wykazać.

Korzystając ze wzoru podanego w Przykładzie 1 można zapisać ciekawy wniosek.

Wniosek:

Suma dwóch kolejnych liczb naturalnych dodatnich jest równa różnicy kwadratów tych liczb.

Istotnie,

n+n+1=2n+1=n+12-n2

gdzie:
n, n+1 – to kolejne liczby naturalne dodatnie.

Korzystając z wniosku, zapiszemy ciekawe równości.

3=1+2=22-12
5=2+3=32-22
7=3+4=42-32
9=4+5=52-42

Wiemy już, że każdą liczbę nieparzystą większą od 1 można zapisać w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb. Ale jak znaleźć te liczby?

Ważne!

Niech k będzie liczbą naturalną nieparzystą większą od 1. Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, można tę liczbę zapisać w postaci

k=k+122-k-122

Wzór ten pozwala szybko znaleźć liczby, które pomogą nam w rozkładzie danych liczb na różnicę kwadratów.

Przykład 2

Zapiszemy w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb liczby: 19, 31, 115.

Korzystamy z podanego wzoru.

19=19+122-19-122=102-92

31=31+122-31-122=162-152

115=115+122-115-122=582-572

Pokażemy teraz, że istnieją liczby parzyste złożone, które również można zapisać za pomocą różnicy kwadratów.

Przykład 3

Wykażemy, że jeśli n jest liczbą naturalną dodatnią, to

n+12-n-12=4n

n+22-n-22=8n

n+32-n-32=12n

  • W podobny sposób wykażemy, że n+22-n-22=8n.

    L=n+22-n-22

    L=n+2-n+2n+2+n-2

    L=4·2n=8n=P

  • Udowodnimy ostatnią równość: n+32-n-32=12n.

    L=n+32-n-32

    L=n+3-n+3n+3+n-3

    L=6·2n=12n=P

Podobne równości jak w Przykładzie 3, można zapisywać dla kolejnych liczb naturalnych.

Wniosek:

Każdą liczbę naturalną podzielną przez 4 można zapisać w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych.

Korzystając z wniosku możemy zapisać na przykład:

40=4·10=112-92
400=4·100=1012-992
80=8·10=122-82
1200=12·100=1032-972

Wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów jest często przydatny przy badaniu podzielności liczb naturalnych.

Przykład 4

Niech A będzie liczbą naturalną większą od 8 taką, że

A=n+k4-n-k4,

gdzie n, k to pewne liczby naturalne dodatnie. Wykażemy, że liczba A jest podzielna przez 8.

Przekształcimy wyrażenie, za pomocą którego zapisana jest liczba A, korzystając dwukrotnie ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

A=n+k4-n-k4

A=n+k2-n-k2·n+k2+n-k2

A=n+k-n+kn+k+n-k·n2+2nk+k2+n2-2nk+k2

A=2k·2n·2n2+2k2

A=8knn2+k2

Liczbę A przedstawiliśmy w postaci iloczynu liczby 8 i liczby naturalnej t=knn2+k2, co oznacza, że liczba A jest podzielna przez 8.

Przykład 5

Wykażemy, że liczba K=178-1 jest liczbą złożoną i ma co najmniej 4 dzielniki właściwe.

Zapisujemy liczbę K w postaci iloczynu, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów.

K=178-1

K=1742-1=174-1174+1

K=172-1172+1174+1

K=17-117+1172+1174+1

K=16·18·172+1174+1

Liczbę K zapisaliśmy za pomocą iloczynu czterech liczb naturalnych dodatnich, większych od 1, zatem jest to liczba złożona.

Dzielniki właściwe tej liczby to na przykład 16, 18, 172+1, 174+1.

Zatem liczba K to liczba złożona, która ma co najmniej cztery dzielniki właściwe, co należało wykazać.

Słownik

wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń
wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń
a2-b2=a+ba-b

różnica kwadratów dwóch dowolnych wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez ich różnicę