Przeczytaj

W tym materiale pokażemy kilka ciekawych zastosowań wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Na początek więc przypomnienie tego wzoru.

Wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Różnica kwadratów dwóch dowolnych wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez ich różnicę.

Na przestrzeni wieków wielu matematyków pasjonowało się sposobami przedstawiania liczb naturalnych w postaci różnicy kwadratów. W rozważaniach wykorzystywali zależności arytmetyczne – my wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeńwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

Przykład 1

Wykażemy, że każdą liczbę nieparzystą większą od $1$ , można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych.

Niech $k$ będzie liczbą nieparzystą większą od $1$ .

Wtedy liczbę tę można zapisać w postaci

$k = 2 n + 1$ , gdzie $n$ jest pewną liczbą naturalną dodatnią.

Przekształcamy zapisane wyrażenie, dodając i odejmując $n^{2}$ .

$k = 2 n + 1 + n^{2} - n^{2}$

Wyrażenie $2 n + 1 + n^{2}$ to kwadrat sumy liczb $n$ i $1$ . Zatem

$k = {(n + 1)}^{2} - n^{2}$

Wynika stąd, że liczbę $k$ można przedstawić w postaci różnicy kwadratów liczb $n + 1$ i $n$ , co należało wykazać.

Korzystając ze wzoru podanego w Przykładzie 1 można zapisać ciekawy wniosek.

Wniosek:

Suma dwóch kolejnych liczb naturalnych dodatnich jest równa różnicy kwadratów tych liczb.

Istotnie,

n + n + 1 = 2 n + 1 = {(n + 1)}^{2} - n^{2}

gdzie:
$n$ , $n + 1$ – to kolejne liczby naturalne dodatnie.

Korzystając z wniosku, zapiszemy ciekawe równości.

3 = 1 + 2 = 2^{2} - 1^{2}

5 = 2 + 3 = 3^{2} - 2^{2}

7 = 3 + 4 = 4^{2} - 3^{2}

9 = 4 + 5 = 5^{2} - 4^{2}

Wiemy już, że każdą liczbę nieparzystą większą od $1$ można zapisać w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb. Ale jak znaleźć te liczby?

Ważne!

Niech $k$ będzie liczbą naturalną nieparzystą większą od $1$ . Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, można tę liczbę zapisać w postaci

k = {(\frac{k + 1}{2})}^{2} - {(\frac{k - 1}{2})}^{2}

Wzór ten pozwala szybko znaleźć liczby, które pomogą nam w rozkładzie danych liczb na różnicę kwadratów.

Przykład 2

Zapiszemy w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb liczby: $19$ , $31$ , $115$ .

Korzystamy z podanego wzoru.

$19 = {(\frac{19 + 1}{2})}^{2} - {(\frac{19 - 1}{2})}^{2} = 10^{2} - 9^{2}$

$31 = {(\frac{31 + 1}{2})}^{2} - {(\frac{31 - 1}{2})}^{2} = 16^{2} - 15^{2}$

$115 = {(\frac{115 + 1}{2})}^{2} - {(\frac{115 - 1}{2})}^{2} = 58^{2} - 57^{2}$

Pokażemy teraz, że istnieją liczby parzyste złożone, które również można zapisać za pomocą różnicy kwadratów.

Przykład 3

Wykażemy, że jeśli $n$ jest liczbą naturalną dodatnią, to

${(n + 1)}^{2} - {(n - 1)}^{2} = 4 n$

${(n + 2)}^{2} - {(n - 2)}^{2} = 8 n$

${(n + 3)}^{2} - {(n - 3)}^{2} = 12 n$

Wykażemy najpierw prawdziwość równości ${(n + 1)}^{2} - {(n - 1)}^{2} = 4 n$ .
Przekształcamy lewą stronę równości, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeńwzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.
$L = {(n + 1)}^{2} - {(n - 1)}^{2}$
$L = (n + 1 - n + 1) (n + 1 + n - 1)$
$L = 2 \cdot 2 n = 4 n = P$

W podobny sposób wykażemy, że ${(n + 2)}^{2} - {(n - 2)}^{2} = 8 n$ .
$L = {(n + 2)}^{2} - {(n - 2)}^{2}$
$L = (n + 2 - n + 2) (n + 2 + n - 2)$
$L = 4 \cdot 2 n = 8 n = P$

Udowodnimy ostatnią równość: ${(n + 3)}^{2} - {(n - 3)}^{2} = 12 n$ .
$L = {(n + 3)}^{2} - {(n - 3)}^{2}$
$L = (n + 3 - n + 3) (n + 3 + n - 3)$
$L = 6 \cdot 2 n = 12 n = P$

Podobne równości jak w Przykładzie $3$ , można zapisywać dla kolejnych liczb naturalnych.

Wniosek:

Każdą liczbę naturalną podzielną przez $4$ można zapisać w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych.

Korzystając z wniosku, możemy zapisać na przykład:

40 = 4 \cdot 10 = 11^{2} - 9^{2}

400 = 4 \cdot 100 = 101^{2} - 99^{2}

80 = 8 \cdot 10 = 12^{2} - 8^{2}

1200 = 12 \cdot 100 = 103^{2} - 97^{2}

Wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów jest często przydatny przy badaniu podzielności liczb naturalnych.

Przykład 4

Niech $A$ będzie liczbą naturalną większą od $8$ taką, że

$A = {(n + k)}^{4} - {(n - k)}^{4}$ ,

gdzie $n$ , $k$ to pewne liczby naturalne dodatnie. Wykażemy, że liczba $A$ jest podzielna przez $8$ .

Przekształcimy wyrażenie, za pomocą którego zapisana jest liczba $A$ , korzystając dwukrotnie ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$A = {(n + k)}^{4} - {(n - k)}^{4}$

$A = [{(n + k)}^{2} - {(n - k)}^{2}] \cdot [{(n + k)}^{2} + {(n - k)}^{2}]$

$A = [(n + k - n + k) (n + k + n - k)] \cdot (n^{2} + 2 n k + k^{2} + n^{2} - 2 n k + k^{2})$

$A = 2 k \cdot 2 n \cdot (2 n^{2} + 2 k^{2})$

$A = 8 k n (n^{2} + k^{2})$

Liczbę $A$ przedstawiliśmy w postaci iloczynu liczby $8$ i liczby naturalnej $t = k n (n^{2} + k^{2})$ , co oznacza, że liczba $A$ jest podzielna przez $8$ .

Przykład 5

Wykażemy, że liczba $K = 17^{8} - 1$ jest liczbą złożoną i ma co najmniej $4$ dzielniki właściwe.

Zapisujemy liczbę $K$ w postaci iloczynu, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów.

$K = 17^{8} - 1$

$K = {(17^{4})}^{2} - 1 = (17^{4} - 1) (17^{4} + 1)$

$K = (17^{2} - 1) (17^{2} + 1) (17^{4} + 1)$

$K = (17 - 1) (17 + 1) (17^{2} + 1) (17^{4} + 1)$

$K = 16 \cdot 18 \cdot (17^{2} + 1) (17^{4} + 1)$

Liczbę $K$ zapisaliśmy za pomocą iloczynu czterech liczb naturalnych dodatnich, większych od $1$ , zatem jest to liczba złożona.

Dzielniki właściwe tej liczby to na przykład $16$ , $18$ , $17^{2} + 1$ , $17^{4} + 1$ .

Zatem liczba $K$ to liczba złożona, która ma co najmniej cztery dzielniki właściwe, co należało wykazać.

Słownik

wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

różnica kwadratów dwóch dowolnych wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez ich różnicę

Wprowadzenie

Animacja

Słownik