Przeczytaj
W tym materiale pokażemy kilka ciekawych zastosowań wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Na początek więc przypomnienie tego wzoru.
Wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń:
Różnica kwadratów dwóch dowolnych wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez ich różnicę.
Na przestrzeni wieków wielu matematyków pasjonowało się sposobami przedstawiania liczb naturalnych w postaci różnicy kwadratów. W rozważaniach wykorzystywali zależności arytmetyczne – my wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeńwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.
Wykażemy, że każdą liczbę nieparzystą większą od , można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych.
Niech będzie liczbą nieparzystą większą od .
Wtedy liczbę tę można zapisać w postaci
, gdzie jest pewną liczbą naturalną dodatnią.
Przekształcamy zapisane wyrażenie, dodając i odejmując .
Wyrażenie to kwadrat sumy liczb i . Zatem
Wynika stąd, że liczbę można przedstawić w postaci różnicy kwadratów liczb i , co należało wykazać.
Korzystając ze wzoru podanego w Przykładzie 1 można zapisać ciekawy wniosek.
Wniosek:
Suma dwóch kolejnych liczb naturalnych dodatnich jest równa różnicy kwadratów tych liczb.
Istotnie,
gdzie:
, – to kolejne liczby naturalne dodatnie.
Korzystając z wniosku, zapiszemy ciekawe równości.
Wiemy już, że każdą liczbę nieparzystą większą od można zapisać w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb. Ale jak znaleźć te liczby?
Niech będzie liczbą naturalną nieparzystą większą od . Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, można tę liczbę zapisać w postaci
Wzór ten pozwala szybko znaleźć liczby, które pomogą nam w rozkładzie danych liczb na różnicę kwadratów.
Zapiszemy w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb liczby: , , .
Korzystamy z podanego wzoru.
Pokażemy teraz, że istnieją liczby parzyste złożone, które również można zapisać za pomocą różnicy kwadratów.
Wykażemy, że jeśli jest liczbą naturalną dodatnią, to
Wykażemy najpierw prawdziwość równości .
Przekształcamy lewą stronę równości, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeńwzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.
W podobny sposób wykażemy, że .
Udowodnimy ostatnią równość: .
Podobne równości jak w Przykładzie , można zapisywać dla kolejnych liczb naturalnych.
Wniosek:
Każdą liczbę naturalną podzielną przez można zapisać w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych.
Korzystając z wniosku, możemy zapisać na przykład:
Wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów jest często przydatny przy badaniu podzielności liczb naturalnych.
Niech będzie liczbą naturalną większą od taką, że
,
gdzie , to pewne liczby naturalne dodatnie. Wykażemy, że liczba jest podzielna przez .
Przekształcimy wyrażenie, za pomocą którego zapisana jest liczba , korzystając dwukrotnie ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
Liczbę przedstawiliśmy w postaci iloczynu liczby i liczby naturalnej , co oznacza, że liczba jest podzielna przez .
Wykażemy, że liczba jest liczbą złożoną i ma co najmniej dzielniki właściwe.
Zapisujemy liczbę w postaci iloczynu, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów.
Liczbę zapisaliśmy za pomocą iloczynu czterech liczb naturalnych dodatnich, większych od , zatem jest to liczba złożona.
Dzielniki właściwe tej liczby to na przykład , , , .
Zatem liczba to liczba złożona, która ma co najmniej cztery dzielniki właściwe, co należało wykazać.
Słownik
różnica kwadratów dwóch dowolnych wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez ich różnicę