Przypomnijmy, że obrazy punktów $A$, $B$, $C$, $...$ przez przekształcenie $P$ oznaczamy odpowiednio $P\left(A\right)$, $P\left(B\right)$, $P\left(C\right)$, $\dots$ lub po prostu $A\text{'}$, $B\text{'}$, $C\text{'}$, $\dots$ (jeśli wiadomo z kontekstu, o jakim przekształceniu mowa).

Zaczniemy od przypomnienia konstrukcji, dzięki której możemy otrzymać obraz danego punktu względem osi $Y$. Ilustracje poszczególnych kroków konstrukcji znajdują się poniżej.

1. Jeśli punkt $A$ leży na osi $Y$, to jego obraz $A\text{'}$ w symetrii względem osi $Y$ jest równy $A$.

   R1LGAXvwTdAWC

   Grafika przedstawia poziomą oś x i pionową oś y. Na osi y , poniżej osi x znajduje się punkt, który został podpisany $A=S_Y\left(A\right)$.

   

2. Przez punkt $A$ nie leżący na osi $Y$, którego obraz w symetrii względem osi $Y$ chcemy wyznaczyć, prowadzimy prostą $k$ prostopadłą do osi $Y$.

3. Punkt przecięcia osi $Y$ i prostej $k$ oznaczmy przez $S$.

4. Obraz $A\text{'}$ punktu $A$ w symetrii względem osi $Y$ znajduje się na prostej $k$ w tej samej odległości od $S$ co punkt $A$, ale po przeciwnej stronie osi $Y$ niż punkt $A$.

5. Punkt $A\text{'}$ można wyznaczyć jako punkt przecięcia okręgu o środku w punkcie $S$ i promieniu $\left|AS\right|$ z prostą $k$.

R12hGFF9AlRG7

Grafika przedstawia poziomą oś x i pionową oś y. W czwartej ćwiartce znajduje się punkt A.

Rwhr0D8WHp3wj

Grafika przedstawia poziomą oś x i pionową oś y. W czwartej ćwiartce znajduje się punkt A, przez punkt A narysowano poziomą prostą k, która jest prostopadła do osi Y.

R1XiN3qTkCstW

Grafika przedstawia poziomą oś x i pionową oś y. W czwartej ćwiartce znajduje się punkt A, przez punkt A narysowano poziomą prostą k, która jest prostopadła do osi Y. Kolejno na płaszczyźnie narysowano okrąg o środku S w punkcie przecięcia prostej k z osią y i przechodzącym przez punkt przecięcia prostej k z punktem A.

R1d89fAwj0kyg

Grafika przedstawia poziomą oś x i pionową oś y. W czwartej ćwiartce znajduje się punkt A, przez punkt A narysowano poziomą prostą k, która jest prostopadła do osi Y. Kolejno na płaszczyźnie narysowano okrąg o środku S w punkcie przecięcia prostej k z osią y i przechodzącym przez punkt przecięcia prostej k z punktem A. W trzeciej ćwiartce narysowano punkt w miejscu przecięcia prostej k z okręgiem, punkt ten podpisano A prim.

RPIssA2vBVX97

Grafika przedstawia poziomą oś x i pionową oś y. W czwartej ćwiartce znajduje się punkt A o współrzędnych początek nawiasu, $x_A$, $y_A$, zamknięcie nawiasu, przez punkt A narysowano poziomą prostą k, która jest prostopadła do osi Y. Kolejno na płaszczyźnie narysowano okrąg o środku S w punkcie przecięcia prostej k z osią y i przechodzącym przez punkt przecięcia prostej k z punktem A. W trzeciej ćwiartce narysowano punkt w miejscu przecięcia prostej k z okręgiem, punkt ten podpisano A prim o współrzędnych początek nawiasu, $-x_A$, $y_A$, zamknięcie nawiasu.

Można zauważyć, że:

• ponieważ punkty $A$ i $A\text{'}$ leżą na prostej prostopadłej do osi $Y$, więc oba mają równe drugie współrzędne,

• ponieważ punkty $A$ i $A\text{'}$ leżą w tej samej odległości od osi $Y$, więc wartości bezwzględne ich pierwszych współrzędnych są równe,

• ponieważ punkty $A$ i $A\text{'}$ leżą po różnych stronach osi $Y$, więc ich drugie współrzędne mają różne znaki.

Zatem obrazem punktu $A$ o współrzędnych $\left(x, y\right)$ w symetrii względem osi $Y$ jest punkt $A\text{'}$ o współrzędnych $\left(-x, y\right)$.

Aby wyznaczyć obraz figury $F$ w symetrii względem osi $Y$, wyznaczamy obraz w symetrii względem osi $Y$ każdego punktu należącego do figury $F$. Zbiór obrazów wszystkich punktów figury $F$ tworzy obraz figury $F$. Na rysunku poniżej zilustrowano odcinek $AB$ i jego obraz $A\text{'}B\text{'}$ w symetrii względem osi $Y$.

R18ylBkPf8uPE

Grafika przedstawia poziomą oś x i pionową oś y. Na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce znajdują się punkty A oraz W, a w pierwszej ćwiartce są punkty Y, Z oraz B. Na osi y powyżej osi x znajduje się punkt X. Punkty te zostały połączone niebieską linią. Przez punkt W, Y oraz Z poprowadzone zostały linią przerywaną poziome linie równoległe do osi x. Na linii, na której znajduje się punkt W w pierwszej ćwiartce znalazł się punkt W prim. Na linii, na której znajduje się punkt Y w pierwszej ćwiartce znajduje się punkt Y prim. Na linii, na której znajduje się punkt Z w pierwszej ćwiartce znajduje się punkt Z prim. Przez punkty oznaczone primem narysowano linię w kolorze zielonym. Na krańcach tej linii dorysowano punkty A prim i B prim, na takiej samej zasadzie jak pozostałe punkty. Linie przecinają się w punkcie X, który jest równy punktowi X prim.

Ponieważ symetria względem osi $Y$ jest izometriąizometria płaszczyznyizometrią, można udowodnić, że obrazem odcinka/koła/wielokąta (dowolnej figury) jest odpowiednio odcinek/koło/wielokąt, przy czym obraz figury $F$ jest figurą przystającą do $F$.

Zatem aby wyznaczyć obraz wielokąta $W$ w symetrii względem osi $Y$, wystarczy wyznaczyć obrazy wierzchołków danego wielokąta, a następnie połączyć je w odpowiedniej kolejności odcinkami. Otrzymana łamana ogranicza obraz wielokąta $W$ w symetrii względem osi $Y$.

ROxtpYjRVJDyH

Grafika przedstawia poziomą oś x i pionową oś y. Na płaszczyźnie znajduje się zamalowany trójkąt o wierzchołkach A, B oraz C. Współrzędne wierzchołka A to początek nawiasu, 1, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka B to początek nawiasu, 4, 2, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka C to początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu.

RoNLCfisuLMCd

Grafika przedstawia poziomą oś x i pionową oś y. Na płaszczyźnie znajduje się zamalowany trójkąt o wierzchołkach A, B oraz C. Współrzędne wierzchołka A to początek nawiasu, 1, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka B to początek nawiasu, 4, 2, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka C to początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Przez punkty A, B oraz C poprowadzono przerywane proste równoległe do osi x. I zaznaczono na nich punkty A prim, B prim i C prim. Współrzędne punktu A prim to początek nawiasu, minus 1, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne punktu B prim to początek nawiasu, minus 4, 2, zamknięcie nawiasu. Współrzędne punktu C prim to początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu.

RGk4TTRPE6dPU

Grafika przedstawia poziomą oś x i pionową oś y. Na płaszczyźnie znajduje się zamalowany trójkąt o wierzchołkach A, B oraz C. Współrzędne wierzchołka A to początek nawiasu, 1, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka B to początek nawiasu, 4, 2, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka C to początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Przez punkty A, B oraz C poprowadzono przerywane proste równoległe do osi x. I zaznaczono na nich punkty A prim, B prim i C prim. Współrzędne punktu A prim to początek nawiasu, minus 1, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne punktu B prim to początek nawiasu, minus 4, 2, zamknięcie nawiasu. Współrzędne punktu C prim to początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Punkty A prim, B prim oraz C prim zostały połączone w kształt trójkąta.

R13pqqLWkmtRP

Grafika przedstawia poziomą oś x i pionową oś y. Na płaszczyźnie znajduje się zamalowany trójkąt o wierzchołkach A, B oraz C. Współrzędne wierzchołka A to początek nawiasu, 1, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka B to początek nawiasu, 4, 2, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka C to początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Przez punkty A, B oraz C poprowadzono przerywane proste równoległe do osi x. I zaznaczono na nich punkty A prim, B prim i C prim. Współrzędne punktu A prim to początek nawiasu, minus 1, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne punktu B prim to początek nawiasu, minus 4, 2, zamknięcie nawiasu. Współrzędne punktu C prim to początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Punkty A prim, B prim oraz C prim zostały połączone w kształt trójkąta. Trójkąt ten został zamalowany na kolor zielony.

Przykład 1

Wyznaczymy równanie obrazu figury $F$ o równaniu $\left|x+2\right|+\left|y-2\right|=1$ w symetrii względem osi $Y$.

Rozwiązanie

Niech punkt $A$ o współrzędnych $\left(x, y\right)$ należy do figury $F$. Wówczas jego obraz $A\text{'}=\left(x\text{'},y\text{'}\right)$ należy do obrazu $F\text{'}$ figury $F$ i zachodzi zależność: $x\text{'}=-x$ oraz $y\text{'}=y$. Stąd $x=-x\text{'}$ i $y=y\text{'}$. Po podstawieniu wyznaczonych $x$ i $y$ do równania $\left|x+2\right|+\left|y-2\right|=1$, otrzymujemy równanie $\left|-x\text{'}+2\right|+\left|y\text{'}-2\right|=1$. Z własności wartości bezwzględnej wynika, że otrzymane równanie jest równoważne równaniu $\left|x\text{'}-2\right|+\left|y\text{'}-2\right|=1$. Zatem otrzymaliśmy związek między współrzędnymi $\left(x\text{'},y\text{'}\right)$ wszystkich punktów należących do figury $F\text{'}$.

Tę samą figurę tworzą punkty o współrzędnych $\left(x, y\right)$ spełniających równanie $\left|x-2\right|+\left|y-2\right|=1$.

Zinterpretujmy jeszcze rozważane zadanie graficznie.

Ilustracja graficzna równania $\left|x+2\right|+\left|y-2\right|=1$ to:

RAmCH9dBdTp97

Grafika przedstawia poziomą oś x od minus czterech do czterech i pionową osią y od minus jeden do trzech. W drugiej ćwiartce znajduje się romb, którego wierzchołki mają współrzędne: początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 3, 2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 1, 2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu.

Zaś wykres równania $\left|x-2\right|+\left|y-2\right|=1$ to:

R6r4Q7PNZsffr

Grafika przedstawia poziomą oś x od minus czterech do czterech i pionową osią y od minus jeden do trzech. W drugiej pierwszej znajduje się romb, którego wierzchołki mają współrzędne: początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 3, 2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu,1, 2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu,2, 1, zamknięcie nawiasu.

Narysujmy jeszcze obie figury w tym samym układzie współrzędnych:

R1SrRKfTzRBiO

Grafika przedstawia poziomą oś x od minus czterech do czterech i pionową osią y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie znajdują się dwa romby. Współrzędne pierwszego z nich: początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 3, 2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 1, 2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne drugiego z nich k: początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 3, 2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu,1, 2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu,2, 1, zamknięcie nawiasu.

Powyższy przykład możemy podsumować w następujący sposób:

Jeśli figura $F$ opisana jest równaniem $f\left(x, y\right)=0$, to obraz $F\text{'}$ figury $F$ przez symetrię względem osi $Y$ opisuje się równaniem $f\left(-x, y\right)=0$. Zatem aby otrzymać równanie obrazu figury o danym wzorze, wystarczy w tym wzorze w miejsce zmiennej $x$ podstawić $\left(-x\right)$.

Przykład 2

Wyznaczymy obraz figury o równaniu ${\left(2x+1\right)}^2+{\left(3y-2\right)}^2=5$ w symetrii względem osi $Y$.

Rozwiązanie

Obrazem figury o równaniu ${\left(2x+1\right)}^2+{\left(3y-2\right)}^2=5$ w symetrii względem osi $Y$ jest figura o równaniu ${\left(-2x+1\right)}^2+{\left(3y-2\right)}^2=5$, czyli, po skorzystaniu z własności potęgi o wykładniku parzystym, ${\left(2x-1\right)}^2+{\left(3y-2\right)}^2=5$.

Dla pełni przekazu zobaczmy jeszcze, jak wyglądają wykresy tych równań, które można otrzymać przy użyciu programu komputerowego:

Rq39SutJiIy0U

Grafika przedstawia poziomą oś x od minus trzech do trzech i pionową osią y od minus jeden do dwóch. Na płaszczyźnie znajduje się elipsa, która przecina oś x w punkcie minus 1 oraz 0. Przecina również oś y na wysokości punktu 1,5.

R13H0s1Ex7pE3

Grafika przedstawia poziomą oś x od minus trzech do trzech i pionową osią y od minus jeden do dwóch. Na płaszczyźnie znajduje się elipsa, która przecina oś x w punkcie 1 oraz 0. Przecina również oś y na wysokości punktu 1,5.

Przykład 3

Wyznaczymy obraz trójkąta $ABC$ opisanego układem nierówności:

$\left\{\begin{array}{l}x-y\ge -3\\ x+3y\ge -7\\ 7x+y\le 11\end{array}\right.$

w symetrii względem osi $Y$.

Rozwiązanie

Obrazem trójkąta $ABC$ jest trójkąt $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ opisany układem nierówności:

$\left\{\begin{array}{l}-x-y\ge -3\\ -x+3y\ge -7\\ -7x+y\le 11\end{array}\right.$

Dla pełni przekazu zobaczmy jeszcze, jak wyglądają te trójkąty w układzie współrzędnych:

R1Qem1UXh5CSK

Grafika przedstawia poziomą oś x od minus pięciu do pięciu i pionową osią y od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie znajdują się dwa trójkąty. Współrzędne wierzchołków pierwszego z nich są następujące: punkt A początek nawiasu, 1, 4, zamknięcie nawiasu, punkt B początek nawiasu, minus 4, minus 1, zamknięcie nawiasu, punkt C początek nawiasu, 2, minus 3, zamknięcie nawiasu. Wszystkie boki trójkąta zostały wydłużone za pomocą przerywanych linii. Współrzędne wierzchołków drugiego trójkąta są następujące: punkt A prim początek nawiasu, minus 1, 4, zamknięcie nawiasu, punkt B prim początek nawiasu, 4, minus 1, zamknięcie nawiasu, punkt C prim początek nawiasu, minus 2, minus 3, zamknięcie nawiasu. Boki tego trójkąta również zostały przedłużone za pomocą przerywanej linii.

Słownik