Warto przeczytać

Równia pochyła to po prostu płaski blat lub deska, ustawiona pod kątem $\alpha$ do podłoża. Na ustawione na równi ciało działają trzy siły: siła grawitacji $\vec{F_g}$, siła rekcji podłoża $\vec{R}$ i siła tarcia $\vec{T}$. Aby opisać ruch ciała wzdłuż równi, rozkładamy siłę grawitacji $\vec{F_g}$ na dwie składowe, prostopadłą i równoległą do równi, odpowiednio $\vec{F_N}$ i $\vec{F_Z}$. Składowa prostopadła $\vec{F_N}$ równoważy siłę reakcji podłoża $\vec{R}$, a jej wartość jest równa naciskowi ciała wywieranemu na równię. Między wartościami sił zachodzą następujące relacje (zgodnie z Rys.1.):

R1DNUuyT3uWRH

Rys. 1. Rysunek przedstawia równię pochyłą w postaci szarego trójkąta prostokątnego o poziomej i pionowej przyprostokątnej. Kąt nachylenia równi względem kierunku poziomego pokazano po lewej i opisano małą grecką literą alfa. Na pochyłym zboczu równi umieszczono ciało narysowane w postaci ciemnoszarego prostokąta. Do środka ciała przyłożono pięć wektorów narysowanych strzałkami. Czerwony wektor siły grawitacji opisany wielką literą F z indeksem dolnym mała litera g równy iloczynowi masy mała litera m i przyspieszenia grawitacyjnego mała litera g ze strzałką oznaczającą wektor. skierowany jest pionowo w dół. Wektor ten jest przekątną prostokąta o bokach utworzonych przez czerwone wektory sił wielka litera F z indeksem dolnym wielka litera Z skierowanego wzdłuż zbocza równi ku jej podstawie i siły nacisku wielka litera F z indeksem wielka litera N skierowanego w lewo i w dół prostopadle do zbocza równi. Przeciwnie do wektora siły wielka litera F z indeksem dolnym wielka litera Z skierowany jest krótszy wektor siły tarcia wielka litera T narysowany fioletową strzałką skierowaną wzdłuż pochyłego zbocza równi ku jej szczytowi. Przeciwnie do siły nacisku skierowany jest wektor siły reakcji wielka litera R. Wektor siły nacisku i siły grawitacji są równej długości. Nad ciałem pokazano wektor przyspieszenia mała litera a narysowany zieloną strzałką skierowaną wzdłuż pochyłego zbocza równi ku jej podstawie. Kąt pomiędzy wektorem siły grawitacji i siły nacisku oznaczono małą grecką literą alfa tak samo jak kąt nachylenia równi do kierunku poziomego.

gdzie uwzględniliśmy, że wartość siły tarcia $T$ równa jest iloczynowi współczynnika tarcia $\mu$ i nacisku ciała na podłoże.

Przyspieszenie, jakie uzyskuje ciało, obliczamy z drugiej zasady dynamiki Newtona, $a=\frac{F_w}{m}$, otrzymując:

Zatem otrzymaliśmy wynik, który stwierdza, że przyspieszenie, jakiego doznaje ciało, nie zależy od jego masy! Niezależnie od tego, czy ciało jest klockiem czy kulą, czy zaniedbujemy tarcie czy nie, ani jaki jest kąt pochylenia równi – zawsze dostajemy ten sam wynik. Przyspieszenie, jakiego doznaje spadające ciało, wbrew temu, co twierdził Arystoteles, nie zależy od masy tego ciała. Dowiódł tego GalileuszGalileuszGalileusz, ale nie przeprowadził takich obliczeń, jak my powyżej – zrobił coś znacznie bardziej spektakularnego i szokującego jak na jego czasy: przeprowadził eksperyment! Był to przełom w nauce, ponieważ zamiast wyłącznie prowadzić logiczne rozważania (które – jak widać – mogły być błędne, jeśli opierały się na błędnych założeniach), zaczął przeprowadzać eksperymentalną wersyfikację hipotez. Równia GalileuszaGalileuszGalileusza miała 6 metrów długości, a pomiaru czasu toczenia się na niej mosiężnych kul dokonywał on za pomocą zegara wodnego. Zaobserwował w ten sposób, że prędkość ruchu kul zmienia się w trakcie ruchu – poruszają się ruchem przyspieszonym, w tym samym odstępie czasu pokonując coraz dłuższą drogę.

Równia pochyła interesuje nas nie tylko w kontekście możliwości toczenia i zsuwania po niej różnych brył. Interesuje nas również dlatego, że jest maszyną prostą, która po modyfikacji jest wykorzystywana w innych maszynach prostych! Przypomnijmy, że maszyny proste to urządzenia, które pozwalają zmienić kierunek lub wartość przyłożonej siły. Siła grawitacji przyłożona do ciała na równi, skierowana jest pionowo w dół, a jak skierowana jest siła, która wprawia to ciało na równi w ruch? Jest ona skierowana równolegle do powierzchni równi, czyli równia zmieniła kierunek działania użytecznej siły. Możemy wykorzystać równię również w inny sposób – jeśli połączymy ze sobą podstawą dwie równie pochyłe, otrzymamy klin, jak na Rys. 2. Siła $\vec{P}$ przyłożona do podstawy tego klina, będzie przenoszona do powierzchni równi – zmieniając kierunek działania pierwotnej siły. W efekcie uderzenie skierowane pionowo w dół spowoduje przyłożenie do ciała dwóch sił $\vec{Q_1}$ i $\vec{Q_2}$ skierowanych bardziej poziomo niż pionowo – w zależności od kąta zbieżności klina (kąta naprzeciw grzbietu klina). Przy okazji warto zwrócić uwagę, że klin jest graniastosłupem trójkątnym.

R1FoFLGuK5LVb

Rys. 2. Rysunek przedstawia klin wbijany za pomocą młotka w szczelinę. Klin narysowano w postaci szarego trójkąta równoramiennego, którego wierzchołek skierowany jest pionowo w dół. Podstawę trójkąta opisano jako grzbiet klina. Klin znajduje się w szczelinie, w górnej krawędzi prostokątnego kształtu o rozchylonych górnych częściach. Nad klinem pokazano schematyczny młotek, który wbija klin w szczelinę. Ze środka grzbietu klina wychodzi wektor siły opisany wielką literą P, narysowany w postaci czerwonej strzałki skierowanej w pionowo w dół. Do wewnętrznych boków szczeliny, przyległych do ramion klina przyłożono wektory sił nacisku wielka litera Q z indeksem dolnym jeden i strzałką w lewo i w dół oraz wielka litera Q z indeksem dolnym dwa i strzałką w prawo i w dół. Wektory sił nacisku są prostopadłe do wewnętrznych krawędzi szczelin. Po prawej od rysunku zapisano równanie, w którym moduł siły nacisku pierwszej co do wartości jest równy modułowi siły nacisku drugiej i równa się wielka litera Q.

Jaka będzie wartość przyłożonych sił? Przyłożenie pionowo w dół siły $\overrightarrow{P}$ powoduje przyłożenie do ciała dwóch sił nacisku $\vec{Q_1}$ i $\vec{Q_2}$ prostopadłych do powierzchni klina. Wartość tych sił zależy oczywiście od wartości siły $\overrightarrow{P}$ oraz kąta zbieżności klina:

Z klinem spotykamy się na co dzień w wielu miejscach, jak zaprezentowano na Rys. 3.:

R1Hog3fk929Ny

Rys. 3. Pokazano cztery zdjęcia prezentujące zastosowanie klina. Na górnym prawym zdjęciu pokazano siekierą leżącą na ziemi. Ostrze siekiery ma geometrię klina. Po lewej na górnym zdjęciu pokazano drewnianą blokadę drzwi. Drewniany klin wetknięty jest pod podstawę drzwi uniemożliwiając ich samoistne otwieranie się. Poniżej po prawej widoczne jest zdjęcie ostrza noża kuchennego leżącego na blacie stołowym. Ostrze noża również ma geometrię klina, dzięki czemu krojenie jest dużo łatwiejsze. Zdjęcie po lewej pokazuje metalowy klin wbijany w szczelinę drewnianego pieńka. Klin wbijany jest w szczelinę przy pomocy masywnego młotka.

Ale klin to nie jedyne zastosowanie równi pochyłej. Przyjrzyjmy się… śrubie! Na Rys. 4. widać z lewej strony profil śruby z dobrze widocznym gwintem. Strzałka w prawej części rysunku prezentuje schematyczną konstrukcję „nawijania” równi pochyłej na walec – tworząc w ten sposób gwintowaną śrubę. Zastanówmy się, jak parametry nawijanej równi i walca będą wpływać na ostateczne parametry otrzymanej śruby.

RZWMIpAowKpOc

Rys. 4. Rysunek przedstawia równię pochyłą pokazaną w postaci szarego trójkąta prostokątnego o poziomej i pionowej przyprostokątnej. Zbocze równi nachylone jest w prawo. Nad śrubą widoczna jest śruba w postaci pionowego, szarego prostokąta, którego lewa krawędź jest przedłużeniem wysokości równi. Na prostokącie widoczne są czarne linie skierowane w prawo i w dół równolegle do zbocza równi. W górnej części śruby pokazano jej łeb narysowany w postaci poziomego, niebieskiego prostokąta.

Przede wszystkim możemy zauważyć, że dwa kluczowe parametry, to średnica walca $d$ oraz kąt $\alpha$ nachylenia równi. To te parametry decydują o tym, ile pełnych obrotów należy wykonać, aby całkowicie opleść walec równią. Wprowadzimy tu nowe pojęcie: skok śruby. Wyobraźmy sobie, że wykonujemy jeden pełen oplot – po wykonaniu oplotu, czyli obrocie równi o 360° dookoła walca, sprawimy, że koniec nawijanego fragmentu równi znajdzie się odrobinę niżej niż miejsce, z którego rozpoczęliśmy nawijanie. Ta odległość to właśnie skok śruby. Oznaczmy ją jako $h$. Jaka będzie wartość $h$? Przyjrzyjmy się Rys. 5.:

RUgsIEuDONZqs

Rys. 5. Rysunek przedstawia pionowo ustawioną śrubę i równię pochyłą. Po lewej pokazano śrubę narysowaną w postaci pionowego prostokąta, który stanowi trzpień śruby. U góry śruby widać jej łeb w postaci mniejszego, poziomego niebieskiego prostokąta. Średnica śruby oznaczona jest małą literą d, a długość jej trzpienia wielką literą L. Obok po prawej pokazano równię pochyłą narysowaną czarnymi liniami. Zbocze równi nachylone jest w prawo, pod kątem oznaczonym małą grecką literą alfa do kierunku poziomego. Podstawa równi opisana małą literą l jest równa dwa razy mała grecka litera pi razy promień mała litera r razy mała litera n. Wysokość równi jest równa długości trzpienia śruby. Równolegle do zbocza pokazano czarną linię poniżej krawędzi zbocza. Odległość w pionie pomiędzy zboczem równi a czarną linią opisano małą literą h. Na śrubie widoczne są ukośne, czarne linie równoległe do zbocza równi i odległe od siebie w kierunku pionowym o odległość mała litera h. Śruba powstała w wyniku nawinięcia na walec równi pochyłej. Mała litera h opisuje gwint śruby, a mała litera n opisuje ilość obrotów, jakie wykonano nawijając równię na walec trzpienia.

Z widocznych na Rys. 5. oznaczeń, możemy wyprowadzić następującą zależność trygonometryczną:

Zatem skok śruby wynosi:

Teraz przyjrzyjmy się procesowi przykręcania śruby. Przyłożenie do łba śruby śrubokręta i obrócenie go powoduje przyłożenie do łba śruby momentu siły – a przez naprężenia metalu śruby zostanie również przyłożony moment siły do powierzchni gwintu. O ile jednak kierunek działania siły wkręcającej śrubę będzie prostopadły do jej długości, to wypadkowa siła działająca na powierzchnię równi będzie skierowana wzdłuż jej długości (jako maszyna prosta – śruba zmieniła kierunek działania siły z obrotowego na liniowy), jak na Rys. 6.:

R1NHYY4dmmvsb

Rys. 6. Rysunek przedstawia pionowo ustawioną śrubę i równię pochyłą. Po lewej pokazano śrubę narysowaną w postaci pionowego prostokąta stanowiącego trzpień śruby. W górnej części śruby pokazano jej łeb w postaci mniejszego, poziomego niebieskiego prostokąta. Obok po prawej pokazano równię pochyłą narysowaną czarnymi liniami. Zbocze równi nachylone jest w prawo, pod kątem mała grecka litera alfa do kierunku poziomego. Wysokość równi jest równa długości trzpienia śruby. Równolegle do zbocza, poniżej jego krawędzi pokazano czarną przerywaną linię. Odległość w pionie pomiędzy zboczem równi a czarną linią opisano małą literą h. Na śrubie pokazano ukośne, czarne linie równoległe do zbocza równi i odległe od siebie w kierunku pionowym o odległość mała litera h. Śruba powstała w wyniku nawinięcia na walec równi pochyłej. Mała litera h opisuje gwint śruby, a mała litera n opisuje ilość obrotów, jakie wykonano nawijając równię na walec trzpienia. Z punktu na środku zbocza równi wychodzą dwa wektory sił wielka litera F z indeksem dolnym jeden i wielka litera F z indeksem dolnym dwa. Wektory sił narysowano w postaci czarnych strzałek. Siła pierwsza skierowana jest poziomo w lewo, siła druga pionowo w dół. Kąt pomiędzy wektorem siły pierwszej a przerywaną linią oznaczono tak samo jak kąt nachylenia równi małą grecką literą alfa. Ze środka łba śruby wychodzą takie same dwa wektory sił wielka litera F z indeksem dolnym jeden i wielka litera F z indeksem dolnym dwa. Wektory sił narysowano w postaci czarnych strzałek. Siła pierwsza skierowana jest poziomo w lewo, a siła druga pionowo w dół.

Z widocznych na rysunku zależności geometrycznych otrzymujemy:

Korzystając z wcześniej ustalonej zależności kąta $\alpha$ od skoku śruby oraz średnicy śruby, otrzymujemy:

gdzie: $F_1$ – siła, z jaką wkręcana jest śruba (przyłożona do łepka) [N], $h$ – skok gwintu [m], $d$ – średnica śruby [m], $F_2$ – siła, z jaką śruba wkręca się w materiał [N].

Słowniczek