Wszystkie rozważane w tym materiale funkcje są rzeczywistymi funkcjami zmiennej rzeczywistej.
Rozpoczniemy od przypomnienia pojęcia funkcji ciągłej oraz ciągłości w punkcie.
Ciągłość w punkcie
Definicja: Ciągłość w punkcie
Funkcja : jest ciągła w punkcie , gdy dla każdego ciągu elementów zbioru zbieżnego do zachodzi:
.
R1EPvzdP7dKRj
Ciągłość funkcji
Definicja: Ciągłość funkcji
Funkcję nazywamy ciągłą, gdy jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.
O własnościach funkcji ciągłych
Twierdzenie: O własnościach funkcji ciągłych
Niech i będą funkcjami ciągłymi. Wtedy
suma ,
różnica ,
iloczyn ,
iloraz ,
złożenie ,
jest także funkcją ciągłą.
Dziedziny funkcji określane są tak, by otrzymane wyrażenie miało sens.
Pokażemy teraz przykład zastosowania twierdzenia o własnościach funkcji ciągłych.
Przykład 1
Niech oraz . Pokażemy, że funkcja
jest funkcją ciągłą w swojej dziedzinie.
Rozwiązanie
Zauważmy, że funkcja ma postać:
Dziedziną funkcji jest zbiór .
Ponieważ funkcje i są ciągłe, to funkcja jest również ciągła na mocy twierdzenia o własnościach funkcji ciągłych.
Dziedziny funkcji z twierdzenia o własnościach funkcji ciągłych można też określić bardzo formalnie, jak zostało to zrobione poniżej. Uwzględniając poniższą uwagę można sformułować twierdzenie o własnościach funkcji ciągłych z zachowaniem matematycznego rygoru.
Ważne!
Biorąc funkcję : oraz : , otrzymujemy, że dziedziny , , , i kolejno sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i złożenia dane są wzorami
;
;
.
Podamy teraz bardziej zaawansowany przykład zastosowania twierdzenia o własnościach funkcji ciągłych.
Przykład 2
Sprawdzimy, czy funkcja , gdzie: , oraz – są liczbami rzeczywistymi, jest funkcją ciągłą.
Rozwiązanie
Funkcja jest używana w fizyce do opisu ruchu harmonicznego.
Funkcja jest ciągła jako funkcja trygonometryczna. Podobnie, ciągłe są funkcje liniowe: i zmiennej . Korzystając z tego, że złożenie funkcjizłożenie funkcjizłożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą otrzymujemy, że funkcja jest ciągła. Ponieważ iloczyn funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą, otrzymujemy ostatecznie, że funkcja jest ciągła.
Poniższy schemat może posłużyć jako uporządkowanie przedstawionego rozumowania.
RxBWReNjwQuCs
Przykład 3
Pokażemy, że suma funkcji nieciągłych może być funkcją ciągłą.
Rozwiązanie
Rozpatrzmy funkcje:
oraz
Wówczas suma jest funkcją ciągłą mimo, że funkcje i nie były ciągłe.
R1ZtXtj5cNcVc
Przykład 4
Określamy funkcje oraz . Sprawdzimy, czy funkcja jest funkcją ciągłą.
Rozwiązanie
Zauważmy, że funkcja ma postać:
,
zatem:
.
Zwróćmy uwagę, że dziedziną funkcji jest .
Wykres funkcji wygląda następująco
RRLFaanCJtRqe
Funkcja ta jest zatem funkcją ciągłą w swojej dziedzinie.
O tym jak zdradliwa może być ocena ciągłości na podstawie wykresu, przekonuje nas kolejny przykład.
Przykład 5
Niech oraz . Sprawdzimy, czy funkcja
jest ciągła w swojej dziedzinie.
Rozwiązanie
Zauważmy, że:
,
czyli:
.
Jest to funkcja ciągła mimo, że jej wykres wydaje się być nieciągły.
RiP9Ph3Oo5KIf
O obcinaniu funkcji ciągłej
Twierdzenie: O obcinaniu funkcji ciągłej
Weźmy funkcję ciągłą : . Jeżeli , to funkcja : dana wzorem jest także funkcją ciągłą.
R1doXK7uv9hZ5
Funkcję opisaną w twierdzeniu o obcinaniu nazywamy obcięciem funkcjido zbioru i oznaczamy przez .
O sklejaniu funkcji ciągłych
Twierdzenie: O sklejaniu funkcji ciągłych
Niech funkcje : oraz : będą ciągłe. Jeżeli , to funkcja : dana wzorem
jest także ciągła.
Rnk8gF2BPzj9Y
Ważne!
Ponieważ , funkcję w twierdzeniu o sklejaniu funkcji ciągłych można też określić wzorem
.
Ważne!
Twierdzenie o sklejaniu funkcji ciągłych jest prawdziwe także, gdy klamra zawiera dowolną liczbę funkcji. Wtedy „sklejamy” najpierw dwie pierwsze funkcje, a następnie nową funkcję „sklejamy” znowu z trzecią. Schemat opisujący to postępowanie wygląda następująco
Rg04EnQUZutoq
Przykład 6
Wykorzystamy powyższe twierdzenia do stwierdzenia ciągłości funkcji : określonej wzorem
Rozwiązanie
Wiemy, że funkcje oraz są ciągłe. Z twierdzenia o obcinaniu funkcji ciągłych wiemy, że obcięcie funkcji do przedziału oraz obcięcie funkcji do przedziału to funkcje ciągłe.
R1Eng1X6rkyDA
Co więcej
,
więc możemy wykorzystać twierdzenie o sklejaniu funkcji ciągłych, by stwierdzić, że funkcja jest ciągła.
RuyL5Gb2f1hEF
Oczywiście ciągłość funkcji z powyższego przykładu daje się sprawdzić poprzez liczenie odpowiednich granic. Można ją też wywnioskować na podstawie wykresów. Pierwsza metoda jest jednak dość żmudna, a druga nieformalna i kłopotliwa w przypadku bardziej skomplikowanego wzoru.
Pokażemy teraz przykład łączący wszystkie powyższe twierdzenia.
Przykład 7
Sprawdzimy ciągłość funkcji
Rozwiązanie
Wprowadźmy oznaczenia: oraz .
Zauważmy, że dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, zaś funkcji zbiór liczb nieujemnych. Zwróćmy uwagę, że funkcje i są ciągłe na swoich dziedzinach na mocy twierdzenia o własnościach funkcji ciągłych. Funkcja jest ciągła jako złożenie logarytmu i wielomianu, zaś funkcja jest ciągła jako złożenie funkcjizłożenie funkcjizłożenie funkcji trygonometrycznej z pierwiastkiem. Z twierdzenia o obcinaniu funkcji ciągłych otrzymujemy, że obcięcie funkcji do przedziału oraz obcięcie funkcji do przedziały są także ciągłe. Na koniec, by wykorzystać twierdzenie o sklejaniu funkcji ciągłych, musimy pokazać, że
.
Nie jest to trudne, gdyż
oraz .
Możemy więc, korzystając z twierdzenia o sklejaniu funkcji ciągłych, stwierdzić, że funkcja jest ciągła jako „sklejenie” funkcji ciągłych oraz .
Słownik
złożenie funkcji
złożenie funkcji
złożeniem funkcji z funkcją jest funkcja określona wzorem