Przeczytaj

Wszystkie rozważane w tym materiale funkcje są rzeczywistymi funkcjami zmiennej rzeczywistej.

Rozpoczniemy od przypomnienia pojęcia funkcji ciągłej oraz ciągłości w punkcie.

Ciągłość w punkcie

Definicja: Ciągłość w punkcie

Funkcja $f$ : $D \to ℝ$ jest ciągła w punkcie $x \in D$ , gdy dla każdego ciągu $(x_{n})$ elementów zbioru $D$ zbieżnego do $x$ zachodzi:

\lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = f (x)

R1EPvzdP7dKRj

Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący kawałkiem krzywej w kształcie regularnej ukośnej fali. Lewy koniec wykresu zaznaczono zamalowanym punktem, z prawej wykres ograniczony jest niezamalowanym punktem. Wykres nie ma przerw w całej swej długości. Zrzutowano kolejne punkty wykresu na obie osie. Wraz ze wzrostem argumentów, maleją wartości.

Ciągłość funkcji

Definicja: Ciągłość funkcji

Funkcję nazywamy ciągłą, gdy jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.

O własnościach funkcji ciągłych

Twierdzenie: O własnościach funkcji ciągłych

Niech $f$ i $g$ będą funkcjami ciągłymi. Wtedy

suma $h (x) = f (x) + g (x)$ ,

różnica $h (x) = f (x) - g (x)$ ,

iloczyn $h (x) = f (x) \cdot g (x)$ ,

iloraz $h (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ ,

złożenie $h (x) = f (g (x))$ ,

jest także funkcją ciągłą.

Dziedziny funkcji $h$ określane są tak, by otrzymane wyrażenie miało sens.

Pokażemy teraz przykład zastosowania twierdzenia o własnościach funkcji ciągłych.

Przykład 1

Niech $f (x) = 1$ oraz $g (x) = x$ . Pokażemy, że funkcja

h (x) = \frac{f (x)}{g (x)}

jest funkcją ciągłą w swojej dziedzinie.

Rozwiązanie

Zauważmy, że funkcja $h$ ma postać:

h (x) = \frac{1}{x}

Dziedziną funkcji $h$ jest zbiór $ℝ ∖ \{0\}$ .

Ponieważ funkcje $f$ i $g$ są ciągłe, to funkcja $h$ jest również ciągła na mocy twierdzenia o własnościach funkcji ciągłych.

Dziedziny funkcji $h$ z twierdzenia o własnościach funkcji ciągłych można też określić bardzo formalnie, jak zostało to zrobione poniżej. Uwzględniając poniższą uwagę można sformułować twierdzenie o własnościach funkcji ciągłych z zachowaniem matematycznego rygoru.

Ważne!

Biorąc funkcję $f$ : $D_{f} \to ℝ$ oraz $g$ : $D_{f} \to ℝ$ , otrzymujemy, że dziedziny $D_{f + g}$ , $D_{f - g}$ , $D_{f \cdot g}$ , $D_{\frac{f}{g}}$ i $D_{f \circ g}$ kolejno sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i złożenia dane są wzorami

$D_{f + g} = D_{f - g} = D_{f \cdot g} = D_{f} \cap D_{g}$ ;

$D_{\frac{f}{g}} = (D_{f} \cap D_{g}) ∖ \{x \in D_{g} : g (x) = 0\}$ ;

$D_{f \circ g} = \{x \in D_{g} : g (x) \in D_{f}\}$ .

Podamy teraz bardziej zaawansowany przykład zastosowania twierdzenia o własnościach funkcji ciągłych.

Przykład 2

Sprawdzimy, czy funkcja $f (t) = A \cdot \cos (ω t + φ)$ , gdzie: $A$ , $ω$ oraz $φ$ – są liczbami rzeczywistymi, jest funkcją ciągłą.

Rozwiązanie

Funkcja $f$ jest używana w fizyce do opisu ruchu harmonicznego.

Funkcja $\cos (t)$ jest ciągła jako funkcja trygonometryczna. Podobnie, ciągłe są funkcje liniowe: $g (t) = ω t + φ$ i $h (t) = A$ zmiennej $t$ . Korzystając z tego, że złożenie funkcjizłożenie funkcjizłożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą otrzymujemy, że funkcja $j (t) = \cos (ω t + φ)$ jest ciągła. Ponieważ iloczyn funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą, otrzymujemy ostatecznie, że funkcja $f$ jest ciągła.

Poniższy schemat może posłużyć jako uporządkowanie przedstawionego rozumowania.

RxBWReNjwQuCs

Ilustracja przedstawia schemat z dwoma głównymi punktami wyjścia. W schemacie mamy trzy ścieżki, którymi możemy podążać. Ścieżka pierwsza: funkcja liniowa strzałka A strzałka iloczyn A·cosω+tφ. Ścieżka druga: funkcja liniowa strzałka ω+tφ strzałka założenie cosω+tφ strzałka iloczyn A·cosω+tφ. Ścieżka trzecia: funkcja trygonometryczna strzałka cost strzałka założenie: cosω+tφ strzałka iloczyn A·cosω+tφ.

Przykład 3

Pokażemy, że suma funkcji nieciągłych może być funkcją ciągłą.

Rozwiązanie

Rozpatrzmy funkcje:

$f (x) = \{\begin{cases} 1, & gdy x \in ⟨- 1, 0⟩ \\ x, & gdy x \in (0, 1⟩ \end{cases}$ oraz $g (x) = \{\begin{cases} x, & gdy x \in ⟨- 1, 0⟩ \\ 1, & gdy x \in (0, 1⟩ \end{cases}$

Wówczas suma $h (x) = f (x) + g (x) = x + 1$ jest funkcją ciągłą mimo, że funkcje $f$ i $g$ nie były ciągłe.

R1ZtXtj5cNcVc

Ilustracja przedstawia trzy osobne rysunki. Rysunek pierwszy przedstawia wykres funkcji f w układzie współrzędnych. Wykres ten składa się z dwóch odcinków: poziomego odcinka o końcach w zamalowanych punktach -1;1 oraz 0;1 oraz z ukośnego odcinka ograniczonego z lewej strony niezamalowanym punktem 0;0 i o prawym końcu w zamalowanym punkcie 1;1. Drygi rysunek przedstawia wykres funkcji g w układzie współrzędnych. Składa się on z dwóch odcinków: pierwszy jest ukośny i ma końce w zamalowanych punktach: -1;-1 oraz 0;0, drugi odcinek jest poziomy i z lewej strony ograniczony jest niezamalowanym punktem o współrzędnych 0;1, a prawy koniec odcinka znajduje się w zamalowanym punkcie 1;1. Z rysunku pierwszego i drugiego prowadzą strzałki do rysunku trzeciego. Między strzałkami umieszczono znak plus. Rysunek trzeci przedstawia wykres funkcji h w układzie współrzędnych będący ukośnym odcinkiem o końcach w zamalowanych puktach -1;0 oraz 1;2.

Przykład 4

Określamy funkcje $f (x) = \sin^{2} (x)$ oraz $g (x) = \cos (x)$ . Sprawdzimy, czy funkcja $h (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ jest funkcją ciągłą.

Rozwiązanie

Zauważmy, że funkcja $h$ ma postać:

$h (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ ,

zatem:

$h (x) = \sin (x) \cdot tg (x)$ .

Zwróćmy uwagę, że dziedziną funkcji $h$ jest $ℝ ∖ \{\frac{k π}{2} : k \in ℤ\}$ .

Wykres funkcji $h$ wygląda następująco

RRLFaanCJtRqe

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych, w którym narysowano trzy parabole. Pierwsza od lewej strony ma ramiona skierowane w dół i wierzchołek w punkcie -π;0, druga ma ramiona skierowane w górę i wierzchołek w punkcie 0;0, trzecia parabola ma ramiona skierowane w dół i wierzchołek w punkcie π;0.

Funkcja ta jest zatem funkcją ciągłą w swojej dziedzinie.

O tym jak zdradliwa może być ocena ciągłości na podstawie wykresu, przekonuje nas kolejny przykład.

Przykład 5

Niech $f (x) = x$ oraz $g (x) = |x|$ . Sprawdzimy, czy funkcja

$h (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$

jest ciągła w swojej dziedzinie.

Rozwiązanie

Zauważmy, że:

$h (x) = \frac{x}{|x|}$ ,

czyli:

$h (x) = \{\begin{cases} 1, & gdy x > 0 \\ - 1, & gdy x < 0 \end{cases}$ .

Jest to funkcja ciągła mimo, że jej wykres wydaje się być nieciągły.

RiP9Ph3Oo5KIf

Ilustracja przedstawia wykres funkcji h składający się z dwóch poziomych półprostych. Pierwsza biegnie na poziomie minus jeden i z prawej strony ogranicza ją niezamalowany punkt 0;-1. Druga biegnie na poziomie jeden i z lewej strony ogranicza ją niezamalowany punkt 0;1.

O obcinaniu funkcji ciągłej

Twierdzenie: O obcinaniu funkcji ciągłej

Weźmy funkcję ciągłą $f$ : $D \to ℝ$ . Jeżeli $A \subset D$ , to funkcja $h$ : $A \to ℝ$ dana wzorem $h (x) = f (x)$ jest także funkcją ciągłą.

R1doXK7uv9hZ5

Ilustracja przedstawia przykład obcięcia funkcji f do przedziału A, gdzie obcięcie jest funkcją h. W układzie współrzędnych narysowano wykres funkcji f będący kawałkiem nieregularnej poziomej fali ograniczonej z lewej strony niezamalowanym punktem -2;3 i o końcu w zamalowanym punkcie 4;2. Na osi X zaznaczono przedział A. Jest to suma trzech przedziałów: lewostronnie domkniętego od minus jeden do zera, otwartego od dwóch do trzech oraz otwartego od trzech do czterech. Kolorem zaznaczono kawałki krzywej f biegnące w przedziale A. To właśnie jest obcięciem funkcji f do A.

Funkcję $h$ opisaną w twierdzeniu o obcinaniu nazywamy obcięciem funkcji $f$ do zbioru $A$ i oznaczamy przez $f |_{A}$ .

O sklejaniu funkcji ciągłych

Twierdzenie: O sklejaniu funkcji ciągłych

Niech funkcje $f$ : $⟨ a; b ⟩ \to ℝ$ oraz $g$ : $⟨ b; c ⟩ \to ℝ$ będą ciągłe. Jeżeli $f (b) = g (b)$ , to funkcja $h$ : $⟨ a; c ⟩ \to ℝ$ dana wzorem

h (x) = \{\begin{cases} f (x), & gdy x \in ⟨a, b⟩ \\ g (x), & gdy x \in (b, c⟩ \end{cases}

jest także ciągła.

Rnk8gF2BPzj9Y

Ilustracja przedstawia dwa układy współrzędnych. W pierwszym układzie jest funkcja f i g. Funkcja F ma nieregularny kształt, zawiera się w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych i zawiera się w przedziale a b. Funkcja f rozpoczyna się zamalowaną kropką i kończy zamalowaną kropką. Następnie funkcja g zawiera się w pierwszej ćwiartce i zawiera się w przedziale a b. Rozpoczyna się w tym samym punkcie co kończy funkcja f i następnie maleje i kończy się także zamalowaną kropką. Pod odpisanym układem współrzędnych znajduje się strzałka skierowana w dół na następny układ współrzędnych. W poniższym układzie znajduje się funkcja h, która ma taki sam kształt jak funkcja f i g razem. Funkcja h znajduje się w przedziale a c, kończy i zaczyna się zamalowanymi kropkami.

Ważne!

Ponieważ $f (b) = g (b)$ , funkcję $h$ w twierdzeniu o sklejaniu funkcji ciągłych można też określić wzorem

h (x) = \{\begin{cases} f (x), & gdy x \in ⟨a, b) \\ g (x), & gdy x \in ⟨b, c⟩ \end{cases}

Ważne!

Twierdzenie o sklejaniu funkcji ciągłych jest prawdziwe także, gdy klamra zawiera dowolną liczbę funkcji. Wtedy „sklejamy” najpierw dwie pierwsze funkcje, a następnie nową funkcję „sklejamy” znowu z trzecią. Schemat opisujący to postępowanie wygląda następująco

Rg04EnQUZutoq

Ilustracja przedstawia trzy rysunki wykresów różnych funkcji. Rysunek pierwszy przedstawia trzy wykresy w układzie współrzędnych: wykres f indeks dolny jeden jest kawałkiem paraboli o ramionach skierowanych do góry. Prawego koniec wykresu jest jednocześnie początkiem wykresu funkcji f indeks dolny 2, który jest kawałkiem krzywej w kształcie litery M. Z prawego końca wykresu biegnie wykres funkcji f indeks dolny 3 będący łukiem. Od rysunku biegnie strzałka w dół do rysunku drugiego przedstawiającego wykresy dwóch funkcji. Wykres funkcji g jest sumą wykresów funkcji f indeks dolny 1 i f indeks dolny 2; przebiega on dokładnie tak samo jak oba jego składowe wykresy. Od prawego końca wykresu funkcji g biegnie wykres f indeks dolny trzy. Od rysunku poprowadzono strzałkę w dół do rysunku trzeciego, który przedstawia wykres jednej funkcji h, która biegnie dokładnie tak samo jak wszystkie jej składowe, czyli wykres funkcji f indeks dolny 1, f indeks dolny oraz f indeks dolny trzy.

Przykład 6

Wykorzystamy powyższe twierdzenia do stwierdzenia ciągłości funkcji $f$ : $⟨- π, π⟩ \to ℝ$ określonej wzorem

$f (x) = \{\begin{cases} \sin (x), & gdy x \in ⟨- π, 0⟩ \\ \sqrt{x}, & gdy x \in (0, π⟩ \end{cases}$

Rozwiązanie

Wiemy, że funkcje $g (x) = \sin (x)$ oraz $h (x) = \sqrt{x}$ są ciągłe. Z twierdzenia o obcinaniu funkcji ciągłych wiemy, że obcięcie funkcji $\sin (x)$ do przedziału $⟨- π, 0⟩$ oraz obcięcie funkcji $\sqrt{x}$ do przedziału $⟨0, π⟩$ to funkcje ciągłe.

R1Eng1X6rkyDA

Ilustracja przedstawia dwa rysunki. Na pierwszym narysowano wykres funkcji sinus i wyróżniono kolorem fragment fali znajdującej się w trzeciej ćwiartce w przedziale od minus pi do zera. Końce łuku zaznaczono zamalowanymi punktami. Rysunek drugi przedstawia wykres funkcji pierwiastkowej będący krzywą biegnącą w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Zaznaczono kawałek krzywej w przedziale od zera do pi. Funkcja przyjmuje tu wartości od zera do około 1,8

Co więcej

$\sin (0) = \sqrt{0} = 0$ ,

więc możemy wykorzystać twierdzenie o sklejaniu funkcji ciągłych, by stwierdzić, że funkcja $f$ jest ciągła.

RuyL5Gb2f1hEF

Ilustracja przedstawia sumę wykresów w przedziale od minus pi do pi. W przedziale od minus pi do zera mamy kawałek funkcji sinus w trzeciej ćwiartce, a od zera do pi mamy kawałek krzywej pierwiastkowej w pierwszej ćwiartce. Końce wykresu oznaczono zamalowanymi punktami.

Oczywiście ciągłość funkcji $f$ z powyższego przykładu daje się sprawdzić poprzez liczenie odpowiednich granic. Można ją też wywnioskować na podstawie wykresów. Pierwsza metoda jest jednak dość żmudna, a druga nieformalna i kłopotliwa w przypadku bardziej skomplikowanego wzoru.

Pokażemy teraz przykład łączący wszystkie powyższe twierdzenia.

Przykład 7

Sprawdzimy ciągłość funkcji

$h (x) = \{\begin{cases} \log_{2} (x^{2} + 1), & gdy x \in ⟨- 2, 0) \\ \sin (\sqrt{x}), & gdy x \in ⟨0, 1⟩ \end{cases}$

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenia: $f (x) = \log_{2} (x^{2} + 1)$ oraz $g (x) = \sin (\sqrt{x})$ .

Zauważmy, że dziedziną funkcji $f$ jest zbiór liczb rzeczywistych, zaś funkcji $g$ zbiór liczb nieujemnych. Zwróćmy uwagę, że funkcje $f$ i $g$ są ciągłe na swoich dziedzinach na mocy twierdzenia o własnościach funkcji ciągłych. Funkcja $f$ jest ciągła jako złożenie logarytmu i wielomianu, zaś funkcja $g$ jest ciągła jako złożenie funkcjizłożenie funkcjizłożenie funkcji trygonometrycznej z pierwiastkiem. Z twierdzenia o obcinaniu funkcji ciągłych otrzymujemy, że obcięcie funkcji $f$ do przedziału $⟨- 2, 0⟩$ oraz obcięcie funkcji $g$ do przedziały $⟨0, 1⟩$ są także ciągłe. Na koniec, by wykorzystać twierdzenie o sklejaniu funkcji ciągłych, musimy pokazać, że

$f (0) = g (0)$ .

Nie jest to trudne, gdyż

$\log_{2} (0^{2} + 1) = \log_{2} (1) = 0$ oraz $\sin (\sqrt{0}) = 0$ .

Możemy więc, korzystając z twierdzenia o sklejaniu funkcji ciągłych, stwierdzić, że funkcja $h$ jest ciągła jako „sklejenie” funkcji ciągłych $f$ oraz $g$ .

Słownik

złożenie funkcji

złożeniem funkcji $f$ z funkcją $g$ jest funkcja $h$ określona wzorem

h (x) = (f \circ g) (x) = f (g (x))

Wprowadzenie

Infografika

Rozwiązanie

Słownik