Funkcja $f$: $D\to \mathrm{ℝ}$ jest ciągła w punkcie $x\in D$, gdy dla każdego ciągu $\left(x_n\right)$ elementów zbioru $D$ zbieżnego do $x$ zachodzi:

R1EPvzdP7dKRj

Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący kawałkiem krzywej w kształcie regularnej ukośnej fali. Lewy koniec wykresu zaznaczono zamalowanym punktem, z prawej wykres ograniczony jest niezamalowanym punktem. Wykres nie ma przerw w całej swej długości. Zrzutowano kolejne punkty wykresu na obie osie. Wraz ze wzrostem argumentów, maleją wartości.

Funkcję nazywamy ciągłą, gdy jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.

Niech $f$ i $g$ będą funkcjami ciągłymi. Wtedy

• suma $h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$,

• różnica $h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$,

• iloczyn $h\left(x\right)=f\left(x\right)·g\left(x\right)$,

• iloraz ${\displaystyle h\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}$,

• złożenie $h\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$,

jest także funkcją ciągłą.

Niech $f\left(x\right)=1$ oraz $g\left(x\right)=x$. Pokażemy, że funkcja

jest funkcją ciągłą w swojej dziedzinie.

Rozwiązanie

Zauważmy, że funkcja $h$ ma postać:

Dziedziną funkcji $h$ jest zbiór $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Ponieważ funkcje $f$ i $g$ są ciągłe, to funkcja $h$ jest również ciągła na mocy twierdzenia o własnościach funkcji ciągłych.

Sprawdzimy, czy funkcja $f\left(t\right)=A·\cos \left(\omega t+\phi \right)$, gdzie: $A$, $\omega$ oraz $\phi$ – są liczbami rzeczywistymi, jest funkcją ciągłą.

Rozwiązanie

Funkcja $f$ jest używana w fizyce do opisu ruchu harmonicznego.

Funkcja $\cos \left(t\right)$ jest ciągła jako funkcja trygonometryczna. Podobnie, ciągłe są funkcje liniowe: $g\left(t\right)=\omega t+\phi$ i $h\left(t\right)=A$ zmiennej $t$. Korzystając z tego, że złożenie funkcjizłożenie funkcjizłożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą otrzymujemy, że funkcja $j\left(t\right)=\cos \left(\omega t+\phi \right)$ jest ciągła. Ponieważ iloczyn funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą, otrzymujemy ostatecznie, że funkcja $f$ jest ciągła.

Poniższy schemat może posłużyć jako uporządkowanie przedstawionego rozumowania.

RxBWReNjwQuCs

Ilustracja przedstawia schemat z dwoma głównymi punktami wyjścia. W schemacie mamy trzy ścieżki, którymi możemy podążać. Ścieżka pierwsza: funkcja liniowa strzałka A strzałka iloczyn $A·\cos \left(\omega +t\phi \right)$. Ścieżka druga: funkcja liniowa strzałka $\omega +t\phi$ strzałka założenie $\cos \left(\omega +t\phi \right)$ strzałka iloczyn $A·\cos \left(\omega +t\phi \right)$. Ścieżka trzecia: funkcja trygonometryczna strzałka $\cos \left(t\right)$ strzałka założenie: $\cos \left(\omega +t\phi \right)$ strzałka iloczyn $A·\cos \left(\omega +t\phi \right)$.

Pokażemy, że suma funkcji nieciągłych może być funkcją ciągłą.

Rozwiązanie

Rozpatrzmy funkcje:

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}1,& \text{gdy} x\in ⟨-1, 0⟩\\ x,& \text{gdy} x\in \left(0, 1\right.⟩\end{array}\right.$ oraz $g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x,& \text{gdy} x\in ⟨-1, 0⟩\\ 1,& \text{gdy} x\in \left(0, 1\right.⟩\end{array}\right.$

Wówczas suma $h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)=x+1$ jest funkcją ciągłą mimo, że funkcje $f$ i $g$ nie były ciągłe.

R1ZtXtj5cNcVc

Ilustracja przedstawia trzy osobne rysunki. Rysunek pierwszy przedstawia wykres funkcji f w układzie współrzędnych. Wykres ten składa się z dwóch odcinków: poziomego odcinka o końcach w zamalowanych punktach $\left(-1;1\right)$ oraz $\left(0;1\right)$ oraz z ukośnego odcinka ograniczonego z lewej strony niezamalowanym punktem $\left(0;0\right)$ i o prawym końcu w zamalowanym punkcie $\left(1;1\right)$. Drygi rysunek przedstawia wykres funkcji g w układzie współrzędnych. Składa się on z dwóch odcinków: pierwszy jest ukośny i ma końce w zamalowanych punktach: $\left(-1;-1\right)$ oraz $\left(0;0\right)$, drugi odcinek jest poziomy i z lewej strony ograniczony jest niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(0;1\right)$, a prawy koniec odcinka znajduje się w zamalowanym punkcie $\left(1;1\right)$. Z rysunku pierwszego i drugiego prowadzą strzałki do rysunku trzeciego. Między strzałkami umieszczono znak plus. Rysunek trzeci przedstawia wykres funkcji h w układzie współrzędnych będący ukośnym odcinkiem o końcach w zamalowanych puktach $\left(-1;0\right)$ oraz $\left(1;2\right)$.

Określamy funkcje $f\left(x\right)={\sin }^2\left(x\right)$ oraz $g\left(x\right)=\cos \left(x\right)$. Sprawdzimy, czy funkcja ${\displaystyle h\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}$ jest funkcją ciągłą.

Rozwiązanie

Zauważmy, że funkcja $h$ ma postać:

$h{\displaystyle \left(x\right)=\frac{{\sin }^2\left(x\right)}{\cos \left(x\right)}}$,

zatem:

$h\left(x\right)=\sin \left(x\right)·\mathrm{tg}\left(x\right)$.

Zwróćmy uwagę, że dziedziną funkcji $h$ jest ${\displaystyle \mathrm{ℝ}\setminus \left\{\frac{k\pi }{2}:k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}}$.

Wykres funkcji $h$ wygląda następująco

RRLFaanCJtRqe

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych, w którym narysowano trzy parabole. Pierwsza od lewej strony ma ramiona skierowane w dół i wierzchołek w punkcie $\left(-\pi ;0\right)$, druga ma ramiona skierowane w górę i wierzchołek w punkcie $\left(0;0\right)$, trzecia parabola ma ramiona skierowane w dół i wierzchołek w punkcie $\left(\pi ;0\right)$.

Funkcja ta jest zatem funkcją ciągłą w swojej dziedzinie.

Niech $f\left(x\right)=x$ oraz $g\left(x\right)=\left|x\right|$. Sprawdzimy, czy funkcja

${\displaystyle h\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}$

jest ciągła w swojej dziedzinie.

Rozwiązanie

Zauważmy, że:

$h{\displaystyle \left(x\right)=\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle \left|x\right|}}}$,

czyli:

$h\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}1,& \text{gdy}x>0\\ -1,& \text{gdy}x<0\end{array}\right.$.

Jest to funkcja ciągła mimo, że jej wykres wydaje się być nieciągły.

RiP9Ph3Oo5KIf

Ilustracja przedstawia wykres funkcji h składający się z dwóch poziomych półprostych. Pierwsza biegnie na poziomie minus jeden i z prawej strony ogranicza ją niezamalowany punkt $\left(0;-1\right)$. Druga biegnie na poziomie jeden i z lewej strony ogranicza ją niezamalowany punkt $\left(0;1\right)$.

Weźmy funkcję ciągłą $f$: $D\to \mathrm{ℝ}$. Jeżeli $A\subset D$, to funkcja $h$: $A\to \mathrm{ℝ}$ dana wzorem $h\left(x\right)=f\left(x\right)$ jest także funkcją ciągłą.

R1doXK7uv9hZ5

Ilustracja przedstawia przykład obcięcia funkcji f do przedziału A, gdzie obcięcie jest funkcją h. W układzie współrzędnych narysowano wykres funkcji f będący kawałkiem nieregularnej poziomej fali ograniczonej z lewej strony niezamalowanym punktem $\left(-2;3\right)$ i o końcu w zamalowanym punkcie $\left(4;2\right)$. Na osi X zaznaczono przedział A. Jest to suma trzech przedziałów: lewostronnie domkniętego od minus jeden do zera, otwartego od dwóch do trzech oraz otwartego od trzech do czterech. Kolorem zaznaczono kawałki krzywej f biegnące w przedziale A. To właśnie jest obcięciem funkcji f do A.

Niech funkcje $f$: $⟨a;b⟩\to \mathrm{ℝ}$ oraz $g$: $⟨b;c⟩\to \mathrm{ℝ}$ będą ciągłe. Jeżeli $f\left(b\right)=g\left(b\right)$, to funkcja $h$: $⟨a;c⟩\to \mathrm{ℝ}$ dana wzorem

jest także ciągła.

Rnk8gF2BPzj9Y

Ilustracja przedstawia dwa układy współrzędnych. W pierwszym układzie jest funkcja f i g. Funkcja F ma nieregularny kształt, zawiera się w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych i zawiera się w przedziale a b. Funkcja f rozpoczyna się zamalowaną kropką i kończy zamalowaną kropką. Następnie funkcja g  zawiera się w pierwszej ćwiartce i zawiera się w przedziale a b. Rozpoczyna się w tym samym punkcie co kończy funkcja f i następnie maleje i kończy się także zamalowaną kropką. Pod odpisanym układem współrzędnych znajduje się strzałka skierowana w dół na następny układ współrzędnych. W poniższym układzie znajduje się funkcja h, która ma taki sam kształt jak funkcja f i g razem. Funkcja h znajduje się w przedziale a c, kończy i zaczyna się zamalowanymi kropkami.

Wykorzystamy powyższe twierdzenia do stwierdzenia ciągłości funkcji $f$: $⟨-\pi , \pi ⟩\to \mathrm{ℝ}$ określonej wzorem

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\sin \left(x\right),& \text{gdy }x\in ⟨-\pi , 0⟩\\ \sqrt{x},& \text{gdy }x\in \left(0, \pi \right.⟩\end{array}\right.$

Rozwiązanie

Wiemy, że funkcje $g\left(x\right)=\sin \left(x\right)$ oraz $h\left(x\right)=\sqrt{x}$ są ciągłe. Z twierdzenia o obcinaniu funkcji ciągłych wiemy, że obcięcie funkcji $\sin \left(x\right)$ do przedziału $⟨-\pi , 0⟩$ oraz obcięcie funkcji $\sqrt{x}$ do przedziału $⟨0, \pi ⟩$ to funkcje ciągłe.

R1Eng1X6rkyDA

Ilustracja przedstawia dwa rysunki. Na pierwszym narysowano wykres funkcji sinus i wyróżniono kolorem fragment fali znajdującej się w trzeciej ćwiartce w przedziale od minus pi do zera. Końce łuku zaznaczono zamalowanymi punktami. Rysunek drugi przedstawia wykres funkcji pierwiastkowej będący krzywą biegnącą w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Zaznaczono kawałek krzywej w przedziale od zera do pi. Funkcja przyjmuje tu wartości od zera do około 1,8

Co więcej

$\sin \left(0\right)=\sqrt{0}=0$,

więc możemy wykorzystać twierdzenie o sklejaniu funkcji ciągłych, by stwierdzić, że funkcja $f$ jest ciągła.

RuyL5Gb2f1hEF

Ilustracja przedstawia sumę wykresów w przedziale od minus pi do pi. W przedziale od minus pi do zera mamy kawałek funkcji sinus w trzeciej ćwiartce, a od zera do pi mamy kawałek krzywej pierwiastkowej w pierwszej ćwiartce. Końce wykresu oznaczono zamalowanymi punktami.

Sprawdzimy ciągłość funkcji

$h\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}{\log }_2\left(x^2+1\right),& \text{gdy }x\in \left.⟨-2, 0\right)\\ \sin \left(\sqrt{x}\right),& \text{gdy }x\in ⟨0, 1⟩\end{array}\right.$

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenia: $f\left(x\right)={\log }_2\left(x^2+1\right)$ oraz $g\left(x\right)=\sin \left(\sqrt{x}\right)$.

Zauważmy, że dziedziną funkcji $f$ jest zbiór liczb rzeczywistych, zaś funkcji $g$ zbiór liczb nieujemnych. Zwróćmy uwagę, że funkcje $f$ i $g$ są ciągłe na swoich dziedzinach na mocy twierdzenia o własnościach funkcji ciągłych. Funkcja $f$ jest ciągła jako złożenie logarytmu i wielomianu, zaś funkcja $g$ jest ciągła jako złożenie funkcjizłożenie funkcjizłożenie funkcji trygonometrycznej z pierwiastkiem. Z twierdzenia o obcinaniu funkcji ciągłych otrzymujemy, że obcięcie funkcji $f$ do przedziału $⟨-2, 0⟩$ oraz obcięcie funkcji $g$ do przedziały $⟨0, 1⟩$ są także ciągłe. Na koniec, by wykorzystać twierdzenie o sklejaniu funkcji ciągłych, musimy pokazać, że

$f\left(0\right)=g\left(0\right)$.

Nie jest to trudne, gdyż

${\log }_2\left(0^2+1\right)={\log }_2\left(1\right)=0$ oraz $\sin \left(\sqrt{0}\right)=0$.

Możemy więc, korzystając z twierdzenia o sklejaniu funkcji ciągłych, stwierdzić, że funkcja $h$ jest ciągła jako „sklejenie” funkcji ciągłych$f$ oraz $g$.

złożeniem funkcji $f$ z funkcją $g$ jest funkcja $h$ określona wzorem