Warto przeczytać

Płyny oddziałują na zanurzone w nich ciała siłami nacisku (parcia) skierowanymi prostopadle do powierzchni tych ciał. Ciśnienie hydrostatyczneciśnienie hydrostatyczneCiśnienie hydrostatyczne wynika z obecności pewnej porcji cieczy nad badanym obszarem. Powoduje ono występowanie sił wyporu.

Rozważmy siły nacisku działające na sześcian o krawędzi $a$ umieszczony w cieczy o gęstości $\rho_{c}$ (Rys. 1.).

W płynie na różnych głębokościach panuje różne ciśnienie hydrostatyczneciśnienie hydrostatyczneciśnienie hydrostatyczne - im głębiej, tym ciśnienie to jest większe. Na ścianki boczne zanurzonego ciała działają siły o takich samych wartościach i przeciwnych zwrotach (na przykład siły $\vec{F}_3$ i $\vec{F}_4$ na Rys. 1.), które się równoważą. Inaczej jest ze ściankami górną i dolną. Ciecz wywiera większe ciśnienie na podstawę dolną zanurzonego ciała niż na powierzchnię górną. Wypadkowa działających tu sił Siły $\vec{F}_1$ oraz $\vec{F}_2$ to właśnie siła wyporusiła wyporusiła wyporu Archimedesa.

RvmBBR8z0KdXQ

Rys. 1. Rysunek przedstawia przezroczyste naczynie z cieczą. Obok naczynia narysowano wektor przyspieszenia ziemskiego skierowany pionowo w dół i oznaczony literą małe g ze strzałką nad nią. W cieczy zanurzony jest sześcian. Wysokość słupa cieczy nad górną ścianką sześcianu ma długość oznaczoną literą małe h z indeksem dolnym 1. Wysokość słupa cieczy nad dolną ścianką sześcianu ma długość oznaczoną literą małe h z indeksem dolnym 2. Narysowano wektory sił parcia działających na ścianki sześcianu. Do górnej ścianki przyłożony jest wektor siły skierowany pionowo w dół i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym 1 i strzałką nad nią. Do dolnej ścianki przyłożony jest wektor siły skierowany pionowo w górę i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym 2 i strzałką nad nią. Do lewej ścianki bocznej przyłożony jest wektor siły skierowany poziomo w prawo i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym 3 i strzałką nad nią. Do prawej ścianki bocznej przyłożony jest wektor siły skierowany poziomo w lewo i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym 4 i strzałką nad nią. Długość wektora siły działającej na ściankę górną jest najmniejsza. Długości wektorów sił działających na ścianki boczne są jednakowe i nieco większe niż wektor wielkie F z indeksem dolnym 1. Największą długość ma wektor siły działającej na ściankę dolną.

Wartość siły nacisku cieczy $\vec{F}_1$ na głębokości $h_{1}$ jest równa

a siły nacisku $\vec{F}_2$ na głębokości $h_{2}$

Wypadkowa siła $\overrightarrow{F_{}}$, skierowana do góry, o wartości $F=F_{2}-F_{1}$, zwana jest siłą wyporu.

A ponieważ

to

Siła wyporusiła wyporuSiła wyporu równa jest ciężarowi cieczy zawartej w objętości zanurzonego ciała i nie zależy od masy ciała, a jedynie od objętości wypartej cieczy.

Prawo Archimedesaprawo ArchimedesaPrawo Archimedesa głosi, że na każde ciało zanurzone w cieczy lub gazie działa siła wyporu, skierowana ku górze i równa ciężarowi cieczy lub gazu wypartemu przez to ciało.

gdzie $V$ to objętość wypartej cieczy lub gazu.

Z prawa Archimedesa wynikają warunki określające, kiedy ciało pływa, a kiedy tonie.

Na ciała znajdujące się w płynach działa siła wyporu oraz skierowana przeciwnie siła ciężkościsiła ciężkościsiła ciężkości. Wypadkowa tych sił określa sposób zachowania się ciała.

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

• średnia gęstość ciała: $\rho$

• gęstość płynu: $\rho_{c}$

• objętość ciała $V$

• objętość części ciała zanurzonej w płynie $V_{z}$ ,

• masa ciała $m$

• przyspieszenie grawitacyjne $g$

Wtedy

1. jeśli $mg=\rho_{c}gV$, tj. $\rho=\rho_{c}$, to ciało pływa całkowicie zanurzone (Rys. 2.),

2. jeśli $mg \lt \rho_{c}gV$, tj. $\rho \lt \rho_{c}$, to ciało pływa, ale nie jest całkowicie zanurzone. Warunek równowagi ma postać $mg=\rho g V_{z}$, gdzie $V_{z} = \frac{\rho_c}{\rho}V$ to objętość zanurzonej części ciała (Rys. 3.),

3. jeśli $mg \gt \rho_{c}gV$, tj. $\rho \gt \rho_{c}$, to ciało tonie (Rys. 4.).

R4r18Zk4vadxX

Rys. 2. Rysunek przedstawia przezroczyste naczynie z cieczą. Ciało w kształcie prostopadłościanu zanurzone jest całkowicie w cieczy. W środkowym punkcie ciała przyłożone są 2 wektory o jednakowej długości. Wektor siły ciężkości skierowany jest pionowo w dół i oznaczony jako małe m razy małe g ze strzałką nad nią. Wektor siły wyporu skierowany jest pionowo w górę i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym małe w i strzałką nad nią.

RhmLwIzJcjmIM

Rys. 3. Rysunek przedstawia przezroczyste naczynie z cieczą. W cieczy pływa na powierzchni ciało w kształcie prostopadłościanu. Do ciała przyłożone są 2 wektory o jednakowej długości. Wektor siły ciężkości skierowany jest pionowo w dół i oznaczony jako małe m razy małe g ze strzałką nad nią. Wektor siły wyporu skierowany jest pionowo w górę i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym małe w i strzałką nad nią.

R6NSmVcoeFVxS

Rys. 4. Rysunek przedstawia przezroczyste naczynie z cieczą. Na dnie naczynia leży ciało w kształcie prostopadłościanu. Do ciała przyłożone są 2 wektory. Wektor siły ciężkości o większej długości skierowany jest pionowo w dół i oznaczony jako małe m razy małe g ze strzałką nad nią. Krótszy wektor siły wyporu skierowany jest pionowo w górę i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym małe w i strzałką nad nią.

Przeanalizujmy szczególne przypadki pływania ciał.

Przykład 1

Po powierzchni wody pływa metalowa boja o kształcie wydrążonej kuli (Rys. 5.). Jej średnice zewnętrzna i wewnętrzna wynoszą odpowiednio $d_2 = 40\,\text{cm}$ i $d_1 = 39,5\,\text{cm}$. Gęstość metalu wynosi $\rho = 7,8\,\text{g/cm}^3$, a gęstość wody $\rho_{w} = 1\,\text{g/cm}^3$. We wnętrzu boi umieszczamy ciężarek wykonany z tego samego metalu co boja. Znajdźmy taką jego masę, że cała boja pozostanie zanurzona w wodzie.

RqvpVPS27Pb5O

Rys. 5. Ilustracja składa się z dwóch części. Na rysunku z lewej strony znajduje się ciało w kształcie wydrążonej kuli, której wewnętrzna średnica oznaczona jest literą małe d z indeksem dolnym 1, a średnica zewnętrzna oznaczona jest literą małe d z indeksem dolnym 2. Ciało pływa na powierzchni cieczy. Narysowano 2 wektory o jednakowej długości działające na ciało. Wektor siły ciężkości skierowany jest pionowo w dół i oznaczony literą wielkie Q ze strzałką nad nią. Wektor siły wyporu skierowany jest pionowo w górę i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym małe w i strzałką nad nią. Gęstość kuli oznaczona jest grecką literą ro z indeksem dolnym 1, a gęstość cieczy oznaczona jest grecką literą ro z indeksem dolnym 2. Na rysunku z prawej strony wewnątrz wydrążonej kuli umieszczony jest ciężarek o masie oznaczonej literą małe m. Kula całkowicie zanurzona jest w cieczy. Narysowano 2 wektory o jednakowej długości działające na ciało. Wektor siły ciężkości skierowany jest pionowo w dół i oznaczony literą wielkie Q prim ze strzałką nad nią. Wektor siły wyporu skierowany jest pionowo w górę i oznaczony literą wielkie F prim z indeksem dolnym małe w i strzałką nad nią. Wektory sił na prawym rysunku mają większą długość niż wektory sił na lewym rysunku.

Boja ma masę

a obciążyć ją trzeba dodatkowym ciężarkiem o masie $m$, by całkowitym ciężarem boi zrównoważyć siłę wyporu, gdy cała będzie zanurzona. Warunek tej równowagi ma postać

stąd

Po wstawieniu danych otrzymujemy $m \approx 23,8\,\text{kg}$.

Przykład 2

Łodzie podwodne mogą zanurzać się lub wynurzać dzięki zmianom siły ciężkościsiła ciężkościsiły ciężkości i siły wyporusiła wyporusiły wyporu. Regulacja zanurzenia związana jest z napełnianiem i opróżnianiem zbiorników z wodą i powietrzem. Podobnie pływają ryby posiadające zbiornik gazu (pęcherz pławny) wypełniony głównie mieszaniną azotu, tlenu i dwutlenku węgla.

Balony także unoszą się dzięki sile wyporu. Najczęściej wypełnia się je helem lub ogrzanym powietrzem (które ma mniejszą gęstość od gęstości powietrza otaczającego balon).

Dla uproszczenia (powody poniżej) zamiast balonu rozważmy przykład ze sterowcem. Ma on objętość $V = 120\,000\,\text{m}^3$ i wypełniony jest helem, którego gęstość w warunkach normalnych wynosi $\rho_\text{He} = 0,178\,\text{kg/m}^3$. Każda z $n=50$ lin trzymających go przy powierzchni Ziemi miała naprężenie równe $N = 2\,\text{kN}$. Gęstość powietrza w warunkach normalnych wynosi $\rho_{p0} = 1,25\,\text{kg/m}^3$.

1. Wyznacz całkowitą masę $M_s$ sterowca (tj. samego urządzenia, wyposażenia, załogi itp., bez gazu),

2. Oszacuj gęstość powietrza, przy której siła wyporu zrównoważy ciężar sterowca.

Rozwiązanie:

1. Oznaczmy masę sterowca z helem przez $M$. Suma naprężeń wszystkich lin i ciężaru całego sterowca musi być przeciwna do siły wyporu. Stąd równość wartości tych sił:

   $nN+Mg=\rho_pgV\ ,$

   wobec tego

   $\displaystyle M = -\frac{nN}{g} + \rho_p V \approx 1,40\cdot 10^5 \,\text{kg}\ .$

   Odejmując od tego wyniku masę helu w zadanej objętości uzyskamy masę samego statku:

   $M_s = M - M_\text{He} = M - \rho_\text{He}V \approx 1,18\cdot 10^5 \,\text{kg}\ .$

   Warto zauważyć, że masa helu zamkniętego w powłoce sterowca jest niepomijalną częścią całkowitej jego masy. Sprawdź, we własnym zakresie, że to około 15%.

2. Warunek równowagi dla sterowca w powietrzu ma postać

   $Mg = \rho_p' g V\ ,$

   czyli $\rho_p' = M/V$, co nie powinno dziwić - uzyskaliśmy średnią gęstość sterowca. Wynosi ona ok. $1,17\,\text{kg/m}^3$.

Dla zainteresowanych

W rozwiązaniu dla punktu 2. można spróbować wyznaczyć wysokość, na której sterowiec przestanie się wznosić. Gęstość powietrza (w przybliżeniu - zakładamy m. in. stałość temperatury) maleje wykładniczo ze wzrostem wysokości:

$\displaystyle \rho_p(h) = \rho_{p0} \exp\left(-\frac{\mu g h}{RT}\right)\ ,$

gdzie $\mu = 2,87\cdot 10^{-2}\,\text{kg/mol}$ to średnia masa molowa powietrza (jako mieszaniny głównie azotu, tlenu i dwutlenku węgla), $T$ - temperatura w skali bezwzględnej, $R = 8,31 \,\text{J/(mol K)}$ - uniwersalna stała gazowa. Jest to tzw. wzór barometryczny.

R1MBV2HYAimat

Wykres przedstawia zależność ciśnienia od wysokości nad poziomem morza. Oś pionowa oznaczona grecką literą ro z indeksem dolnym p w nawiasie h i jednostki kilogramy na metr sześcienny. Wyskalowana jest od 0 do 1,5 co 0,1 kilograma na metr sześcienny. Oś pozioma podpisana h w jednostkach kilometrach wyskalowana jest od 0 do 10 co 0,2 km. Niebieską ciągłą linią przedstawiono zależność. Jest to funkcja malejąca mająca swój początek na osi pionowej w punkcie 1,22 dla 0 km oraz koniec w punkcie 0,4 dla 10 km. Funkcja maleje eksponencjalnie.

Przyjmijmy, że $T = 290\,\text{K}$. Warunek równowagi ma postać

$Mg = \rho_p(h) g V\ ,$

skąd - albo bezpośrednio, korzystając z logarytmu naturalnego (tę funkcję możesz znać z lekcji chemii), albo z użyciem arkusza kalkulacyjnego - uzyskujemy

$\displaystyle h = \frac{RT}{\mu g}\ln\frac{M}{\rho_{p0} V}\approx 600\,\text{m}\ .$

Słowniczek