Przeczytaj

Przykład 1

Zależność pomiędzy drogą $s$ a czasem $t$ , jaki jest potrzebny na jej przebycie w ruchu jednostajnym po linii prostej, jest zależnością liniową:

s = v t

gdzie współczynnik proporcjonalnościwspółczynnik proporcjonalnościwspółczynnik proporcjonalności $v$ to prędkość.

Przykład 2

W pewnym przybliżeniu możemy powiedzieć, że podatek dochodowy jest funkcją osiągniętego dochodu, bowiem danemu dochodowi $D$ w ustalonym roku możemy przypisać w jednoznaczny sposób odpowiadający mu podatek $P$ . Oznaczmy przez $K$ roczną kwotę wolną od podatku. Jeżeli wszyscy płatnicy indywidualni płacą w ramach obowiązku podatkowego ten sam procent $p$ od dochodu osiągniętego ponad kwotę wolną od podatku, to zachodzi wzór:

P = \frac{p}{100} (D - K)

i mamy do czynienia z podatkiem liniowym. Jego nazwa bierze się stąd, że zależność między $D$ i $P$ jest zależnością liniową. Wzór ten dokładniej przeanalizujemy w kolejnym przykładzie.

Ważne!

W rzeczywistości system podatkowy jest bardziej skomplikowany chociażby ze względu na rozmaite ulgi podatkowe takie jak zwolnienie z płacenia podatków przez osoby do $26$ roku życia, odliczenie od kwoty naliczonego podatku składki zdrowotnej w wysokości $7, 75 %$ , czy wiele innych ulg, które możemy odliczać od podatku. W kolejnych przykładach i zadaniach będziemy jednak rozważać uproszczony model, w którym w gruncie rzeczy dochód i podstawę obliczenia podatku można utożsamiać.

Przykład 3

W wielu krajach osoby o wyższych dochodach płacą wyższe podatki od zarobków powyżej pewnej kwoty. W Polsce w $2022$ roku wyróżnia się dwa progi podatkowe. Dochody poniżej $120000 zł$ rocznie obłożono podatkiem w wysokości $17 %$ , a powyżej tej kwoty $32 %$ . Ponadto, kwota wolna od podatku wynosi $30000 zł$ rocznie.

Dodatkowo, w pierwszym i w drugim progu podatkowym odejmujemy tzw. kwotę zmniejszającą podatek, która wynosi $5100 zł$ (kwota ta wynika stąd: $30000 zł \cdot 17 % = 5100 zł$ ).

Aby lepiej zrozumieć istotę kwoty pomniejszającej podatek, obliczymy (w modelu uproszczonym), ile podatku zapłaci osoba, która zarobiła w poprzednim roku $200000 zł$ .

Osoba wpada w drugi próg podatkowy, więc podatek jaki zapłaci wyniesie:

$120000 \cdot 0, 17 - 5100 + (200000 - 120000) \cdot 0, 32 = 20400 - 5100 + 25600 = 40900$ .

Możemy obliczyć podatek również inaczej, dzieląc całkowity przychód na progi. Wtedy nie będzie trzeba odejmować kwoty zmniejszającej podatek.

Oznaczmy też dla ułatwienia kwotę całkowitą przychodu jako $x$ , część nieopodatkowaną tej kwoty jako $x_{0}$ , część wpadającą do pierwszego progu podatkowego jako $x_{1}$ oraz część wpadającą do drugiego progu podatkowego jako $x_{2}$ .

Oczywiście zachodzi: $x = x_{0} + x_{1} + x_{2}$ .

Wyobraźmy sobie $200000 zł$ jako oś, na której zaznaczamy cztery punkty: punkt początkowy $0$ , punkt $30000$ , punkt $120000$ i punkt $200000$ . Dzielą one oś na trzy odcinki o długościach: $30000$ , $90000$ i $80000$ . Odcinek pierwszy reprezentuje nieopodatkowaną część dochodu, odcinek drugi reprezentuje część dochodu opodatkowaną na $17 %$ , a odcinek trzeci część opodatkowaną na $32 %$ . Czyli zgodnie z naszymi oznaczeniami mamy trzy odcinki o następujących długościach:
$x_{0} = 30000 - 0 = 30000$ ,
$x_{1} = 120000 - 30000 = 90000$ ,
$x_{2} = 200000 - 120000 = 80000$ .

R1ecq9mP9Jhg8

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od zera do dwustu dziesięciu tysięcy. Na osi naniesiono trzy odcinki jeden po drugim. Pierwszy opisany jest jako x indeks dolny 0 równa się 30000 i biegnie od zera do współrzędnej 30000; drugi podpisany jest jako x indeks dolny 1 równa się 90000; ma on początek w punkcie o współrzędnej 30000 i o końcu w punkcie 120000; trzeci odcinek podpisano jako x indeks dolny 2 równa się 80000; jego początek znajduje się w punkcie o współrzędnej 120000, a koniec 200000

Jest to bardziej skomplikowany przypadek z Przykładu $2$ . Tutaj również korzystamy ze wzoru $P = \frac{p}{100} (D - K)$ , przy czym różnica w nawiasie to nasze długości odcinków na osi. Zatem w warunkach naszego zadania wzór ten wygląda tak:

$P = \frac{p_{0}}{100} \cdot K + \frac{p_{1}}{100} (D_{1} - K) + \frac{p_{2}}{100} (D_{2} - (D_{1} - K) - K)$ ,

przy czym $P$ – to kwota należnego podatku,
$p_{0} = 0$ ,
$p_{1} = 17$ ,
$p_{2} = 32$ ,
$K = 30000$ ,
$D_{1} = 120000$ ,
$D_{2} = 200000$ .

W takim modelu nie potrzeba odejmować kwoty zmniejszającej podatek. Prześledźmy kolejne kroki rozwiązania.

Od kwoty $30000 zł$ osoba ta nie zapłaci podatku.
W pierwszym progu mamy do rozliczenia $90000 zł$ – jest to drugi odcinek na osi. Zatem
$90000 zł \cdot 17 % = 15300 zł$
Reszta kwoty rozliczana jest w drugim progu podatkowym bez dodatkowych ulg.
$80000 zł \cdot 32 % = 25600 zł$

Zatem osoba zapłaci $0 zł + 15300 zł + 25600 zł = 40900 zł$ podatku.

Lub też, korzystając ze wzoru:

$P = \frac{0}{100} \cdot 30000 + \frac{17}{100} (120000 - 30000) + \frac{32}{100} (200000 - (120000 - 30000) - 30000) =$

$= 0 + \frac{17}{100} \cdot 90000 + \frac{32}{100} \cdot (200000 - 120000 + 30000 - 30000) =$

$= 0 + 15300 + \frac{32}{100} \cdot 80000 = 0 + 15300 + 25600 = 40900$ .

W rezultacie, jeśli przez $x$ oznaczymy podstawę obliczenia podatku (wyrażoną w złotych), a przez $P (x)$ należny od niej podatek w roku $2022$ , to okaże się, iż funkcję $P (x)$ opisać możemy za pomocą poniższej tabeli.

Progi podatkowe (przychód całkowity) $[zł]$	Naliczony podatek	Obliczenia	Kwota podatku $[zł]$
$0$ – $30000$	$0 %$	$x_{0} \cdot 0$	$0$
$30000$ – $120000$	$17 %$	$x_{0} \cdot 0 + x_{1} \cdot 0, 17$	$0$ – $15300$
$120000$ i wzwyż	$32 %$	$x_{0} \cdot 0 + x_{1} \cdot 0, 17 + x_{2} \cdot 0, 32$	$15300 + 0, 32 x_{2}$

Funkcja $P (x)$ , mimo że sama nie jest funkcją liniową, to jednak w każdym z wypisanych wyżej przedziałów dana jest przez zależność liniową, a jej wykres złożony jest z dwóch odcinków i półprostej.

R1euagKlBn98K

Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych z poziomą osią X od zera do dwustu dziesięciu tysięcy z podziałką co 10000 oraz z pionową osią Y od zera do sześćdziesięciu tysięcy z podziałką co 10 tysięcy. Na płaszczyźnie narysowano wykres o początku w punkcie o współrzędnych nawias 0 przecinek 0 zamknięcie nawiasu. Wykres w pierwszej części biegnie po osi X do punktu o współrzędnej 30000; poniżej podpisano tę część wykresu jako x indeks dolny 0 równa się 30 tysięcy. Przez punkt o współrzędnej 30000 poprowadzono linią przerywaną pionową oś oddzielającą pierwszą część wykresu. Druga część wykresu to ukośny odcinek biegnący od punktu o współrzędnych nawias 30000 przecinek 0 zamknięcie nawiasu do punktu nawias 120000 przecinek 15300; przez prawy koniec odcinka poprowadzono linią przerywaną prostą oddzielającą drugą część wykresu. Część ta podpisana jest jako x indeks dolny 1 równa się 90 tysięcy. Trzecia część wykresu jest ukośną półprostą o początku w punkcie o współrzędnych nawias 120000 przecinek 15300 zamknięcie nawiasu. Półprosta ta biegnie między innymi przez punkt o współrzędnych nawias 200000 przecinek 40900 zamknięcie nawiasu. Przez ten punkt również poprowadzono linią przerywaną pionową prostą. Ta część wykresu podpisana jest jako x indeks dolny 2 równa się 80 tysięcy. Poprowadzono także linią przerywaną trzy poziome pomocnicze proste określające wysokość podatku od danej kwoty. Proste te leżą na wysokościach: 5100 oraz 15300 i 40900

Powyższy wykres funkcji opisać możemy następującym układem równań:

$\{\begin{cases} 0, dla x < 30000 \\ 0, 17 \cdot x - 5100, dla 30000 ⩽ x < 120000 \\ 0, 32 \cdot (x - 120000) - 15300, dla x ⩾ 120000 \end{cases}$ .

Jak możemy zauważyć, funkcja liniowa w tym przypadku rozbija się na trzy przedziały. Zatem im bardziej złożony problem, tym bardziej złożony nasz model.

Przykład 4

Korzystając z tabelki z przykładu $3$ , obliczymy, ile wynosi w roku $2022$ w Polsce należny podatek od podstawy obliczenia podatku równej $36789 zł$ .

Rozwiązanie:

Liczba $36789$ jest mniejsza od $120000$ i większa od $30000$ , zatem wpada do pierwszego progu podatkowego. Rozbijmy więc odpowiednio kwotę przychodu.

$x = x_{0} + x_{1} = 30000 + 6789$

Zatem wiemy już, że opodatkowana kwota to $x_{1} = 6789$ .

Obliczmy teraz jak opodatkowanie przedstawia się w całości.

W ogólności mamy:

$P (x) = P (x_{0} + x_{1}) = 0 \cdot x_{0} + 0, 17 \cdot x_{1}$ .

Podstawmy do powyższego równania dane z zadania.

$P (36789) = P (30000 + 6789) = 0 \cdot 30000 + 0, 17 \cdot 6789 = 0 + 1154, 13 = 1154, 13$

Odpowiedź: Należny podatek wynosi $1154, 13 zł$ .

Słownik

współczynnik proporcjonalności

stała $a \in ℝ ∖ \{0\}$ będąca ilorazem dwóch zmiennych $x$ i $y$ , o których mówi się, że są wprost proporcjonalne lub że zachodzi między nimi proporcjonalność prosta, co zapisujemy następująco

a = \frac{y}{x}

Wprowadzenie

Test samosprawdzający

Słownik