Oznaczmy przez $v_1$ prędkość wioślarza, a przez $v_2$ szybkość nurtu rzecznego, przy czym obie wielkości niech będą wyrażone w $\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Z warunków zadania wynika, że – płynąc z prądem rzeki, a więc z prędkością $v=v_1+v_2$ względem brzegu – wioślarz pokonał dystans $\left|AB\right|$ (wyrażony w $\mathrm{km}$) w czasie $1$ godziny. A zatem:

$\left(v_1+v_2\right)\cdot 1=\left|AB\right|$.

Płynąc pod prąd, wioślarz poruszał się względem brzegu z prędkością $v=v_1-v_2$ i drogę $\left|AB\right|$ pokonał w czasie $1,5$ godziny. A zatem:

$\left(v_1-v_2\right)\cdot \frac{3}{2}=\left|AB\right|$.

Z powyższych równań otrzymujemy:

$v_1+v_2=\frac{3}{2}\left(v_1-v_2\right)$,

$\frac{5}{2}{v}_2=\frac{1}{2}{v}_1$,

$v_1=5v_2$.

Prędkość wioślarza była $5$ razy większa od szybkości nurtu rzecznego.

Oznaczmy przez $x$ liczbę gramów pierwszego stopu, a przez $y$ liczbę gramów drugiego stopu.

Ponieważ otrzymany stop ma ważyć $32 \mathrm{g}$, więc:

$x+y=32$.

Ponadto, wiemy, że w otrzymanym stopie $\frac{1}{2}$ masy stanowi masa złota, więc złoto w tym stopie waży $16 \mathrm{g}$. Ponieważ w pierwszym stopie $\frac{2}{5}$ stanowi złoto, a w drugim złoto stanowi $\frac{2}{3}$ stopu, więc zachodzi równość:

$\frac{2}{5}x+\frac{2}{3}y=16$.

Rozwiązujemy zatem układ dwóch równań liniowych:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=32\\ \frac{2}{5}x+\frac{2}{3}y=16\end{array}\right.$.

Stąd $x=20$ oraz $y=12$.

Należy wziąć $20 \mathrm{g}$ pierwszego stopu i $12 \mathrm{g}$ drugiego.

a) Oznaczmy zarobki miesięczne przez $x$. W systemie niezreformowanym w ogóle nie zapłacimy podatku, jeśli miesięcznie zarabiamy nie więcej niż:

$\frac{3600}{12}=300 \left(€\right)$.

A zatem $g\left(x\right)=0$ dla wszystkich $x$ z przedziału $⟨0,300⟩$. Jeśli zarabiamy miesięcznie więcej niż $300 €$, to nasz całoroczny podatek wynosi:

$g\left(x\right)=\frac{15}{100}\left(12x-3600\right)=\frac{9}{5}x-540 \left(€\right)$.

Tymczasem po reformie od każdego zarobku odprowadzimy całoroczny podatek zgodnie ze wzorem:

$f\left(x\right)=\frac{1}{10}\cdot 12x=\frac{6}{5}x$.

b) Funkcja $f$ jest funkcją liniową, więc jej wykresem na rozważanym przedziale jest fragment linii prostej, w naszym przypadku przechodzącej przez początek układu współrzędnych i np. punkt $\left(500,600\right)$.

Z kolei wykres funkcji $g$ rysujemy oddzielnie dla przedziału $⟨0,300⟩$ oraz $⟨300,1000⟩$. Na pierwszym z tych przedziałów funkcja $g$ jest stale równa zeru. Na drugim z tych przedziałów wykresem funkcji $g$ jest odcinek przechodzący przez punkt $\left(300,0\right)$ i np. punkt $\left(800,900\right)$.

c) Podatnik zapłaci po reformie mniejszy podatek, gdy spełniona będzie nierówność:

$f\left(x\right)<g\left(x\right)$

czyli: $\frac{6}{5}x<\frac{9}{5}x-540$.

$\frac{3}{5}x>540$,

$x>900$.

R18nfb9aNUEUg

Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych z poziomą osią X od zera do 1100 z podziałką co 100 oraz z pionową osią Y od zera do 1100 z podziałką co sto. Na płaszczyźnie przedstawiono wykresy dwóch funkcji. Funkcja f to ukośna półprosta o początku w punkcie nawias 0 przecinek 0 zamknięcie nawiasu. Wykres biegnie w prawo w górę. Drugi wykres zaczyna się w tym samym punkcie co pierwszy i początkowo biegnie po poziomej osi do współrzędnej x równa się trzysta. Z tego punktu wykres odbija w górę w prawo. Wykresy przecinają się w punkcie o współrzędnych nawias 900 przecinek 1060 zamknięcie nawiasu.

Po reformie niższy podatek zapłacą ci, którzy zarabiają ponad $900 €$ miesięcznie.