$\left|x\right|=\left\{\begin{array}{rll}x,& \text{ gdy }& x\ge 0\\ -x,& \text{ gdy }& x<0\end{array}\right.$

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzą równości:

1. ${\left|x\right|}^2=x^2$,

2. $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$.

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x,y$ zachodzi równość: $\left|x·y\right|=\left|x\right|·\left|y\right|$.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ oraz dowolnej liczby rzeczywistej $y\ne 0$ zachodzi równość: $\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{\left|x\right|}{\left|y\right|}$.

1. Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$, $y$ zachodzi nierówność: $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$.
   Równość $\left|x+y\right|=\left|x\right|+\left|y\right|$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $x·y\ge 0$.

2. Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$, $y$ zachodzi nierówność: $\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|\le \left|x+y\right|$.
   Równość $\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|=\left|x+y\right|$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $x·y\le 0$.

Rozwiążemy równanie: $\left|\cos x-\frac{1}{2}\right|=\sin x-\frac{1}{2}$.

Rozwiązanie

Rozważmy dwa przypadki:

Przypadek 1.

Niech $\cos x\ge \frac{1}{2}$.

Wówczas równanie ma postać: $\cos x=\sin x$.

Równanie jest równoważne równaniu:

$\mathrm{tg}x=1$.

Zatem

$x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Po uwzględnieniu założenia $\cos x\ge \frac{1}{2}$ otrzymujemy odpowiedź w przypadku 1:

$x=\frac{\pi }{4}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Przypadek 2.

Niech $\cos x<\frac{1}{2}$.

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$\frac{1}{2}-\cos x=\sin x-\frac{1}{2}$, czyli

$\cos x+\sin x=1$.

Dzielimy równanie stronami przez $\sqrt{2}$ i otrzymujemy:

$\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Korzystamy ze wzoru na cosinus różnicy argumentów i otrzymujemy:

$\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Stąd otrzymujemy:

$\frac{\pi }{4}-x=\frac{\pi }{4}+2k\pi$ lub $\frac{\pi }{4}-x=\frac{7\pi }{4}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

A zatem $x=2k\pi$ lub $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Po uwzględnieniu założenia $\cos x<\frac{1}{2}$, otrzymujemy odpowiedź w przypadku 2: $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Odpowiedź: $x=\frac{\pi }{4}+2k\pi$ lub $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy równanie: $5+2\cos 2x=3\left|2\sin x-1\right|$.

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kątawzoru na cosinus podwojonego kąta:

$5+2\left(1-2{\sin }^{2}x\right)=3\left|2\sin x-1\right|$.

Równanie ma zatem postać:

$\left|6\sin x-3\right|=-4{\sin }^{2}x+7$.

Rozważmy dwa przypadki

Przypadek 1:

Niech $\sin x\ge \frac{1}{2}$.

Wówczas równanie ma postać:

$6\sin x-3=-4{\sin }^{2}x+7$,

czyli

$2{\sin }^{2}x+3\sin x-5=0$.

Wówczas: $\sin x=1$ lub $\sin x=-\frac{5}{2}$.

Uwzględniając założenia otrzymujemy rozwiązanie w przypadku 1: $\sin x=1$, czyli $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Przypadek 2

Niech $\sin x<\frac{1}{2}$.

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$3-6\sin x=-4{\sin }^{2}x+7$,

czyli

$2{\sin }^{2}x-3\sin x-2=0$.

Stąd otrzymujemy:

$\sin x=-\frac{1}{2}$ lub $\sin x=2$.

Po uwzględnieniu założenia $\sin x<\frac{1}{2}$ otrzymujemy warunek $\sin x=-\frac{1}{2}$.

Zatem rozwiązaniami w przypadku 2 są:

$x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ lub $x=-\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Odpowiedź: $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$ lub $x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ lub $x=-\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy równanie: $\left|\cos x\right|-\cos 3x=\sin 2x$.

Rozwiązanie

Rozważymy przypadki.

Przypadek 1

Niech $\cos x\ge 0$.

Wówczas równanie ma postać:

$\cos x-\cos 3x=\sin 2x$.

Korzystamy ze wzoru na różnicę cosinusówwzory na sumę oraz różnicę cosinusówze wzoru na różnicę cosinusów i otrzymujemy:

$-2\sin \left(-x\right)\sin 2x=\sin 2x$

$2\sin x\sin 2x=\sin 2x$

$2\sin x\sin 2x-\sin 2x=0$

Zapisujemy lewą stronę równania w postaci iloczynu

$\sin 2x\left(2\sin x-1\right)=0$.

A stąd otrzymujemy alternatywę warunków:

$\sin 2x=0$ lub $2\sin x-1=0$.

Zatem

$2x=k\pi$ lub $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ lub $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Po uwzględnieniu warunku $\cos x\ge 0$ otrzymujemy odpowiedź w przypadku 1:

$x=2k\pi$ lub $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ lub $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Przypadek 2

Niech $\cos x<0$.

Wówczas równanie ma postać:

$-\cos x-\cos 3x=\sin 2x$

Korzystamy ze wzoru na sumę cosinusówwzory na sumę oraz różnicę cosinusówze wzoru na sumę cosinusów i otrzymujemy:

$-2\cos \left(-x\right)\cos 2x=\sin 2x$

$-2\cos x\cos 2x=\sin 2x$

Korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kątasinus podwojonego kątaze wzoru na sinus podwojonego kąta i otrzymujemy:

$-2\cos x\cos 2x=2\sin x\cos x$

Ponieważ $\cos x<0$, dzielimy równanie stronami przez $2\cos x$:

$-\cos 2x=\sin x$

$\cos 2x=-\sin x$

Wykorzystujemy wzory redukcyjne i otrzymujemy:

$\cos 2x=\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)$.

Równanie ma rozwiązanie:

$2x=\frac{\pi }{2}+x+2k\pi$ lub $2x=-\frac{\pi }{2}-x+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$,

czyli

$x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$ lub $x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Po uwzględnieniu założenia $\cos x<0$, otrzymujemy rozwiązanie w przypadku 2:

$x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Odpowiedź: $x=2k\pi$ lub $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ lub $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy równanie: $\left|\sin 2x+\cos x\right|=\left|\left|\sin 2x\right|-\left|\cos x\right|\right|$.

Rozwiązanie

Skorzystamy z twierdzenia opisanego na początku lekcji:

Równość $\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|=\left|a+b\right|$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $a·b\le 0$.

W naszym równaniu niech: $a=\sin 2x,b=\cos x$.

Wówczas równanie z zadania jest równoważne warunkowi:

$\sin 2x·\cos x\le 0$

$2\sin x·{\cos }^{2}x\le 0$

$\sin x\left(1-{\sin }^{2}x\right)\le 0$

Stąd otrzymujemy:

$-1\le \sin x\le 0$ lub $\sin x\ge 1$.

Zatem odpowiedź jest następująca:

$x\in ⟨-\pi +2k\pi ,2k\pi ⟩$ lub $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

tożsamość trygonometryczna: $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$

tożsamość trygonometryczna: $\sin 2x=2\sin x\cos x$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$

dla dowolnych $x,y\in \mathrm{ℝ}$