Warto przeczytać

W fizyce tworzymy, prócz modeli fizycznych, także modele matematyczne. Nie jest łatwo jednoznacznie odgraniczyć jedne od drugich, dlatego że całą fizykę staramy się wyrażać za pomocą matematyki. Skoro czytasz niniejszy tekst, sięgnij także do e‑materiału „Jak modelować  wybrane zjawiska za pomocą modeli matematycznych?” jako naturalnego uzupełnienia.

Oczywiście, pokazany wcześniej model Układu Słonecznego to tylko zabawka dla pięcioletniej dziewczynki i proporcje zachowane są na poziomie: większy‑mniejszy. (To też nie było łatwe, bo Jowisz mi wielokrotnie eksplodował, a musiał być większy od wcześniej nadmuchanego Saturna. Basia na Dzień Dziecka dostała pięknie ilustrowaną książkę o planetach, z którą się nie rozstaje.) Nie o to tu jednak chodziło, ale o to, by - w przedszkolnym jeszcze wieku - wyrobić w dziecku poczucie ciekawości świata, by widziało związki pomiędzy rozgwieżdżonym niebem i schematem ze szkolnego atlasu. By kiedyś, na lekcji fizyki czy astronomii w szkole lub na uniwersyteckim wykładzie, przypomniało sobie ten dziecięcy model, kiedy uczyć się będzie o kwazarach, czarnych dziurach i rozszerzającym się Wszechświecie.

Poznawanie świata z pomocą modeli zaczyna się w wieku dziecięcym od zabawy i zabawek. Dziewczynki budują domki dla lalek z pełnym zabawkowym wyposażeniem, a chłopcy fascynują się modelami kolejek z rozjazdami i stacjami kolejowymi. Potem nastaje era modeli pojazdów sterowanych radiem, a jeszcze później - samodzielne tworzenie gier komputerowych, gdzie fantazja miesza się z rzeczywistością.

Można byłoby powiedzieć, że te gry komputerowe to właśnie takie „modele fizyczne” różnych zjawisk i innych (frapujących) akcji. Coś w tym jest, ale z jednym „ale”. Zobaczmy, jak definiuje się modelowanie i modele fizycznemodel fizycznymodele fizyczne.

Model fizyczny obiektumodel fizyczny obiektuModel fizyczny obiektu to jego uproszczone odwzorowanie, uwzględniające te cechy, które są przedmiotem modelowania. Może to być obiekt pomniejszony lub powiększony z zachowaniem (bądź niezachowaniem) skali, np. model atomu lub układu planetarnego. Skala może być też różna w różnych kierunkach, np. pionowym i poziomym. Model może pokazywać tylko zewnętrzną lub wewnętrzną (w oryginale niewidoczną) strukturę obiektu, może być statyczny lub ruchomy, ukazując działanie określonych mechanizmów, itp.

Model fizyczny zjawiska lub procesu to jego uproszczone przedstawienie, zawierające jednak jego najbardziej istotne cechy i biorące pod uwagę te elementy i czynniki, których wpływ na przebieg procesu chcemy badać. Przedstawienie to może mieć różną formę. Może być konstrukcją materialną, na przykład tunel aerodynamiczny, a może być aplikacją komputerową. Zasadniczą cechą modelu fizycznego jest wymóg pełnej zgodności z prawami fizyki w ramach przyjętych założeń modelowych.

Stosowane w modelowaniu uproszczenia mogą mieć różną naturę, np. mogą dotyczyć:

• pominięcia oddziaływania otoczenia na badany układ,

• zaniedbania możliwych zakłóceń o charakterze losowym,

• pominięcia nieistotnych oddziaływań pomiędzy elementami układu,

• traktowania elementów układu jako idealnych brył geometrycznych itp.

Wymóg zgodności z prawami fizyki, jako zasadnicza cecha modelu fizycznego, to próg trudny do pokonania w grach komputerowych. Pokażę Ci jednak coś, co może przypominać walkę żywiołów. Jest to wizualizacja zderzenia jąder atomowych o bardzo dużych energiach. Zderzenie modelowane było z pomocą programu o nazwie URQMD, Rys. 1. W zderzeniu produkuje się wiele nowych cząstek (bo $E=m{c}^2$). Na Rys. 1a. i Rys. 1b. widzisz dwie migawki z animacji, którą możesz zobaczyć poniżej.

RmrteydYyhwEA

Rys. 1a. Na rysunku przedstawiono dwie spłaszczone kule składające się ze zlepionych, małych, czerwonych kuleczek. Kule są spłaszczone w kierunku poziomym tak, że przypominają kształtem kolby kukurydzy, ustawione pionowo. Dwie poziome strzałki pokazują kierunki ruchu spłaszczonych kolb, które zbliżają się do środka rysunku, gdzie nastąpi zderzenie. Nad rysunkiem "kolb" umieszczono tytuł przed zderzeniem.

RyKC3pberzaef

Rys. 1b. Na rysunku przedstawiono wiele małych kuleczek w trzech kolorach: żółtym, niebieskim i czerwonym. Kulki, są wymieszane i zajmują obszar o kształcie podobnym do dużej kuli. U góry znajduje się tytuł: po zderzeniu.

Jądra atomowe przed zderzeniem (Rys. 1a.) wyglądają na ściśnięte w kierunku poziomym. Jest to rezultat włączenia w modelowaniu efektów wynikających ze szczególnej teorii względności.

Może pomyślisz: takie „bum” to ja też potrafię zasymulować. Raczej nie potrafisz, przynajmniej jeszcze. Pamiętaj, że tu nie chodzi o nadanie kolorowym kropkom losowych kierunków i wartości prędkości w ruchu jednostajnym – takie rozwiązania są często stosowane w grach komputerowych! W tym modelu wielkości takie jak energia i kierunek lotu każdego rodzaju cząstki są obliczane zgodnie z prawami zachowania energii i pędu, z danych wyznaczonych przez stan początkowy reakcji oraz dynamikę, zadaną w koncepcji modelu. Dzięki temu właśnie dysponujemy modelem znacznie bliższym rzeczywistości.

A teraz zobacz inną wersję tego modelowania. Efekty szczególnej teorii względności są wyłączone (w modelowaniu można tak postępować, choć efekty ostateczne zapewne są wtedy inne niż przed takim zabiegiem), dlatego jądra atomowe mają kształty zbliżone do kuli. Inna jest jednak skala czasowa, co umożliwia pokazanie materii kwarkowej produkowanej w takim zderzeniu.

Zobacz animację (Rys. 2.).

R1CJTQBphtezp

Rys. 2a. Na rysunku przedstawiono dwie duże kule składające się ze zlepionych, małych, szarych kulek. Kule symbolizują jądra atomowe składające się z nukleonów. Dwie poziome strzałki, skierowane przeciwnie do siebie, pokazują kierunki ruchu kul, które zbliżają się do środka rysunku, gdzie nastąpi zderzenie. Prawa kula znajduje się nieco niżej niż lewa tak, że w zderzeniu zetkną się ze sobą dolna połowa lewej kuli i górna połowa prawej kuli. U góry znajduje się tytuł: przed zderzeniem.

RITcmovraUTNd

Rys. 2b. Ilustracja pokazuje skutki zderzenia kul z rysunku 2a. Środek rysunku zajmuje szeroki, poziomy pas wypełniony maleńkimi kuleczkami w trzech kolorach: czerwonym, zielonym i niebieskim. Kulki kolorowe symbolizujące kwarki, są dokładnie wymieszane. W lewej dolnej części kolorowego pasa znajduje się niewielka grupka szarych kulek większych od kulek kolorowych. Jest to pozostałość jądra, które nadleciało z prawej strony. W prawej górnej części kolorowego pasa znajduje się niewielka grupka szarych kulek. Jest to pozostałość jądra, które nadleciało z lewej strony. U góry znajduje się tytuł po zderzeniu.

W ten sposób z pomocą modelowania pokazujemy zjawiska, które trwają milionowe milionowych milionowych i jeszcze raz milionowych (10Indeks górny -23^-23) części sekundy i dotyczą obiektów o rozmiarach rzędu tysięcznych milionowych milionowych (10Indeks górny -15^-15) części metra, czyli jąder atomowych poruszających się z prędkościami bardzo bliskimi prędkości światła, czyli $3\cdot {10}^8\text{m/s}$.

Tu właśnie widać potrzebę, sens i wartość modeli fizycznych. Jest wiele procesów, które przebiegają tak wolno (albo tak szybko) i zachodzą w tak małym (albo tak dużym) obszarze przestrzennym, że nie ma żadnych szans na zaobserwowanie ich w rzeczywistości. Znamy tylko stan początkowy i/albo końcowy danego procesu. Modelowanie może pomóc nam zrozumieć, jak przebiega proces łączący te stany.

Pokazaliśmy tu modelowanie procesu fizycznego i jego wizualizację z pomocą komputera. Teraz pokażemy zupełnie inny sposób modelowania zjawiska fizycznego, bo z pomocą konstrukcji materialnej. Jest to model fizyczny w sensie dosłownym - struktura kryształu (rozmiary rzędu 10Indeks górny -10  Indeks górny koniec^-10 m) odtwarzana jest przez konstrukcję z piłeczek plastikowych (rozmiary rzędu kilku centymetrów, 10Indeks górny -2  Indeks górny koniec^-2 m), a promieniowanie rentgenowskie zamienione jest przez promieniowanie mikrofalowe.

Modelujemy zjawisko dyfrakcji promieni rentgenowskich na kryształach (tzw. efekt Bragga) z pomocą promieniowania mikrofalowego i makroskopowej konstrukcji mechanicznej.

Na początek „dwa słowa” - czego dotyczy i o czym mówi zjawisko i prawo Bragga. W kryształach atomy rozmieszczone są w sposób uporządkowany w postaci tzw. sieci krystalicznej. Można wyróżnić w niej płaszczyzny, na których w równych odstępach rozmieszczone są atomy. Jeśli na taką strukturę pada wiązka promieniowania o długości fali porównywalnej z odległością pomiędzy płaszczyznami, to w wyniku rozproszenia na atomach sieci oraz wskutek interferencji fal dochodzi do ich wzmacniania lub wygaszania. Warunkiem wzmocnienia jest, by fale odbite od kolejnych płaszczyzn były przesunięte względem siebie o całkowitą wielokrotność długości fali. Ilustruje to Rys. 3.

R5oabbNELUP4H

Rys. 3. Na rysunku znajdują się cztery poziome przerywane linie w równych odległościach od siebie, oznaczonych literą małe d. Na każdej linii narysowano 5 czerwonych kulek w równych odległościach od siebie. Przez środkowe kulki przeprowadzono pionową, przerywaną linię. Na każdą z tych kulek pada promień promieniowania rentgenowskiego symbolizowany przez linię skierowaną w prawo i dół. Wszystkie te linie są do siebie równoległe i tworzą z liniami poziomymi kąt oznaczony grecką literą teta. Od kulek wychodzą promienie rozproszone skierowane w prawo i w górę, które tworzą z liniami poziomymi taki sam kąt oznaczony grecką literą teta. Od kulki, na której nastąpiło rozpraszanie, narysowano przerywaną linię skierowaną w dół i lewo, prostopadle do promienia padającego. Linia ta tworzy z linią pionową i promieniem padającym trójkąt prostokątny. Długość krótszej przyprostokątnej leżącej na promieniu padającym oznaczono iloczynem: małe d razy sinus kąta teta.

Prawo Bragga mówi, że efekt wzmocnienia dla promieniowania o długości fali λlambda na sieci krystalicznej o odległościach międzypłaszczyznowych d występuje dla takich kątów padania promieni na sieć krystaliczną θtheta, że

$2\cdot d\cdot \sin \theta =n\cdot \lambda .$

gdzie n = 1, 2, 3… jest rzędem maksimum dyfrakcyjnego.

Model demonstrujący to zjawisko znajduje się w studenckiej Pracowni Fizycznej na Wydziale Fizyki Politechniki Warszawskiej i pokazany jest na fotografii - Rys. 4.

RI5TrE8qt7lKn

Rys. 4. Fotografia przedstawia scenkę z pracowni fizycznej. Przy stole siedzą trzy studentki. Na stole umieszczono duży model kryształu składający się ze zlepionych plastikowych kulek podobnych do piłeczek pingpongowych. Na prawo od modelu widać dużą soczewkę wypukłą wykonaną z parafiny i oprawioną w drewnianą ramę. Soczewka ustawiona jest pionowo. Dorysowana czerwona strzałka wskazuje kierunek promieniowania mikrofalowego od soczewki do modelu kryształu. Podobna strzałka pokazuje kierunek promieniowania rozproszonego na modelu i skierowanego do drugiej podobnej soczewki z lewej strony modelu. Kierunek promieniowania padającego i rozproszonego tworzą kąt ostry. Jedna ze studentek wyciąga rękę do podstawy, na której stoi model, aby go obrócić.

Model kryształu wykonany został z kulek plastikowych. Emitowane z nadajnika mikrofal (po stronie prawej) promieniowanie skupiane jest z pomocą soczewek wykonanych z parafiny. Promieniowanie rozprasza się na modelu kryształu umieszczonym na obrotowej podstawce. Odbiornik ulokowany jest na ramieniu z lewej strony. Kąt między ramieniem a kierunkiem padania promieniowania można zmieniać. Maksimum sygnału z odbiornika oznacza konstruktywną interferencję, a odpowiadający mu kąt może być porównany z wartością wynikającą z prawa Bragga.

Model ten w piękny i efektowny sposób ilustruje uniwersalny charakter zjawisk i praw fizyki. Różnica w długościach fal zjawiska rzeczywistego i modelowanego wynosi osiem rzędów wielkości (!) (co nie powinno dziwić, bo taka jest różnica między skalą odległości w modelowanym zjawisku i wielkością utworzonego modelu), a efekt fizyczny opisuje w obu przypadkach to samo prawo fizyki. To podobnie jak w moim modelowaniu z wnuczką układu planetarnego, tylko w drugą stronę; my pomniejszaliśmy obiekty i odległości, a tu się je powiększa, chociaż cel jest ten sam – pokazać istotę modelowanego obiektu lub zjawiska.

Słowniczek