Przeczytaj

Pamiętasz?

Nierównością kwadratową z niewiadomą $x$ nazywamy każdą nierówność postaci $a x^{2} + b x + c > 0$ lub $a x^{2} + b x + c \geq 0$ lub $a x^{2} + b x + c < 0$ lub $a x^{2} + b x + c \leq 0$ , gdzie $a$ , $b$ , $c$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $a \neq 0$ .

Nierówność kwadratową nazywamy zupełnąnierówność kwadratowa zupełnaNierówność kwadratową nazywamy zupełną, jeżeli $b \neq 0$ i $c \neq 0$ .

Nierówność kwadratową nazywamy niezupełną jeżeli $b = 0$ lub $c = 0$ .

Jeżeli $b = 0$ i $c = 0$ to nierówność kwadratowa jest postaci $a x^{2} > 0$ lub $a x^{2} < 0$ lub $a x^{2} \geq 0$ lub $a x^{2} \leq 0$ .

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność $m x^{2} + (m - 1) x + 2 > 0$ dla $m = 0$ , $m = 1$ , $m = 2$ .

Rozwiązanie

Dla $m = 0$ mamy:

$0 \cdot x^{2} + (0 - 1) x + 2 > 0$

$- x + 2 > 0$

$- x > - 2 | : (- 1)$

$x < 2$

$x \in (- \infty, 2)$

Dla $m = 1$ mamy:

$x^{2} + (1 - 1) x + 2 > 0$

$x^{2} + 2 > 0$

Nierówność jest prawdziwa dla dowolnego $x \in ℝ$ .

Dla $m = 2$ mamy:

$2 x^{2} + (2 - 1) x + 2 > 0$

$2 x^{2} + x + 2 > 0$

$∆ = 1 - 16 = - 15$

RPEOjC3oIM7IY

Ilustracja przedstawia poziomą oś X, nad którą narysowano parabolę z ramionami skierowanymi w górę. Nad osią umieszczono kilka plusów. Parabola nie przecina osi.

$x \in ℝ$

Przykład 2

Dla jakich wartości parametru $p$ dziedziną funkcji $f (x) = \frac{1}{p x^{2} + p x + 4}$ jest zbiór liczb rzeczywistych?

Rozwiązanie

Wyrażenie $p x^{2} + p x + 4$ musi być różne od zera.

1. Dla $p = 0$ otrzymujemy $4 \neq 0$ .

Jest to prawda dla $x \in ℝ$ .

2. Dla $p \neq 0$ otrzymujemy $p x^{2} + p x + 4 \neq 0$ .

Aby równanie kwadratowe $p x^{2} + p x + 4 = 0$ nie posiadało miejsc zerowych $∆ < 0$ .

$∆ = p^{2} - 16 p$

$p^{2} - 16 p < 0$

$p (p - 16) < 0$

$p = 0 \lor p = 16$

$p \in (0, 16)$

Uwzględniając $(1)$ lub $(2)$ : $p \in ⟨0, 16)$ .

Aby dziedziną funkcji był zbiór liczb rzeczywistych parametr $p \in ⟨0, 16)$ .

Przykład 3

Dla jakich wartości parametru $k$ zbiór rozwiązań nierówności $(k + 2) x^{2} + x + 4 > 0$ jest niepustym przedziałem ograniczonym?

Rozwiązanie

1. Rozpatrzymy najpierw warunek $k + 2 = 0$ .

$k = - 2$

Wtedy mamy:

$x + 4 > 0$

$x > -4$

$x \in (-4, \infty)$

Nie otrzymaliśmy przedziału ograniczonego, czyli $k = - 2$ nie spełnia warunków zadania.

2. Jeżeli $k + 2 \neq 0 \Rightarrow k \neq - 2$ otrzymujemy wtedy nierówność kwadratową. Aby zbiorem rozwiązań był przedział ograniczony muszą zachodzić warunki:

$\{\begin{cases} 1 . a < 0 \\ 2 . ∆ > 0 \end{cases}$

1. $k + 2 < 0$

$k < - 2$

$k \in (- \infty, - 2)$

2. $∆ = 1 - 16 (k + 2) > 0$

$1 - 16 k - 32 > 0$

$- 16 k > 31$

$k < - \frac{31}{16}$

Uwzględniając koniunkcję $(1)$ i $(2)$ : $k \in (- \infty, - 2)$ .

Przykład 4

Dla jakich wartości parametru $m$ zbiór rozwiązań nierówności $x^{2} - 4 x + 3 < 0$ zawiera się w zbiorze rozwiązań nierówności $- x^{2} + (m - 3) x + 1 > 0$ ?

Rozwiązanie

Najpierw rozwiążemy nierówność $x^{2} - 4 x + 3 < 0$ .

$∆ = 16 - 4 \cdot 3 = 4$

$\sqrt{∆} = 2$

$x_{1} = \frac{4 - 2}{2} = 1$

$x_{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$

$x \in (1, 3)$

Czyli funkcja $f (x) = - x^{2} + (m - 3) x + 1$ musi przyjmować wartości dodatnie w przedziale $(1, 3)$ . Ramiona paraboli, bedącej wykresem funkcji, skierowane są do dołu i wartości funkcji mają być nieujemne na końcach przedziału $(1, 3)$ .

Czyli:

$\{\begin{cases} 1 . f (1) \geq 0 \\ 2 . f (3) \geq 0 \end{cases} \land ∆ > 0$

$∆ = (m - 3)^{2} + 4 = m^{2} - 6 m + 9 + 4 = m^{2} - 6 m + 13$

$m^{2} - 6 m + 13 > 0$

$m \in ℝ$

1. $- 1 + (m - 3) + 1 \geq 0$

$m - 3 \geq 0$

$m \geq 3$

2. $- 9 + (m - 3) \cdot 3 + 1 \geq 0$

$3 (m - 3) \geq 8$

$3 m - 9 \geq 8$

$3 m \geq 17$

$m \geq \frac{17}{3}$

Czyli z $(1)$ i $(2)$ : $m \in ⟨5 \frac{2}{3}, \infty)$

Przykład 5

Obliczymy, dla jakich wartości parametru $p$ nierówność kwadratowa $2 x^{2} + (p - 3) x + p^{2} \geq 0$ jest prawdziwa dla dowolnego $x \in ℝ$ .

Rozwiązanie

Ponieważ współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni ramiona paraboli skierowane są do góry. Aby parabola przyjmowała wartości nieujemne wyróżnik trójmianu kwadratowego $∆ \leq 0$ .

$∆ = {(p - 3)}^{2} - 4 \cdot 2 p^{2} = p^{2} - 6 p + 9 - 8 p^{2} = - 7 p^{2} - 6 p + 9$

$- 7 p^{2} - 6 p + 9 \leq 0$

$∆_{p} = 36 + 4 \cdot 7 \cdot 9 = 36 + 252 = 288 = 12 \sqrt{2}$

$p_{1} = \frac{6 - 12 \sqrt{2}}{- 14} = \frac{6 \sqrt{2} - 3}{7}$

$p_{2} = \frac{6 + 12 \sqrt{2}}{- 14} = \frac{- 3 - 6 \sqrt{2}}{7}$

$p \in (- \infty, \frac{- 3 - 6 \sqrt{2}}{7}⟩ \cup ⟨\frac{- 3 + 6 \sqrt{2}}{7}, \infty)$

Słownik

nierówność kwadratowa zupełna

nierówność, w której wszystkie współczynniki są różne od zera

Wprowadzenie

Animacja

Słownik