Przeczytaj

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wykluczających się

Rzucamy kostką do gry. Możliwe jest wyrzucenie nieparzystej liczby oczek: $1$ , $3$ lub $5$ . Można też wyrzucić parzystą liczbę oczek: $2$ , $4$ lub $6$ . Zdarzenie $A$ – wyrzucenie nieparzystej liczby oczek i zdarzenie $B$ – wyrzucenie parzystej liczby oczek nie mogą zajść jednocześnie. Część wspólna tych zdarzeń jest zdarzeniem niemożliwym.

A \cap B = \emptyset

Zdarzenia te są zdarzeniami rozłącznymi (wykluczającymi się).

W przypadku większej liczby zdarzeń o takich zdarzeniach mówimy, że są parami rozłącznymi lub parami wykluczającymi się.

Informacja o tym, że dane zdarzenia są rozłączne jest bardzo ważna w przypadku określania prawdopodobieństwa sumy tych zdarzeń.

Prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń rozłącznych

Twierdzenie: Prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń rozłącznych

Niech $Ω$ będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a $P$ niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach $A \subset Ω$ i $B \subset Ω$ , wówczas

jeśli zdarzenia $A$ i $B$ wykluczają się, czyli $A \cap B = \emptyset$ , to:

P (A \cup B) = P (A) + P (B)

R1G4rnJiaawCr

Ilustracja przedstawia prostokąt opisany literą omega. W prostokącie narysowano dwa równej wielkości koła: niebieskie koło A oraz różowe koło B. Koła są rozłączne.

Przykład 1

Adam ma do wyboru $2$ krawaty w kratkę, $3$ w paski i $4$ w kwiatki. Wybiera krawat w sposób losowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybierze krawat w kratkę lub w kwiatki?

Zdarzenia:
$K$ – Adam wybierze krawat w kratkę,
$A$ – Adam wybierze krawat w kwiatki
są rozłączne. Możemy więc zastosować wzór sformułowany w powyższym twierdzeniu.

$P (K \cup A) = P (K) + P (A)$

$P (K \cup A) = \frac{2}{9} + \frac{4}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że Adam wybierze krawat w kratkę lub w kwiatki jest równe $\frac{2}{3}$ .

Przykład 2

Niech $A \subset Ω$ i $B \subset Ω$ i $P (A \cap B') = 0, 8$ .

Wykażemy, że $P (A^{'} \cap B) \leq 0, 2$ .

Rozwiązanie:

Wiadomo, że $A \cap B^{'} = A ∖ B$ oraz $A^{'} \cap B = B ∖ A$ .

Zdarzenia te są rozłączne, zatem ze wzoru na sumę zdarzeń rozłącznych otrzymujemy:

$P (A \cap B^{'}) + P (A^{'} \cap B) \leq P (Ω) = 1$

Czyli:

$P (A^{'} \cap B) \leq 1 - P (A \cap B^{'}) = 1 - 0, 8 = 0, 2$

C.d.n

Podane powyżej twierdzenie o prawdopodobieństwie sumy dwóch zdarzeńprawdopodobieństwie sumy dwóch zdarzeń jest prawdziwe również dla większej liczby zdarzeń. Poniżej wersja twierdzenia dla trzech zdarzeń.

Prawdopodobieństwo sumy trzech zdarzeń rozłącznych

Twierdzenie: Prawdopodobieństwo sumy trzech zdarzeń rozłącznych

Niech $Ω$ będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a $P$ niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach $A \subset Ω$ i $B \subset Ω$ , $C \subset Ω$ , wówczas

jeśli zdarzenia $A$ , $B$ , $C$ wykluczają się wzajemnie, czyli $A \cap B = \emptyset$ , $A \cap C = \emptyset$ , $B \cap C = \emptyset$ , $A \cap B \cap C = \emptyset$ , to:

P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C)

RHs77NxHPkEgG

Ilustracja przedstawia prostokąt opisany literą omega. W prostokącie narysowano 3 równej wielkości koła: niebieskie koło A, różowe koło B oraz zielone koło C. Koła są rozłączne.

Przykład 3

W koszu znajduje się $25$ losów na loterię. Wśród nich $10$ to losy przegrywające, a $15$ wygrywające.

Ewa wyciąga kolejno trzy losy. Obliczymy prawdopodobieństwo, że wyciągnęła dwa losy wygrywające $(W)$ i jeden przegrywający $(K)$ .

Rozwiązanie:

Pierwszy los wyciąga Ewa spośród $25$ losów, drugi spośród $24$ , a trzeci spośród $23$ .

Zatem $|Ω| = 25 \cdot 24 \cdot 23$ .

Oznaczmy:
$A$ – wyciągnięcie dwóch losów wygrywających i jednego przegrywającego.

Zdarzeniu $A$ sprzyjają następujące zdarzenia:

$(W_{1}, W_{2}, K)$ , $(W_{1}, K, W_{2})$ , $(K, W_{1}, W_{2})$ .

Zauważmy, że zdarzenia $W_{1} \cap W_{2} \cap K$ , $W_{1} \cap K \cap W_{2}$ , $K \cap W_{1} \cap W_{2}$ wzajemnie się wykluczają.

Prawdopodobieństwo ich sumy równe jest sumie ich prawdopodobieństw.

$P (A) = P ((W_{1} \cap W_{2} \cap K) \cup (W_{1} \cap K \cap W_{2}) \cup (K \cap W_{1} \cap W_{2}))$

$P (A) = P (W_{1} \cap W_{2} \cap K) + P (W_{1} \cap K \cap W_{2}) + P (K \cap W_{1} \cap W_{2})$

$P (A) = \frac{15 \cdot 14 \cdot 10 + 15 \cdot 10 \cdot 14 + 10 \cdot 15 \cdot 14}{25 \cdot 24 \cdot 23} = \frac{21}{46}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo wyciągnięcia przez Ewę dwóch losów wygrywających i jednego przegrywającego jest równe $\frac{21}{46}$ .

Twierdzenie o prawdopodobieństwie sumy zdarzeń, sformułujemy teraz w wersji ogólnej, dla $n$ zdarzeń, gdzie $n \geq 2$ i $n \in ℕ$ .

Prawdopodobieństwo sumy

n

zdarzeń rozłącznych

Twierdzenie: Prawdopodobieństwo sumy

n

zdarzeń rozłącznych

Niech $Ω$ będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych i $A_{1} \in Ω$ , $A_{2} \in Ω$ , $\dots$ , $A_{n} \in Ω$ .

Jeżeli zdarzenia $A_{1}$ , $A_{2}$ , $\dots$ , $A_{n}$ wzajemnie się wykluczają, to:

P (A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup \dots A_{n}) = P (A_{1}) + P (A_{2}) + \dots + P (A_{n})

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

Poprzednie przykłady dotyczyły jedynie obliczania sumy zdarzeń wykluczających się. Teraz podamy twierdzenie uogólnione, w którym nie jest wymagane, aby dane zdarzenia były rozłączne.

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

Twierdzenie: Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

Niech $Ω$ będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a $P$ niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach $A \subset Ω$ i $B \subset Ω$ , wówczas

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

R5BZGb1QYr1JG

Dowód

Załóżmy, że $A \subset Ω$ i $B \subset Ω$ .

Zachodzi wtedy równość:

$A \cup B = A \cup (B ∖ A)$

Zdarzenia $A$ i $B ∖ A$ wykluczają się, zatem:

$P (A \cup B) = P (A) + P (B ∖ A)$ .

Prawdziwa jest również równość

$B = (A \cap B) \cup (B ∖ A)$

Zdarzenia $A \cap B$ oraz $B ∖ A$ wykluczają się, więc

$P (B) = P (A \cap B) + P (B ∖ A)$

Otrzymane równości odejmujemy stronami.

$\begin{array}{ll} P (A \cup B) = P (A) + P (B ∖ A) \\ - & \underline{P (B) = P (A \cap B) + P (B ∖ A)} \\ P (A \cup B) - P (B) = P (A) + P (B ∖ A) - P (A \cap B) - P (B ∖ A) \end{array}$

Redukujemy wyrazy podobne.

$P (A \cup B) - P (B) = P (A) - P (A \cap B)$

Przenosimy na prawą stronę wyrażenie $P (B)$ .

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

C.d.n

Przykład 4

Pewien maturzysta może uzyskać z egzaminu maturalnego z matematyki co najmniej $40$ punktów z prawdopodobieństwem $0, 6$ .

Natomiast co najwyżej $40$ punktów z prawdopodobieństwem $0, 8$ .

Oblicz prawdopodobieństwo, że uzyska $40$ punktów.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na uzyskaniu przez maturzystę co najmniej $40$ punktów,
$B$ – zdarzenie polegające na uzyskaniu przez maturzystę co najwyżej $40$ punktów.

Zauważmy, że :

$P (A) = 0, 6$

$P (B) = 0, 8$

$A \cup B = Ω \Rightarrow P (A \cup B) = 1$

Uzyskane liczby wstawiamy do wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeńprawdopodobieństwo sumy zdarzeńprawdopodobieństwo sumy zdarzeń.

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

$1 = 0, 6 + 0, 8 - P (A \cap B)$

Wyznaczamy $P (A \cap B)$ .

$1 = 1, 4 - P (A \cap B)$

$P (A \cap B) = 0, 4$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że maturzysta uzyska $40$ punktów jest równe $0, 4$ .

Przykład 5

Niech $A$ i $B$ będą zdarzeniami tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych takimi, że $P (A) = \frac{1}{4}$ , $P (A \cup B) = \frac{5}{8}$ , $P (A \cap B) = \frac{1}{6}$ . Obliczymy $P (B ∖ A)$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ $P (B ∖ A) = P (B) - P (A \cap B)$ , więc do wyznaczenia prawdopodobieństwa $P (B ∖ A)$ , będzie potrzebna znajomość liczby $P (B)$ .

Do wyznaczenia tego prawdopodobieństwa, skorzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń.

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

$\frac{5}{8} = \frac{1}{4} + P (B) - \frac{1}{6}$

$P (B) = \frac{13}{24}$

Zatem

$P (B ∖ A) = \frac{13}{24} - \frac{1}{6} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$

Odpowiedź:

Liczba $P (B ∖ A)$ jest równa $\frac{3}{8}$ .

Twierdzenie o sumie zdarzeń, które się nie wykluczają, można uogólnić. Poniżej wersja dla trzech zdarzeń.

Prawdopodobieństwo sumy trzech zdarzeń

Twierdzenie: Prawdopodobieństwo sumy trzech zdarzeń

Niech $Ω$ będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a $P$ niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach $A \subset Ω$ i $B \subset Ω$ , $C \subset Ω$ , wówczas:

$P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (A \cap B) - P (A \cap C) +$

$- P (B \cap C) + P (A \cap B \cap C)$

Słownik

prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń rozłącznych

niech $Ω$ będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a $P$ niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach $A \subset Ω$ i $B \subset Ω$ , wówczas
jeśli zdarzenia $A$ i $B$ wykluczają się, czyli $A \cap B = \emptyset$ , to:

P (A \cup B) = P (A) + P (B)

prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

niech $Ω$ będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a $P$ niech będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach $A \subset Ω$ i $B \subset Ω$ , wówczas

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

Wprowadzenie

Animacja

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wykluczających się

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

Słownik