Ciąg $\left(a_n\right)$ określony jest wzorem ogólnym $a_n=n·2^{n-1}$. Obliczymy wyrazy $a_1$, $a_{10}$, $a_{n+1}$.

Do wzoru ciągu w miejsce $n$ podstawiamy kolejno: $1$, $10$, $n+1$.

$a_1=1·2^{1-1}=1$

$a_{10}=10·2^{10-1}=10·2^9=10·512=5120$

$a_{n+1}=\left(n+1\right)·2^{n+1-1}=n·2^n+2^n$

Wyznaczmy te wyrazy ciągu $\left(b_n\right)$ określonego wzorem ogólnym $b_n=n^2\left(n-11\right)+36\left(n-1\right)$, które są równe $0$.

Przekształcamy wzór ogólny ciągu, wykonując wskazane działania.

$b_n=n^2\left(n-11\right)+36\left(n-1\right)$

$b_n=n^3-11n^2+36n-36$

Chcemy rozłożyć na czynniki wyrażenie po prawej stronie znaku równości. Zapisujemy więc prawą stronę równości tak, aby można było pogrupować odpowiednio wyrazy i wyłączyć wspólny czynnik przed nawias.

$b_n=n^3-9n^2-2n^2+18n+18n-36$

$b_n=\left(n^3-2n^2\right)-\left(9n^2-18n\right)+\left(18n-36\right)$

$b_n=n^2\left(n-2\right)-9n\left(n-2\right)+18\left(n-2\right)$

$b_n=\left(n-2\right)\left(n^2-9n+18\right)$

Pozostaje jeszcze rozłożyć na czynniki wyrażenie w nawiasie.

$b_n=\left(n-2\right)\left(n^2-6n-3n+18\right)$

$b_n=\left(n-2\right)\left[n\left(n-6\right)-3\left(n-6\right)\right]$

$b_n=\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n-6\right)$

Szukamy wyrazów ciągu, które są równe $0$.

$0=\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n-6\right)$

$n-2=0\Rightarrow n=2$

$n-3=0\Rightarrow n=3$

$n-6=0\Rightarrow n=6$

Wszystkie otrzymane liczby są naturalne, zatem równe $0$ są wyrazy $b_2$, $b_3$, $b_6$.

Określimy, ile wyrazów ciągu $\left(a_n\right)$ określonego wzorem ogólnym $a_n=\frac{5n-10}{n}$ to liczby całkowite.

Przekształcamy wzór ciągu tak, aby wyrażenie po prawej stronie zapisać w postaci sumy liczby całkowitej i ułamka algebraicznego.

$a_n=\frac{5n-10}{n}=\frac{5n}{n}-\frac{10}{n}$

$a_n=5-\frac{10}{n}$

Aby wyrażenie $5-\frac{10}{n}$ przyjmowało wartości całkowite, liczba $n$ musi być dzielnikiem liczby $10$.

Zatem $n\in \left\{1, 2, 5, 10\right\}$. Cztery wyrazy ciągu to liczby całkowite.

Znajdziemy najmniejszy wyraz ciągu $\left(b_n\right)$ określonego wzorem ogólnym $b_n=n^2-17n-29$.

Wykres ciągu $\left(b_n\right)$ składa się z punktów leżących na paraboli, będącej wykresem funkcji $f\left(x\right)=x^2-17x-29$. Ramiona paraboli skierowane są ku górze, więc najmniejsza wartość funkcji $f$ znajduje się w wierzchołku paraboli.

Znajdujemy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.

$x_w=\frac{17}{2}=8,5$

Interesujące nas argumenty muszą być liczbami całkowitymi. Zatem $x=8$ lub $x=9$.

Czyli $n=8$ lub $n=9$. Obliczamy i porównujemy wartości wyrazów $b_8$ i $b_9$.

$b_8=8^2-17·8-29=64-136-29=-101$

$b_9=9^2-17·9-29=81-153-29=-101$

$b_8=b_9$

Dwa najmniejsze wyrazy ciągu to $b_8$ i $b_9$.

Kolejne początkowe wyrazy ciągu $\left(a_n\right)$ to: $\frac{1}{2}$, $\frac{4}{3}$, $\frac{9}{4}$, $\frac{16}{5}$, $\frac{25}{6}$, $...$ Wykażemy, że liczba $a_9+a_{99}$ jest większa od $100$.

Znajdziemy najpierw wyraz ogólny ciągu.

Zauważmy, że liczniki ułamków to kwadraty kolejnych liczb naturalnych dodatnich. Mianowniki to kolejne liczby naturalne, począwszy od $2$. Zatem:

$a_1=\frac{1^2}{1+1}$

$a_2=\frac{2^2}{2+1}$

$a_3=\frac{3^2}{3+1}$

$a_4=\frac{4^2}{4+1}$

$...$

$...$

$a_n=\frac{n^2}{n+1}$

Obliczamy sumę $a_9+a_{99}$.

$a_9+a_{99}=\frac{9^2}{9+1}+\frac{{99}^2}{99+1}=\frac{81}{10}+\frac{9801}{100}$

$a_9+a_{99}=\frac{10611}{100}=106,11>100$

Sumą $n$ początkowych wyrazów ciągu $\left(a_n\right)$ nazywamy wyrażenie

gdzie $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$.

Obliczymy wyrazy $a_1$ i $a_6$ ciągu $\left(a_n\right)$, w którym sumasuma ciągusuma $n$ początkowych wyrazów określona jest wzorem

$S_n=\left(n+1\right)\left(n-2\right)$

Obliczamy pierwszy wyraz ciągu.

$a_1=S_1=2·\left(-1\right)=-2$

Zauważmy, że

$a_n=S_n-S_{n-1}$

Obliczamy szósty wyraz ciągu.

$a_6=S_6-S_5$

$a_6=7·4-6·3=28-18=10$

sumą $n$ początkowych wyrazów ciągu $\left(a_n\right)$ nazywamy wyrażenie

gdzie $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$