Przykład pierwszy. Znajdziemy wzór ogólny ciągu $\left(a_n\right)$ takiego, że $a_{n+1}-a_n=\frac{4}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}$ oraz $a_{n+1}+a_n=\frac{2\left(n^2+n-4\right)}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}$. Dodajemy stronami zapisane równości. $a_{n+1}-a_n+a_{n+1}+a_n=\frac{4}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}+\frac{2\left(n^2+n-4\right)}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}$. Po dodaniu otrzymujemy następującą równość: $2a_{n+1}=\frac{2\left(n^2+n-4\right)+4}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}$. Następnie wyznaczamy $a_{n+1}$, dzieląc obie strony na dwa. Otrzymujemy: $a_{n+1}=\frac{n^2+n-2}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}$. Rozkładamy na czynniki licznik zapisanego ułamka. $a_{n+1}=\frac{\left(n+2\right)\left(n-1\right)}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}$ Skracamy ułamek. $a_{n+1}=\frac{n-1}{n+3}$ Wyznaczamy wyraz ogólny ciągu. W miejsce n podstawiamy n minus jeden. $a_{n-1+1}=\frac{n-1-1}{n-1+3}$ Upraszczamy postać ułamka, otrzymując $a_n=\frac{n-2}{n+2}$.

Przykład drugi. Ustalimy, ile wyrazów ciągu $\left(a_n\right)$ określonego wzorem ogólnym $a_n=\frac{n-2}{n+2}$ to liczby całkowite. Rozwiązanie. Przekształcamy wzór ciągu w następujący sposób $a_n=\frac{n-2}{n+2}=1-\frac{4}{n+2}$. Tylko dla liczby naturalnej n równej dwa wartość wyrażenia 4 przez n plus dwa jest liczbą całkowitą. $a_2=1-\frac{4}{2+2}=0$ Tylko jeden wyraz ciągu wyraża się liczbą całkowitą. Jest to wyraz $a_2=0$.

Przykład trzeci. Sprawdzimy, czy liczba $\frac{12}{13}$ jest wyrazem ciągu $\left(a_n\right)$ określonego wyrazem ogólnym $a_n=\frac{n-2}{n+2}$. W miejsce $a_n$ podstawiamy $\frac{12}{13}$. Mamy więc: $\frac{12}{13}=\frac{n-2}{n+2}$. Wyznaczamy n. Najpierw wymnażamy na krzyż. $13\left(n-2\right)=12\left(n+2\right)$ Wymnażamy nawiasy. $13n-26=12n+24$ Redukujemy wyrazy podobne, otrzymując rozwiązanie. $n=50$ Wyznaczona liczba 50 jest liczbą naturalną dodatnią, zatem liczba $\frac{12}{13}$ jest pięćdziesiątym wyrazem ciągu: $a_{50}=\frac{12}{13}$.