Przeczytaj

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Twierdzenie: Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to ten trójkąt jest prostokątny.

Dowód

Zakładamy, że długości boków trójkąta wynoszą $a$ , $b$ , $c$ oraz $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Dla uproszczenia rozważań zakładamy, że $a \geq b$ .

Niech $α$ będzie kątem między bokami $a$ , $b$ . Pokażemy, że $α$ nie może być ani kątem ostrym ani kątem rozwartym, więc musi być kątem prostym.

1. Przypuśćmy, że $α$ jest kątem ostrym.

RW6lsuMyhxddE

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC. Zaznaczono kąt alfa między ramieniem AC, a podstawą CB. Z wierzchołka A, opuszczono wysokość h, do podstawy BC, której spodek leży w punkcie D. Wysokość dzieli podstawę na dwa odcinki, oraz dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Trójkąt pierwszy o bokach x, h i b. Trójkąt drugi o bokach a-x, h i c.

Wysokość $h$ jest prostopadła do $B C$ , więc dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy $h^{2} = b^{2} - x^{2}$ , $h^{2} = c^{2} - {(a - x)}^{2}$ .

Stąd $b^{2} - x^{2} = c^{2} - {(a - x)}^{2} = c^{2} - a^{2} + 2 a x - x^{2}$ .

Zatem $a^{2} + b^{2} = c^{2} + 2 a x$ , ale $2 a x > 0$ , więc nie jest spełniona równość $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . To pokazuje, że $α$ nie może być kątem ostrym.

2. Przypuśćmy, że $α$ jest kątem rozwartym. Wtedy mamy sytuację jak na rysunku.

Ra8Czhl972IGu

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABE, z kątem prostym przy wierzchołku E. Długość przyprostokątnej EB wynosi x+a, długość przyprostokątnej AE wynosi h, natomiast długość przeciwprostokątnej wynosi c. Na podstawie EB, zaznaczono punkt C, oddalony o odległość x od wierzchołka E, oraz o odległość a od wierzchołka B. Punkt C połączono z wierzchołkiem A. ∠BCA wynosi alfa.

Wykonujemy przeliczenia analogiczne do przedstawionych wyżej: $h^{2} = b^{2} - x^{2}$ , $h^{2} = c^{2} - {(a + x)}^{2}$ .

Stąd $b^{2} - x^{2} = c^{2} - {(a + x)}^{2} = c^{2} - a^{2} - 2 a x - x^{2}$ .

Zatem $a^{2} + b^{2} = c^{2} - 2 a x$ , ale $2 a x > 0$ , więc nie jest spełniona równość $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . To pokazuje, że $α$ nie może być kątem rozwartym.

Ostatecznie, $α$ nie jest kątem ostrym ani kątem rozwartym, więc musi być kątem prostym.

Możemy udowodnić to twierdzenie, wykorzystując przystawanie trójkątów.

Dowód

Zakładamy, że długości boków trójkąta $A B C$ wynoszą $a$ , $b$ , $c$ oraz $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Wtedy $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Konstruujemy drugi trójkąt $K L M$ o bokach $a$ , $b$ i kącie prostym między tymi bokami. Powstał w ten sposób trójkąt prostokątny o bokach $a$ , $b$ , więc jego przeciwprostokątna na mocy twierdzenia Pitagorasa ma długość $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ . Zatem trójkąty $A B C$ i $K L M$ mają równe boki, więc na mocy cechy przystawania bok‑bok‑bok są przystające. Stąd odpowiednie kąty w tych trójkątach mają równe miary i stąd trójkąt $A B C$ jest trójkątem prostokątnym.

Przykład 1

Trójkątem egipskimtrójkąt egipskiTrójkątem egipskim nazywa się trójkąt o stosunku boków $3 : 4 : 5$ .

Pokażemy, że trójkąt egipski jest prostokątny.

Rozwiązanie

Boki trójkąta egipskiego, to $3 a$ , $4 a$ , $5 a$ dla pewnej dodatniej liczby $a$ .

Wtedy ${(3 a)}^{2} + {(4 a)}^{2} = 9 a^{2} + 16 a^{2} = 25 a^{2} = {(5 a)}^{2}$ .

Na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa jest to trójkąt prostokątny.

Przykład 2

Trójkątem indyjskim nazywa się trójkąt o stosunku boków $13 : 14 : 15$ .

Pokażemy, z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa, że trójkąt indyjski nie jest prostokątny oraz wykorzystując twierdzenie Pitagorasa rozważymy, jak powinny zmienić się długości boków, żeby dostać trójkąt prostokątny.

Rozwiązanie

Oznaczamy długości boków trójkąta indyjskiego: $13 a$ , $14 a$ , $15 a$ dla pewnej dodatniej liczby $a$ .

Wtedy ${(13 a)}^{2} + {(14 a)}^{2} = 169 a^{2} + 196 a^{2} = 365 a^{2}$ . Natomiast ${(15 a)}^{2} = 225 a^{2}$ . Ponieważ nie zachodzi równość Pitagorasa, to trójkąt nie jest prostokątny.

Rozpatrzmy teraz, jakim stosunkiem powinny wyrażać się boki, by trójkąt był prostokątny.

Obliczymy długość przeciwprostokątnej, gdy przyprostokątne mają długości $13 a$ i $14 a$ .

Wtedy $c^{2} = {(13 a)}^{2} + {(14 a)}^{2} = 365 a^{2}$ , więc $c = \sqrt{365} a$ .

Obliczymy długość przyprostokątnej, gdy pozostałe boki mają długości $14 a$ i $15 a$ .

Wtedy $b^{2} = {(15 a)}^{2} - {(14 a)}^{2} = (15 a - 14 a) (15 a + 14 a) = 29 a^{2}$ , więc $b = \sqrt{29} a$ .

Przykład 3

Dane są dwa boki trójkąta długości $\sqrt{2}$ i $\sqrt{3}$ . Wyznaczymy długość trzeciego boku tak, żeby trójkąt był prostokątny.

Rozwiązanie

Rozważymy dwa przypadki, gdy

nieznany bok $x$ ma długość większą od $\sqrt{3}$ . Wtedy $x^{2} = {\sqrt{2}}^{2} + {\sqrt{3}}^{2} = 5$ . Stąd $x = \sqrt{5}$ ;

nieznany bok $x$ ma długość mniejszą od $\sqrt{3}$ . Wtedy $x^{2} = {\sqrt{3}}^{2} - {\sqrt{2}}^{2} = 1$ . Stąd $x = 1$ .

Przykład 4

Dany jest równoległobok, którego bok $a$ ma długość $30$ a przekątna ma długość $52$ . Wyznaczymy długość boku $b$ tak, żeby ten równoległobok był prostokątem.

Rozwiązanie

Z odwrotnego twierdzenia Pitagorasa musi zachodzić $b^{2} = 52^{2} - 30^{2} = 1804$ .

Stąd $b = 2 \sqrt{451}$ .

Trójkąty prostokątne, których boki tworzą ciąg arytmetyczny lub geometryczny

Liczbę $ϕ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ nazywamy „złotą liczbą”. Trójkąty o stosunku boków $1 : \sqrt{ϕ} : ϕ$ , gdzie $ϕ$ jest „złotą liczbą” nazywamy „trójkątem Keplera”. Długości jego boków tworzą ciąg geometryczny.

Pokażemy, że trójkąt Keplera jest trójkątem prostokątnym.

Oznaczamy długości boków trójkąta Keplera: $a$ ; $a \sqrt{ϕ} = a \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$ ; $a ϕ = a \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

Zauważmy, że:

$a^{2} + {(a \sqrt{ϕ})}^{2} = a^{2} + a^{2} \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = a^{2} \cdot \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

oraz:

${(a ϕ)}^{2} = a^{2} \cdot {(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2} = a^{2} \cdot \frac{1 + 2 \sqrt{5} + 5}{4} = a^{2} \cdot \frac{6 + 2 \sqrt{5}}{4} = a^{2} \cdot \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ .

Zatem: $a^{2} + {(a \sqrt{ϕ})}^{2} = {(a ϕ)}^{2}$ , co oznacza, że trójkąt Keplera jest trójkątem prostokątnym.

Wyznaczymy teraz, wykorzystując twierdzenie Pitagorasa, wszystkie trójkąty prostokątne, których długości boków tworzą ciąg arytmetyczny.

Jeśli długości boków tworzą ciąg arytmetyczny, to możemy zapisać je w postaci $a$ , $a + r$ , $a + 2 r$ , gdzie $a, r > 0$ .

Wtedy

$a^{2} + {(a + r)}^{2} = {(a + 2 r)}^{2}$

$a^{2} + a^{2} + 2 a r + r^{2} = a^{2} + 4 a r + 4 r^{2}$

$a^{2} - 2 a r + r^{2} - 4 r^{2} = 0$

${(a - r)}^{2} - 4 r^{2} = 0$

$(a - r - 2 r) (a - r + 2 r) = 0$ .

Stąd $a = (- r)$ , ale ten przypadek wykluczamy, bo nie spełnia założenia $a, r > 0$ lub $a = 3 r$ .

Zatem dla dowolnego $r > 0$ wyznaczamy długości boków $3 r$ , $4 r$ , $5 r$ .

Powstałe trójkąty są podobne do trójkąta egipskiego o bokach $3, 4, 5$ .

Trójki pitagorejskie

Trójką pitagorejskątrójka pitagorejskaTrójką pitagorejską nazywamy trzy liczby całkowite dodatnie $a$ , $b$ , $c$ takie, że $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

Zazwyczaj trójki pitagorejskie zapisujemy w postaci ( $a$ , $b$ , $c$ ) gdzie $a, b < c$ .

Z odwrotnego twierdzenia Pitagorasa wynika, że trójkąt, którego boki tworzą trójkę pitagorejską jest prostokątny oraz $c$ jest przeciwprostokątną, $a$ i $b$ są przyprostokątnymi tego trójkąta. Taki trójkąt nazywany jest trójkątem pitagorejskimtrójkąt pitagorejskitrójkątem pitagorejskim. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że każdy trójkąt prostokątny o bokach całkowitych jest trójkątem pitagorejskim.

Trójkąt egipski jest trójkątem pitagorejskim, a trójkąt indyjski nie jest trójkątem pitagorejskim.

Własność trójek pitagorejskich

Własność: Własność trójek pitagorejskich

Jeżeli ( $a$ , $b$ , $c$ ) jest trójką pitagorejską, to dla dowolnej całkowitej dodatniej liczby $k$ , trójka ( $k a$ , $k b$ , $k c$ ) jest trójką pitagorejską. Trójkąt o bokach $k a$ , $k b$ , $k c$ jest podobny do trójkąta o bokach $a$ , $b$ , $c$ w skali $k$ .

Dowód

Jeżeli ( $a$ , $b$ , $c$ ) jest trójką pitagorejską, to $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

Weźmy dowolną całkowitą liczbę dodatnią $k$ , wtedy $k a$ , $k b$ , $k c$ są dodatnimi liczbami całkowitymi.

Wtedy ${(k a)}^{2} + {(k b)}^{2} = k^{2} a^{2} + k^{2} b^{2} = k^{2} (a^{2} + b^{2}) = k^{2} c^{2} = {(k c)}^{2}$ . Zatem ( $k a$ , $k b$ , $k c$ ) jest trójką pitagorejską.

Ponieważ stosunek odpowiednich boków trójkąta o bokach $k a$ , $k b$ , $k c$ do boków trójkąta bokach $a$ , $b$ , $c$ wynosi $k$ , to trójkąt o bokach $k a$ , $k b$ , $k c$ jest podobny do trójkąta o bokach $a$ , $b$ , $c$ w skali $k$ .

Z powyższego dowodu wynika, że jeżeli ( $a$ , $b$ , $c$ ) jest trójką pitagorejską i $k$ jest dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią, to trójkąt o bokach $k a$ , $k b$ , $k c$ jest prostokątny, podobny do trójkąta pitagorejskiego, ale sam nie musi być pitagorejski.

Przykład 5

Pokażemy, że prostokątny trójkąt równoramienny nie jest trójkątem pitagorejskim.

Rozwiązanie

Rzeczywiście, $c^{2} = a^{2} + a^{2} = 2 a^{2}$ . Wtedy $c = a \sqrt{2}$ , więc $c$ nie jest liczbą wymierną i stąd nie jest liczbą całkowitą.

Sposób wyznaczania trójek pitagorejskich

Bierzemy dwie całkowite nieparzyste liczby dodatnie $m$ i $n$ takie, że $m > n$ .

Wyznaczamy trójkę pitagorejską ( $a$ , $b$ , $c$ ) stosując wzory:
$a = m n$ , $b = \frac{m^{2} - n^{2}}{2}$ , $c = \frac{m^{2} + n^{2}}{2}$ .

Sprawdzimy, że wyznaczone wyżej liczby $a$ , $b$ , $c$ tworzą trójkę pitagorejską.

Po pierwsze $a$ jest liczbą całkowitą dodatnią jako iloczyn dwóch liczb całkowitych dodatnich. Również $b$ i $c$ są całkowite, bo $m$ i $n$ są nieparzyste, więc ich kwadraty też są nieparzyste. Natomiast różnica i suma liczb nieparzystych są parzyste, więc są podzielne przez dwa. Ponadto, założenie, że $m > n$ gwarantuje nam, że $b$ jest liczbą dodatnią.

Zauważmy, że:

$a^{2} + b^{2} = {(m n)}^{2} + {(\frac{m^{2} - n^{2}}{2})}^{2} = \frac{4 m^{2} n^{2} + m^{4} - 2 m^{2} n^{2} + n^{4}}{4} =$

$= \frac{m^{4} + 2 m^{2} n^{2} + n^{4}}{4} = {(\frac{m^{2} + n^{2}}{2})}^{2} = c^{2}$

co oznacza, że liczby: $a = m n$ , $b = \frac{m^{2} - n^{2}}{2}$ , $c = \frac{m^{2} + n^{2}}{2}$ tworzą trójkę pitagorejską.

Przykład 6

Wyznaczymy trójkę pitagorejską mając podane wartości dwóch liczb całkowitych dodatnich $m = 25$ i $n = 21$ .

Rozwiązanie

$a = m \cdot n = 25 \cdot 21 = 525$

$b = \frac{m^{2} - n^{2}}{2} = \frac{25^{2} - 21^{2}}{2} = \frac{625 - 441}{2} = \frac{184}{2} = 92$

$c = \frac{m^{2} + n^{2}}{2} = \frac{25^{2} + 21^{2}}{2} = \frac{625 + 441}{2} = \frac{1066}{2} = 533$

Słownik

trójkąt egipski

trójkąt o stosunku boków $3 : 4 : 5$

trójka pitagorejska

trzy liczby całkowite dodatnie $a$ , $b$ , $c$ , takie, że $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

trójkąt pitagorejski

trójkąt, którego boki tworzą trójkę pitagorejską

Wprowadzenie

Schemat interaktywny

Trójkąty prostokątne, których boki tworzą ciąg arytmetyczny lub geometryczny

Trójki pitagorejskie

Sposób wyznaczania trójek pitagorejskich

Słownik