Przeczytaj

Na wybory parlamentarne czy samorządowe można patrzeć także przez pryzmat pojęcia funkcji. Jeśli na przykład z danego okręgu wyborczego mamy wyłonić czterech posłów, to po przeprowadzeniu wyborów, przeliczeniu głosów i wypisaniu w porządku alfabetycznym nazwisk czterech wybranych kandydatów, określamy funkcję $f$ ze zbioru $A = \{1, 2, 3, 4\}$ o wartościach w zbiorze kandydatów $B$ .

R2roMX2bxvFJq

Ilustracja przedstawia graf reprezentujący odwzorowanie zbioru A w zbiór B za pomocą funkcji f. Zbiory reprezentują pionowo ustawione obok siebie elipsy, a odwzorowanie symbolizują strzałki biegnące od elementów zbioru A do elementów zbioru B. Zbiór A ma nagłówek Wybrani posłowie, a jego elementy to kolejne cyfry od 1 do 4; zbiór B składa się z elementów określonych jako Kandydat, przy czym każdy kandydat ma numer od 1 do dziesięciu. Pary: 1 - Kandydat pierwszy, 2 - Kandydat czwarty, 3 - Kandydat siódmy oraz 4 - Kandydat dziesiąty.

Oczywiście o tym, jak funkcja $f$ zostanie zdefiniowana, decydują wyborcy. Ze względu jednak na fakt, że kandydaci reprezentują przede wszystkim różne partie polityczne, a nie tylko samych siebie, nie jest na ogół tak, że miejsca: $1$ , $2$ , $3$ i $4$ otrzymują kolejno czterej kandydaci z największą liczbą głosów. Proces przyznawania miejsc jest w związku z tym nieco bardziej skomplikowany. W Polsce przy rozdziale mandatów do Sejmu i sejmików wojewódzkich wielokrotnie stosowana była tzw. metoda D'Hondta.

W metodzie D'Hondta rozważamy liczbę ważnych głosów oddanych łącznie na listy kandydatów każdego z komitetów wyborczych, które przekroczyły próg wyborczy (w Polsce jest to $5 %$ – zwyczajny lub $8 %$ – dla koalicji). Następnie dzielimy je przez kolejne liczby naturalne tworząc malejący ciąg ilorazów wyborczych danego komitetu. Następnie ilorazy te porównywane są z wynikami wszystkich komitetów biorących udział w wyborach i ustawiane w kolejności od największej do najmniejszej. Mandaty przydziela się według ustalonej w ten sposób kolejności, poczynając od najwyższego wyniku do najniższego, aż do momentu, gdy liczba dostępnych miejsc zostanie wyczerpana.

Przeanalizujmy poniższy przykład, aby przyjrzeć się w praktyce działaniu opisanej wyżej metody.

Przykład 1

Przyjmijmy, że w wyborach do rady powiatu startowały cztery komitety wyborcze: $K_{1}$ (przyporządkujmy mu kolor niebieski), $K_{2}$ (czerwony), $K_{3}$ (zielony) i $K_{4}$ (pomarańczowy), które uzyskały odpowiednio $960$ , $600$ , $540$ i $420$ głosów. Każdy z komitetów osiągnął minimalny procent poparcia. Załóżmy też, że są $4$ mandaty do podziału. Aby rozstrzygnąć, które komitety otrzymają miejsca w radzie powiatu, tworzymy tabelę, w której liczba ponumerowanych wierszy jest równa – w tym przypadku – liczbie mandatów do podziału. W wierszu oznaczonym numerem $1$ wypisujemy najpierw liczby głosów przyznane komitetom.

Dzielnik	$K_{1}$	$K_{2}$	$K_{3}$	$K_{4}$
$1$	$960$	$600$	$540$	$420$
$2$
$3$
$4$

Następnie wypełniamy drugi wiersz w ten sposób, że każdą liczbę z pierwszego wiersza dzielimy przez $2$ i wynik dzielenia zapisujemy w wierszu drugim pod dzieloną liczbą. Uzyskujemy wtedy odpowiednio liczby: $480$ , $300$ , $270$ , $210$ .

W trzecim kroku dzielimy liczby z pierwszego wiersza przez $3$ i wyniki wypisujemy w wierszu trzecim: $320$ , $200$ , $180$ , $140$ .

Wreszcie dzielimy liczby z pierwszego wiersza przez $4$ i wypisujemy wyniki w wierszu czwartym. Otrzymujemy w ten sposób wyniki wyborów ujęte w zaprezentowanym zestawieniu. Wypisujemy teraz ilorazy z tej tabeli w kolejności od największej do najmniejszej, zachowując kolory.

Kolejne kolumny odpowiadające ilorazom dla poszczególnych komitetów zostały oznaczone kolorami. „Niebieski” to komitet $K_{1}$ , „czerwony” to komitet $K_{2}$ , „zielony” to komitet $K_{3}$ , zaś „pomarańczowy” komitet $K_{4}$ .

Dzielnik	$K_{1}$	$K_{2}$	$K_{3}$	$K_{4}$
$1$	$960$	$600$	$540$	$420$
$2$	$480$	$300$	$270$	$210$
$3$	$320$	$200$	$180$	$140$
$4$	$240$	$150$	$135$	$105$

Utworzony ciąg największych ilorazów długości cztery składa się kolejno z liczb : $960$ , $600$ , $540$ , $480$ .

Ponieważ wśród czterech wypisanych liczb są dwie koloru niebieskiego, więc $2$ mandaty otrzymuje „niebieski” komitet $K_{1}$ , po jednym „czerwony” komitet $K_{2}$ i „zielony” komitet $K_{3}$ . Bez mandatu pozostaje „pomarańczowy” komitet $K_{4}$ .

Rozważany wyżej przykład można uogólnić, że jeśli jest $n$ mandatów, to każdy komitet dostaje ich tyle, ile liczb w przypisanym mu kolorze znajduje się wśród $n$ największych liczb z tabeli o $n$ ponumerowanych wierszach (w $n$ -tym wierszu są wypisane liczby z pierwszego wiersza podzielone przez $n$ ). Zauważ, że nie zawsze warto tworzyć tabele rozmiarów $n \times n$ z kolejnymi ilorazami, co pokaże kolejny przykład.

Przykład 2

Jaki byłby podział mandatów dla komitetów $K_{1}$ , $K_{2}$ , $K_{3}$ i $K_{4}$ , które uzyskały odpowiednio $540$ , $300$ , $240$ i $420$ głosów, gdyby do podziału było:

$6$ mandatów,
$9$ mandatów,

wiedząc, że każdy z komitetów osiągnął minimalny próg poparcia?

Rozwiązanie

Do rozwiązania obu podpunktów wykorzystamy tabelę stworzoną dzięki metodzie D'Hondta. Składa się ona z wyników dzielenia liczby otrzymanych głosów przez każdy komitet przez odpowiednie liczby $1$ , $2$ , $3$ , $4$ .

Dzielnik	$K_{1}$	$K_{2}$	$K_{3}$	$K_{4}$
$1$	$540$	$300$	$240$	$420$
$2$	$270$	$150$	$120$	$210$
$3$	$180$	$100$	$80$	$140$
$4$	$135$	$75$	$60$	$105$

a) Stwórzmy nierosnący ciągciąg nierosnącynierosnący ciąg składający się z sześciu największych ilorazów zawartych w powyższej tabeli. Wówczas dostajemy: $540$ , $420$ , $300$ , $270$ , $240$ , $210$ . Wynika stąd, że wśród sześciu wypisanych liczb są dwie koloru niebieskiego i pomarańczowego, więc po $2$ mandaty otrzymuje „niebieski” komitet $K_{1}$ oraz „pomarańczowy” komitet $K_{4}$ . Po jednym mandacie otrzyma „czerwony” komitet $K_{2}$ i „ zielony” komitet $K_{3}$ .

b) Stwórzmy ciąg składający się z dziewięciu największych ilorazów zawartych w powyższej tabeli. Wówczas dostajemy: $540$ , $420$ , $300$ , $270$ , $240$ , $210$ , $180$ , $150$ , $140$ . Wynika stąd, że wśród dziewięciu wypisanych liczb są po trzy kolory niebieskiego i pomarańczowego, więc po $3$ mandaty otrzymuje „niebieski” komitet $K_{1}$ oraz „pomarańczowy” komitet $K_{4}$ . Dwa mandaty otrzymuje „czerwony” komitet $K_{2}$ , a jeden mandat otrzymuje „zielony” komitet $K_{3}$ .

Słownik

ciąg nierosnący

ciąg $(a_{n})$ taki, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwa jest nierówność $a_{n + 1} \leq a_{n}$

Wprowadzenie

Infografika

Słownik