Warto przeczytać

Wahadło matematycznewahadło matematyczneWahadło matematyczne to drgający na sznurku, lub sztywnym pręcie ciężarek. Rozmiar tego ciężarka jest tak mały w porównaniu z długością sznurka, a sznurek lub pręt tak lekki w porównaniu z ciężarkiem, że możemy traktować ciężarek jako masę punktową. W praktyce, jeśli sznurek ma długość 1 m i zawiesimy na nim kulkę o średnicy centymetra, będziemy mogli twierdzić, że stworzyliśmy wahadło matematycznewahadło matematycznewahadło matematyczne. Wahadłem matematycznymwahadło matematyczneWahadłem matematycznym natomiast nie będzie duża bombka choinkowa wisząca na nitce o długości 1 cm.

Okres drgańokres drgańOkres drgań wahadła matematycznegowahadło matematycznewahadła matematycznego obliczamy ze wzoru:

gdzie $l$ jest długością wahadła, zaś $g$ jest przyspieszeniem grawitacyjnym. Z kolei amplituda drgań wahadła zależy od wychylenia początkowego i prędkości początkowej. Im bardziej odchylimy wahadło od pionu na samym początku i im mocniej je pchniemy, tym większą amplitudę ono osiągnie. Widać natomiast, że ani wychylenie początkowe, ani prędkość początkowa, ani amplituda drgań nie pojawiają się w podanym wzorze na okres. Zatem, gdybyśmy uznali ten wzór za prawdziwy, okres drgańokres drgańokres drgań wahadła matematycznegowahadło matematycznewahadła matematycznego nie zależałby od amplitudy drgań.

Przyroda jest jednak trochę bardziej skomplikowana. Okazuje się, że powyższy wzór jest jedynie przybliżeniem. Daje od wartości tym lepsze, im amplituda drgań wahadła jest dużo mniejsza niż jego długość. Takie drgania nazywamy małymi drganiami i tylko dla takich drgań okres wahadła praktycznie nie zależy od amplitudy. To oznacza, że jeśli odchylimy wahadło o 5Indeks górny o^o od pionu i puścimy bez prędkości początkowej, to jego okres będzie praktycznie taki sam, jak przy 10Indeks górny o^o. Gdy jednak wychylenie początkowe będzie wynosiło 45Indeks górny o^o, 90Indeks górny o^o lub 120Indeks górny o^o , dla każdej z tych wartości kąta, okres drgań wahadła będzie inny. Spróbujmy zrozumieć, dlaczego tak się dzieje.

RF5rePVw7TMZr

Rys. 1. Rysunek przedstawia wahadło matematyczne w postaci niebieskiej kulki zawieszonej na nieważkiej i nierozciągliwej nitce. Wahadło zawieszone jest na elemencie pokazanym jako szary poziomy prostokąt. Zawieszona na nitce o długości mała litera l kulka porusza się po łuku poniżej punktu zaczepienia narysowanym czarną linią. Od punktu zaczepienia wahadła biegnie pionowo w dół czarna, przerywana linia. Punkt przecięcia tej linii z łukiem, po którym porusza się wahadło opisano cyfrą zero. Jest to położenie równowagi wahadła. Nitka, na której zawieszono ciało jest odchylona od kierunku pionowego w lewo o kąt mała grecka litera alfa. Po prawej stronie od wahadła widoczna jest czarna strzałka, skierowana pionowo w dół i opisana jako wektor przyspieszenia grawitacyjnego mała litera g. Odległość liczona wzdłuż łuku, na której znajduje się ciało opisano małą literą x. Do środka ciała przyłożone są cztery wektory narysowane w postaci czerwonych strzałek. Jedna siła skierowana jest pionowo w dół i jest to siła grawitacji wielka litera F, która jest równa iloczynowi masy mała litera m i przyspieszenia grawitacyjnego mała litera g. Składowe tej siły oznaczono jako siła wielka litera F z indeksem dolnym jeden, gdzie siła ta skierowana jest wzdłuż nitki na której zawieszono ciało oraz wielka litera F z indeksem dolnym dwa, gdzie ta składowa skierowana jest w prawo i w dół i jest styczna do łuku, po którym porusza się ciało. Kąt pomiędzy siła grawitacji i jej składową pierwszą oznaczono małą grecką literą alfa. Kąt pomiędzy wektorem siły grawitacji i linią łączącą koniec tego wektora z końcem wektora siły stycznej wielka litera F z indeksem dolnym dwa, również opisano małą grecką literą alfa. Czwartą siłą przyłożoną do środka ciała jest siła naciągu nici wielka litera N. Siła ta jest skierowana wzdłuż nici do punktu jej zaczepienia. Długość wektora siły naciągu nici i wektora pierwszej składowej siły grawitacji są sobie równe. Siła naciągu nici dla ruchu ciała po fragmencie okręgu odgrywa rolę siły dośrodkowej.

Rozważmy wahadło matematycznewahadło matematycznewahadło matematyczne o długości $l$, które w pewnym momencie jest wychylone o kąt $\alpha$ od pionu, jak na rysunku powyżej (Rys. 1.). Ciężarek o masie $m$ porusza się po łuku, który na powyższym rysunku został oznaczony czarną linią, mającą kształt łuku. Położenie ciężarka $x$ liczymy wzdłuż tego łuku. Przyjmijmy, że $x=0$ w położeniu równowagi. Kiedy ciężarek wychyli się w prawo od położenia równowagi, jego położenie będziemy przyjmować jako dodatnie i będzie ono równe drodze wzdłuż łuku, między położeniem równowagi a ciężarkiem. Podobnie, kiedy ciężarek wychyli się w lewo od położenia równowagi, jego położenie będziemy przyjmować jako ujemne i będzie ono równe co do wartości drodze wzdłuż łuku, między położeniem równowagi a ciężarkiem. Jeśli wyrazimy $\alpha$ w radianach, można zapisać długość łuku $x$ jako:

A zatem:

Wartość składowej siły grawitacji prostopadłej do łuku wynosi $F_1=mgcos\alpha$. To ona, wspólnie z siłą naciągu sznurka o wartości $N$, odpowiada za utrzymanie ciężarka w ruchu po wycinku okręgu. Zatem wypadkowa tych dwóch sił, musi pełnić rolę siły dośrodkowej:

gdzie $v$ jest prędkością chwilową ciężarka.

Wartość składowej siły grawitacji stycznej do łuku wynosi $F_2=mgsin\alpha$ i to ona przyciąga ciężarek w kierunku położenia równowagi i jest odpowiedzialna za jego ruch wahadłowy. Uwzględniając fakt, że ta siła jest skierowana przeciwnie do kierunku wychylenia ciężarka, można zapisać:

Siła ta wcale nie jest proporcjonalna do wychylenia, czyli do -$x$, tylko do $\sin (x/l)$, a więc nie mamy tu do czynienia z ruchem harmonicznym. To sprawia, że obliczenie okresu drgańokres drgańokresu drgań jest bardzo trudne. Spójrzmy jednak na wartości $sin\alpha$ dla kilku wartości $\alpha$ wyrażonych w radianach:

Dopóki $\alpha$ nie przekracza 15Indeks górny o^o, wartości $\alpha$ i $\sin \alpha$ są niemal identyczne - różnica pojawia się dopiero na trzeciej cyfrze znaczącej. Dla tak małych kątów można zatem stosować przybliżenie $sin\alpha$ ≈ $\alpha$, dzięki któremu otrzymujemy przybliżony wzór na siłę:

Z powyższej zależności wynika, że dla małych kątówprzybliżenie małych kątówdla małych kątów siła jest proporcjonalna do wychylenia $-x$, więc ruch jest harmoniczny. By znaleźć okres drgańokres drgańokres drgań, możemy teraz zastosować zależności, które znamy dla ruchu harmonicznego (zob. e‑materiał pt. Okres drgań w ruchu harmonicznym):

Porównując ostatnie wyrażenie ze wzorem na wartość siły $F_2$ dostajemy:

czyli:

W ten sposób otrzymaliśmy, wspomniany już na początku tego e‑materiału, wzór na okres drgańokres drgańokres drgań wahadła matematycznegowahadło matematycznewahadła matematycznego. Pokazaliśmy jednak, że wzór ten nie jest dokładny, ale jest konsekwencją pewnych przybliżeń, o których należy pamiętać.

Zastanówmy się, co powyższy wniosek oznacza w praktyce. Zacznijmy od stwierdzenia, że okres drgań mierzymy z ustaloną dokładnością. Dopóki będziemy wprawiać wahadło w drgania o małej amplitudzie, uzyskany wzór na okres będzie poprawny. Oznacza to między innymi, że z przy przyjętej dokładności pomiaru, nie stwierdzimy zależności okresu drgań od amplitudy.

Jeśli jednak zaczniemy wprawiać wahadło w drgania o coraz większej amplitudzie, przybliżenie małych kątówprzybliżenie małych kątówprzybliżenie małych kątów przestanie obowiązywać. Wartość $sin\alpha$ będzie coraz bardziej odbiegała (będzie coraz mniejsza) od $\alpha$, co sprawi, że rzeczywista wartość siły stycznej do łuku $F_2=mgsin\alpha$ będzie się coraz bardziej różniła od wartości przybliżonej $F_2\approx mg\alpha$. Mniejsza siła nadaje ciężarkowi mniejsze przyspieszenie. W efekcie, przybliżona (tzn. większa od rzeczywistej) wartość siły $F_2$ będzie opisywała szybsze (od rzeczywistych) drgania ciężarka i krótszy (od rzeczywistego) okres drgańokres drgańokres drgań. Zauważymy więc, przy ustalonej dokładności pomiarów, że okres drgań wzrasta wraz ze wzrastającą amplitudą.

Wyobraźmy sobie następujący skrajny przypadek: ciężarek jest zaczepiony na sztywnym pręcie i odchylamy go o 180Indeks górny o^o. Jeśli uda nam się puścić go idealnie bez prędkości początkowej, pozostanie on w bezruchu. Będzie spoczywał w położeniu równowagi nietrwałej, zupełnie jak ołówek postawiony na zatemperowanym rysiku. W takiej skrajnej sytuacji możemy czekać w nieskończoność, a ciężarek nie wykona jednego wahnięcia. Okres jego drgań dąży zatem do nieskończoności: T → ∞.

Na szczęście, w praktyce mamy najczęściej do czynienia z małymi drganiami. Dla takich drgań różnica między rzeczywistym okresem, a tym uzyskanym z przybliżonego wzoru, jest nieznaczna. Dlatego, w większości przypadków, podany wzór

można wykorzystywać bez obaw, twierdząc, że okres wahadła matematycznegowahadło matematycznewahadła matematycznego nie zależy od jego amplitudy. W każdym jednak przypadku, rozstrzygnięcie o stosowalności przybliżenia małych drgańprzybliżenie małych kątówprzybliżenia małych drgań zależy od dokładności, z jaką mierzymy okres drgań.

Słowniczek