Wyznaczymy takie wartości parametru $a\in \mathrm{ℝ}$, dla których równanie $2\sin x+3\cos x=a$ ma co najmniej jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Z wyrażeń po lewej stronie równania wyciągnijmy przed nawias $\sqrt{2^2+3^2}$.

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$\sqrt{2^2+3^2}\left(\frac{2}{\sqrt{2^2+3^2}}\sin x+\frac{3}{\sqrt{2^2+3^2}}\cos x\right)=a$.

Zauważmy, że ${\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)}^2+{\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)}^2=1$, a to oznacza, że istnieje taki kąt $\alpha$, że

$\cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{13}}$ oraz $\sin \alpha =\frac{3}{\sqrt{13}}$.

Wobec tego równanie możemy zapisać w postaci:

$\sqrt{13}\left(\cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x\right)=a$.

Korzystamy ze wzoru na sinus sumy argumentówsinus sumy argumentówwzoru na sinus sumy argumentów i otrzymujemy:

$\sqrt{13}\sin \left(x+\alpha \right)=a$.

Ponieważ $x$ jest dowolna liczbą rzeczywistą, więc funkcja $y=\sin \left(\alpha +x\right)$ przyjmuje każdą wartość ze zbioru: $⟨-1, 1⟩$.

Zatem zbiorem wartości funkcji $y=\sqrt{13}\sin \left(x+\alpha \right)$ jest przedział $⟨-\sqrt{13}, \sqrt{13}⟩$.

Odpowiedź

Równanie $2\sin x+3\cos x=a$ ma co najmniej jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy $a\in ⟨-\sqrt{13}, \sqrt{13}⟩$.

Wyznaczymy takie wartości parametru $a\in \mathrm{ℝ}$, dla których równanie ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=a$ ma co najmniej jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Przekształcamy równanie z wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

${\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=a$.

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i otrzymujemy:

$1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=a$.

Przekształcamy równanie z wykorzystaniem wzoru na sinus podwojonego argumentusinus podwojonego kątawzoru na sinus podwojonego argumentu:

$1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x=a$.

Stąd otrzymujemy:

${\sin }^{2}2x=2-2a$.

Ponieważ zbiorem wartości funkcji $y={\sin }^{2}2x$ jest przedział $⟨0, 1⟩$, to równanie ${\sin }^{2}2x=2-2a$ ma przynajmniej jedno rozwiązanie, gdy

$0\le 2-2a\le 1$.

Zatem:

$-2\le -2a\le -1$.

Odpowiedź

$\frac{1}{2}\le a\le 1$.

Wyznaczymy takie wartości parametru $a\in \mathrm{ℝ}$, dla których równanie $\sin x+\cos x+\sin x\cos x=a$ ma co najmniej jedno rozwiązanie.

Rozwiązanie

Wykorzystując wzór na kwadrat sumy dwóch dowolnych wyrażeń, zapiszmy ciąg równości:

${\left(\sin x+\cos x\right)}^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1+2\sin x\cos x$.

Zróbmy podstawienie: $t=\sin x+\cos x$.

Wówczas możemy zapisać wyrażenie: $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$.

Równanie z zadania przyjmuje postać:

$t^2+2t-\left(1+2a\right)=0$.

Ponieważ $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$, zatem zbiorem wartości funkcji $y=\sin x+\cos x$ jest przedział $⟨-\sqrt{2}, \sqrt{2}⟩$, czyli $t\in ⟨-\sqrt{2}, \sqrt{2}⟩$.

Funkcja $f\left(t\right)=t^2+2t-\left(1+2a\right)$ ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste w przedziale $⟨-\sqrt{2}, \sqrt{2}⟩$ wtedy i tylko wtedy, gdy $∆\ge 0$ i $f\left(\sqrt{2}\right)\ge 0$. Ten drugi warunek wynika stąd, że pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli $y=t^2+2t-\left(1+2a\right)$ jest równa $\left(-1\right)$, co oznacza, że osią symetrii paraboli jest prosta $x=-1$.

Zatem

$∆\ge 0\iff a\ge -1$

oraz

$f\left(\sqrt{2}\right)\ge 0\iff a\le \frac{1}{2}+\sqrt{2}$.

Odpowiedź

$-1\le a\le \frac{1}{2}+\sqrt{2}$.

Wyznaczymy takie wartości parametru $a\in \mathrm{ℝ}$, dla których równanie $\cos 2x+2\cos x-2a^2-2a+1=0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale $\left.⟨0, 2\pi \right)$.

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru na cosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kątawzoru na cosinus podwojonego kąta zapisujemy równanie w postaci:

$2{\cos }^{2}x-1+2\cos x-2a^2-2a+1=0$,

$2{\cos }^{2}x+2\cos x-2a^2-2a=0$.

Aby równanie z zadania miało dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale $\left.⟨0, 2\pi \right)$, jedynym rozwiązaniem powinno być $\cos x=1$ lub $\cos x=-1$.

Przypadek 1

Sprawdźmy zatem, dla jakich wartości parametru $a$ rozwiązaniem równania $2{\cos }^{2}x+2\cos x-2a^2-2a=0$ jest taki $x$, że $\cos x=1$:

$1+1-a^2-a=0$.

Wówczas $a=1$ lub $a=-2$.

Dla $a=1$ równanie z zadania przyjmuje postać: ${\cos }^{2}x+\cos x-2=0$.

Stąd otrzymujemy: $\cos x=1$ lub $\cos x=-2$. A zatem dla $a=1$ równanie z zadania ma jedno rozwiązanie.

Dla $a=-2$ równanie przyjmuje postać: ${\cos }^{2}x+\cos x-2=0$. A zatem dla $a=-2$ równanie z zadania ma jedno rozwiązanie w przedziale $\left.⟨0, 2\pi \right)$.

Przypadek 2

Sprawdźmy zatem, dla jakich wartości parametru $a$ rozwiązaniem równania $2{\cos }^{2}x+2\cos x-2a^2-2a=0$ jest taki $x$, że $\cos x=-1$:

$1-1-a^2-a=0$,

$a^2+a=0$.

Wówczas $a=0$ lub $a=-1$.

Dla takich wartości parametru $a$ równanie przyjmuje postać: ${\cos }^{2}x+\cos x=0$, czyli $\cos x=0$ lub $\cos x=-1$. Wówczas jednak równanie z zadania ma w przedziale $\left.⟨0, 2\pi \right)$ trzy rozwiązania.

Odpowiedź

$a=-2$, $a=1$.

$\sin \left(x+y\right)=\sin x·\cos y+\cos x·\sin y$, dla $x,y\in \mathrm{ℝ}$

tożsamość trygonometryczna: $\sin 2x=2\sin x\cos x$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$

tożsamość trygonometryczna: $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$