Przeczytaj

Zdefiniujmy, kiedy dwie płaszczyzny są prostopadłe.

Płaszczyzny prostopadłe

Definicja: Płaszczyzny prostopadłe

Dwie płaszczyzny nazywamy prostopadłymi, jeśli jedna przechodzi przez prostą prostopadłą do drugiej płaszczyzny.

R1BFTJmbORrse

Grafika przedstawia dwie płaszczyzny oraz prostą. Płaszczyzny są prostopadłe do siebie. Prosta leży w płaszczyźnie pionowej i przechodzi przez płaszczyznę ułożoną poziomo, przy czym po przejściu przez tą płaszczyznę zmienia się z linii ciągłej na linię przerywaną. Prosta biegnie prostopadle do poziomej linii pionowej płaszczyzny i przecina poziomą płaszczyznę pod kątem prostym.

Przykład 1

Na rysunku przedstawiono model graniastosłupa prostego pięciokątnego. Ustalimy, które płaszczyzny, zawierające ściany tego graniastosłupa są prostopadłe.

R5vRHTHPmBpbC

Grafika przedstawia graniastosłup prosty pięciokątny. Dwa kąty spośród kątów pięciokąta to kąty proste. Graniastosłup jest ustawiony w taki sposób, że leży na prostokątnej ścianie do której krótszych ścian przylegają dwie prostokątne ściany, a do dłuższych ścian przylegają pięciokąty w taki sposób, że ich boki o kątach ostrych znajdują się na górze. Do tych boków przylegają prostokątne ściany. Bryła swoim kształtem przypomina domek. Boki pięciokąta znajdującego się bliżej opisano kolejno: A, B, C, D, E. Przy czym A i B to wierzchołki przy kątach prostych. Boki pięciokąta znajdującego się dalej opisano: K, L, M , N , O. Przy czym K i L to wierzchołki przy kątach prostych.

Ponieważ graniastosłup jest prosty, to każda ze ścian $A B L K$ , $B C M L$ , $C D N M$ , $D E O N$ , $A E O K$ jest prostopadła do podstaw $A B C D E$ i $K L M N O$ .

W pięciokącie, który jest podstawą graniastosłupa dwa kąty są proste $C B A$ i $B A E$ .

Zatem mamy $A B L K ⊥ B C M L$ oraz $A B L K ⊥ A E O K$ .

Z płaszczyznami prostopadłymi związane są ciekawe twierdzenia, które pozwalają zrozumieć zależności między tymi obiektami w przestrzeni.

Prosta leżąca na płaszczyźnie prostopadłej

Twierdzenie: Prosta leżąca na płaszczyźnie prostopadłej

Jeżeli dwie płaszczyzny są do siebie prostopadłe, to prosta położona na jednej z nich i prostopadła do ich krawędzi wspólnej jest prostopadła do drugiej.

Dowód

Dane są dwie płaszczyzny: $p$ i $q$ prostopadłe do siebie. Z dowolnego punktu $D$ krawędzi $A B$ poprowadźmy dwie proste prostopadłeproste prostopadłe do $A B$ : $D C$ położoną na płaszczyźnie $q$ i $D E$ na płaszczyźnie $p$ .

RklCMgjNHBbIo

Grafika przedstawia dwie płaszczyzny: płaszczyznę poziomą p oraz płaszczyznę pionową q, która przecina płaszczyznę pod kątem prostym w środku jej rozpiętości. Na Środku płaszczyzny q zaznaczono linię prostopadłą do płaszczyzny p, natomiast na środku płaszczyzny p zaznaczono linię prostopadłą do płaszczyzny q. Linie przecinają się w punkcie D. Przecięcie się linii należącej do płaszczyzny q z jej krawędzią podpisano literą C. Przecięcie się linii należącej do płaszczyzny p z jej krawędzią podpisano literą E. Kąt CDE to kąt prosty. Punkty przecięcia się krawędzi obu płaszczyzn zaznaczono jako A i B.

Z założenia wynika, że kąt dwuściennykąt dwuściennykąt dwuścienny między płaszczyznami $p$ i $q$ jest prosty, a że kąt $C D E$ jest jego kątem liniowym, więc i kąt $C D E$ jest prosty, czyli $C D ⊥ D E$ . Z konstrukcji wynika, że $C D ⊥ A B$ , zatem $C D ⊥ p$ .

Przykład 2

Dany jest prostopadłościan $A B C D E F G H$ . Sprawdzimy, czy liczba płaszczyzn zawierających ściany tego prostopadłościanu, które są prostopadłe do płaszczyzny $E F G H$ jest większa niż liczba płaszczyzn zawierających ściany tego prostopadłościanu, które są prostopadłe do płaszczyzny $A D H E$ .

R6qMgk1Xs1LL7

Grafika przedstawia prostopadłościan, wierzchołki dolnej podstawy prostopadłościanu to A, B, C D. Wierzchołki górnej podstawy prostopadłościanu do E, F, G oraz H. Krawędzie AB, CD, EF oraz GH zaznaczono kolorem niebieskim. Krawędzie AD, BC, EH oraz FG zaznaczono kolorem fioletowym. Krawędzie AE, BF, CG oraz DH zaznaczono kolorem zielonym.

Rozwiązanie:

Płaszczyzny zawierające ściany tego prostopadłościanu, które są prostopadłe do płaszczyzny $E F G H$ : $A B F E$ , $B C G F$ , $D C G H$ , $A D H E$ .

Płaszczyzny zawierające ściany tego prostopadłościanu, które są prostopadłe do płaszczyzny $A D H E$ : $A B F E$ , $A B C D$ , $E F G H$ , $D C G H$ .

Zatem omawiana liczba płaszczyzn prostopadłych w obu przypadkach jest taka sama.

Przykład 3

Wiedząc o tym, że płaszczyzny $A B S$ i $A D S$ są prostopadłe do płaszczyzny $A B C D$ , obliczymy sumę długości krawędzi bryły z poniższego rysunku, jeżeli jej podstawą jest kwadrat $A B C D$ .

RTyEL7uCw8zz6

Grafika przedstawia ostrosłup o podstawie kwadratu. Podstawa ma wierzchołki: A, B, C, D. Długość boku podstawy wynosi 4. Wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą S. Dwie ściany ostrosłupa są prostopadłe do podstawy. Są to ściany ABS oraz ADS. Wysokość ostrosłupa AS ma długość 8.

Niech $T$ będzie szukaną sumą.

Korzystając z faktu, że płaszczyzny $A B S$ i $A D S$ są prostopadłe do płaszczyzny $A B C D$ , obliczamy długości odpowiednich odcinków:

$|B S| = \sqrt{8^{2} + 4^{2}} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5}$

$|A C| = \sqrt{4^{2} + 4^{2}} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$

$|D S| = |B S|$

$|C S| = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} + 8^{2}} = \sqrt{32 + 64} = \sqrt{96} = 4 \sqrt{6}$

Zatem szukana suma długości krawędzi bryły $A B C D S$ wynosi:

$T = 4 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \sqrt{5} + 8 + 4 \sqrt{6} = 16 + 8 \sqrt{5} + 8 + 4 \sqrt{6} = 24 + 8 \sqrt{5} + 4 \sqrt{6}$

Prostopadłość płaszczyzn możemy badać również wtedy, gdy dane są ich równania np. zapisane w postaci ogólnej.

Dwie płaszczyzny zadane równaniami w postaci ogólnej:

$Q$ : $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0$ , gdzie $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1} \in ℝ$ oraz ${A_{1}}^{2} + {B_{1}}^{2} + {C_{1}}^{2} > 0$

$T$ : $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$ , gdzie $A_{2}$ , $B_{2}$ , $C_{2} \in ℝ$ oraz ${A_{2}}^{2} + {B_{2}}^{2} + {C_{2}}^{2} > 0$

są prostopadłe, gdy zachodzi następujący warunek:

A_{1} \cdot A_{2} + B_{1} \cdot B_{2} + C_{1} \cdot C_{2} = 0

Przykład 4

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru $m$ płaszczyzny zadane równaniami $m x + 2 y - z + 1 = 0$ oraz $3 x + 3 m y + z + 5 = 0$ są prostopadłe.

Rozwiązanie:

Wypisujemy wartości współczynników w równaniach płaszczyznrównanie płaszczyznyrównaniach płaszczyzn:

$A_{1} = m$

$B_{1} = 2$

$C_{1} = - 1$

$A_{2} = 3$

$B_{2} = 3 m$

$C_{2} = 1$

Obliczamy wartość wyrażenia:

$A_{1} \cdot A_{2} + B_{1} \cdot B_{2} + C_{1} \cdot C_{2} = m \cdot 3 + 2 \cdot 3 m + (- 1) \cdot 1 = 3 m + 6 m - 1 = 9 m - 1$

Zatem do wyznaczenia wartości $m$ rozwiązujemy równanie:

$9 m - 1 = 0$

Wobec tego $m = \frac{1}{9}$ .

Słownik

prostopadłość prostych w przestrzeni

proste są prostopadłe w przestrzeni, gdy przecinają się pod kątem prostym lub proste powstałe przez przesunięcie równoległe tych prostych przecinają się pod kątem prostym

kąt dwuścienny

każda z dwóch części przestrzeni, na jakie dzielą ją dwie półpłaszczyzny, nazywane ścianami kąta dwuściennego, mające wspólną krawędź, wraz z punktami każdej półpłaszczyzny

równanie płaszczyzny

równanie postaci

A x + B y + C z + D = 0

gdzie $A$ , $B$ , $C \in ℝ$ oraz $A^{2} + B^{2} + C^{2} > 0$

Wprowadzenie

Schemat interaktywny

Słownik