Graniastosłup prawidłowy czworokątny to graniastosłup prostygraniastosłup prostygraniastosłup prosty, którego podstawą jest czworokąt foremny, czyli kwadrat.

Ma sześć ścian, osiem wierzchołków oraz dwanaście krawędzi.

Projekt hali sportowej zakłada, że będzie ona graniastosłupem prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy $80 \mathrm{m}$ i wysokości $20 \mathrm{m}$. Planowane jest zamontowanie $20$ wentylatorów, które wymienią powietrze w całej hali w ciągu $40$ minut. Jaka musi być wydajność takich wentylatorów wyrażona w metrach sześciennych na godzinę?

Rozwiązanie

Objętość tej hali wynosi $V=80·80·20=128000 \left[{\mathrm{m}}^3\right]$.

Na jeden wentylator przypada $\frac{128000}{20}=6400 \left[{\mathrm{m}}^3\right]$ powietrza.

Chcemy, aby jeden wentylator wymienił $6400 \left[{\mathrm{m}}^3\right]$ w ciągu $40$ minut czyli $\frac{2}{3} \mathrm{h}$.

Jego wydajność musi wynosić $\frac{6400}{\frac{2}{3}}=6400·\frac{3}{2}=9600 \left[\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{h}}\right]$.

Odpowiedź

Wydajność jednego wentylatora musi wynosić $9600 \frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{h}}$.

Jakie wymiary ma jednokilogramowa sztabka czystego złota w kształcie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy jest trzy razy dłuższa od wysokości? Wykonaj obliczenia wiedząc, że gęstość złota wynosi $19300 \frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$. Wynik przybliż do całości milimetrów.

Rozwiązanie

Z gęstości złota dowiadujemy się, że $1 {\mathrm{m}}^3$ tego kruszcu waży ponad $19$ ton. Chcąc obliczyć wymiary jednokilogramowej sztabki, zamieniamy jednostkę na kilogram na milimetr sześcienny.

$\rho =19300 \frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}=19,3 \frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{dm}}^3}=0,0193 \frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{cm}}^3}=0,0000193 \frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{mm}}^3}$

Z definicji gęstości wynika, że: $V=\frac{m}{\rho }$.

Obliczamy objętość jednokilogramowej sztabki złota

$V=\frac{1}{0,0000193}\approx 51813\left[{\mathrm{mm}}^3\right]$.

Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $3x$ i wysokości $x$ wyraża się wzorem $3x·3x·x=9x^3$, zatem:

$9x^3\approx 51812 \left[{\mathrm{mm}}^3\right]$

$x^3\approx 5757 \left[{\mathrm{mm}}^3\right]$

$x\approx 18 \left[\mathrm{mm}\right]$

$3x\approx 54 \left[\mathrm{mm}\right]$.

Odpowiedź

Jednokilogramowa sztabka czystego złota opisana w zadaniu po przybliżeniu do całości milimetrów ma wymiary $54 \mathrm{mm}\times 54 \mathrm{mm}\times 18 \mathrm{mm}$.

Do pudełka w kształcie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości $4 \mathrm{cm}$, po przekątnej chcemy zapakować ołówek o długości $12 \mathrm{cm}$. Ile waży takie pudełko zbudowane z papieru o gramaturze $300 \frac{\mathrm{g}}{{\mathrm{m}}^2}$?

Rozwiązanie

Szukamy takiej długości $a$ krawędzi podstawy, dla której zachodzi równość

$12=\sqrt{2a^2+4^2}$.

Rozwiązując to równanie, otrzymujemy:

$144=2a^2+16$

$a^2=64$

$a=8 \left[\mathrm{cm}\right]$.

Następnym krokiem jest obliczenie pola powierzchni całkowitej tego pudełka:

$P_c=2·8^2+4·8·4=128+128=256 \left[{\mathrm{cm}}^2\right]$,

$256 {\mathrm{cm}}^2=0,0256 {\mathrm{m}}^2$.

Waga tego pudełka będzie wynosiła

$300·0,0256=7,68 \left[\mathrm{g}\right]$.

Odpowiedź:

Opisane pudełko waży $7,68 \mathrm{g}$.

Pan Adam dysponuje prętem o długości $280 \mathrm{cm}$. Planuje cały ten pręt pociąć na części tak, aby otrzymać wszystkie dwanaście krawędzi potrzebnych do zbudowania stelażu szafki w kształcie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego. Dodatkowo obliczył, że, aby szafka miała odpowiednią wagę, każda jej ściana boczna musi mieć pole powierzchni równe $500 {\mathrm{cm}}^2$. Jakie wymiary będzie miała szafka zbudowana przez pana Adama? Czy jest tylko jeden zestaw wymiarów spełniający zadane warunki?

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $a$ długość krawędzi podstawy garniastosłupa prawidłowego czworokątnego, natomiast przez $h$ długość krawędzi bocznej. Wtedy, korzystając z danych z zadania otrzymujemy dwie zależności. Są to dwa równania z dwiema niewiadomymi, zatem możemy połączyć je w układ równań, a następnie rozwiązać go.

$\left\{\begin{array}{l}ah=500\\ 4h+8a=280\end{array}\right.$

Z drugiego równania wyznaczamy jedną zmienną

$4h=280-8a$

$h=70-2a$

i podstawiamy ją do pierwszego równania:

$a\left(70-2a\right)=500$.

Rozwiązujemy równanie kwadratowe z jedną niewiadomą $a$. Warto w tym momencie wyznaczyć dziedzinę dla $a$. Z jednej strony długość krawędzi podstawy musi być liczbą dodatnią. Z drugiej strony nie może być zbyt duża, ponieważ po odcięciu ośmiu krawędzi podstawy musi zostać jeszcze dodatnia część pręta na krawędzie boczne. Ograniczenie od góry wyznaczamy rozwiązując nierówność:

$h>0$

$70-2a>0$

$a<35$.

Zatem dziedziną równania jest zbiór $\left(0,35\right)$.

Wróćmy do rozwiązywania równania:

$70a-2a^2=500$

$a^2-35a+250=0$

$\mathrm{\Delta }={\left(-35\right)}^2-4\cdot 1\cdot 250=225$

$a_1=\frac{35+\sqrt{225}}{2·1}=25$

$a_2=\frac{35-\sqrt{225}}{2·1}=10$.

Obie liczby należą do wcześniej wyznaczonej dziedziny, a więc mamy dwa zestawy wymiarów spełniające warunki zadania:

$a=25$ oraz $h=70-2·25=20$

lub

$a=10$ oraz $h=70-2·10=50$.

Odpowiedź:

Szafka spełniająca warunki postawione przez pana Adama ma wymiary $25 \mathrm{cm}\times 25 \mathrm{cm}\times 20 \mathrm{cm}$ lub $10 \mathrm{cm}\times 10 \mathrm{cm}\times 50 \mathrm{cm}$.

graniastosłup, w którym wszystkie krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, a więc wszystkie ściany boczne są prostokątami

stosunek masy pewnej ilości substancji do zajmowanej przez nią objętości:

masa wyrobu papierniczego wyrażona w gramach na metr kwadratowy