Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę $q$, zwaną ilorazem ciągu.

Chcemy znaleźć trzy różne liczby naturalne, których suma jest równa $26$, a suma ich kwadratów jest równa $364$. Iloraz drugiej liczby przez pierwszą jest równy ilorazowi trzeciej liczby przez drugą.

Oznaczmy:
$x$, $y$, $z$ – poszukiwane liczby.

Wiemy, że iloraz drugiej liczby przez pierwszą jest równy ilorazowi trzeciej liczby przez drugą.

Korzystamy z poniższej własności ciągu geometrycznego.

Wnioskujemy, że liczby $x$, $y$, $z$ tworzą ciąg geometrycznyciąg geometrycznyciąg geometryczny o pewnym ilorazie $q\ne 1$ (bo liczby są różne).

Zatem:
$x$ – pierwszy wyraz ciągu geometrycznego (z treści zadnia wynika, że $x\ne 0$),
$y=xq$ – drugi wyraz ciągu geometrycznego (z treści zadania wynika, że $y\ne 0$),
$z=x{q}^2$ – trzeci wyraz ciągu geometrycznego.

Zapisujemy układ równań wynikający z treści zadania.

$\left\{\begin{array}{l}x+xq+x{q}^2=26\\ x^2+x^2{q}^2+x^2{q}^4=364\end{array}\right.$

Wyłączamy $x$ przed nawias po lewej stronie pierwszego równania, a $x^2$ po lewej stronie drugiego równania.

$\left\{\begin{array}{l}x\left(1+q+q^2\right)=26\\ x^2\left(1+q^2+q^4\right)=364\end{array}\right.$

Dzielimy stronami drugie równanie przez pierwsze (lewa strona pierwszego równania przyjmuje wartości różne od zera)  i tworzymy układ równań z pierwszym równaniem.

$\left\{\begin{array}{l}x\left(1+q+q^2\right)=26\\ x\left(1-q+q^2\right)=14\end{array}\right.$

Wyrażenie $1+q+q^2$ przybiera wartości różne od zera dla każdej liczby $q$. Dzielimy więc obie strony pierwszego równania układu przez to wyrażenie i wyznaczone $x$ wstawiamy do drugiego równia, które przekształcamy do postaci ogólnej.

$26q^2-26q+26=14+14q+14q^2$

$12q^2-40q+12=0 |:4$

$3q^2-10q+3=0$

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

$∆=100-36=64\Rightarrow \sqrt{∆}=8$

$q_1=\frac{10-8}{6}=\frac{1}{3}$

$q_2=\frac{10+8}{6}=3$

Dla $q_1=\frac{1}{3}$ otrzymujemy:

$x_1=\frac{14}{\frac{1}{9}+1-\frac{1}{3}}=18$, $y_1=\frac{1}{3}·18=6$, $z_1=\frac{1}{3}·6=2$

Dla $q_2=3$ otrzymujemy:

$x_2=\frac{14}{9+1-3}=2$, $y_2=3·2=6$, $z_2=3·6=18$

Odpowiedź:

Szukane liczby to $2$, $6$, $18$ (kolejność, w jakiej wypisujemy liczby nie ma dla nas znaczenia).

Długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny. Objętość prostopadłościanu jest równa $1000 {\mathrm{cm}}^3$, a pole powierzchni $700 {\mathrm{cm}}^2$. Obliczymy długości tych krawędzi.

Oznaczmy:
$q$ – iloraz ciągu geometrycznego utworzonego przez długości krawędzi $\left(q>0\right)$,
$a$, $aq$, $a{q}^2$ – długości krawędzi prostopadłościanu $\left(a>0\right)$.

Objętość prostopadłościanu jest równa $1000 {\mathrm{cm}}^3$, zatem

$a·aq·a{q}^2=1000$

$a^3·q^3=1000$

$aq=10$

Pole powierzchni prostopadłościanu jest równe $700 {\mathrm{cm}}^2$, więc

$2·\left(a^{2}q+a^2·q^2+a^2{q}^3\right)=700$

Dzielimy obie strony równania przez $2$.

$a^{2}q+a^2·q^2+a^2{q}^3=350$

Do ostatniego z równań za $aq$ wstawiamy wyznaczoną wcześniej liczbę $10$.

$10a+100+100q=350$

$a+10q=25$

Otrzymujemy układ równań

$\left\{\begin{array}{l}aq=10\\ a+10q=25\end{array}\right.$

którego rozwiązanie prowadzi do uzyskania równania

$2q^2-5q+2=0$

Rozwiązaniami tego równania są liczby

$q_1=\frac{1}{2}$, $q_2=2$

Pozostaje teraz wyznaczyć długości krawędzi prostopadłościanu:

$q_1=\frac{1}{2}\Rightarrow a=20$, $aq=10$, $a{q}^2=5$

$q_2=2\Rightarrow a=5$, $aq=10$, $a{q}^2=20$

W obu przypadkach otrzymaliśmy te same liczby określające długości krawędzi prostopadłościanu.

Istnieje więc jeden prostopadłościan o żądanych własnościach.

Odpowiedź:

Długości krawędzi prostopadłościanu są równe $5 \mathrm{cm}$, $10 \mathrm{cm}$, $20 \mathrm{cm}$.

W trapezie prostokątnym wysokość  ma długość $1$. Długości kolejnych boków trapezu (boku prostopadłego do podstaw, podstawy górnej, ramienia, podstawy dolnej – w tej kolejności) tworzą ciąg geometryczny rosnący. Obliczymy długość krótszej podstawy trapezu.

RVv8DXJwrfJ1A

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny o następujących bokach: podstawa dolna A B, prawy ukośny bok B C o długości q kwadrat, górna podstawa C D o długości q, lewy pionowy bok D A o długości jeden. Z górnego wierzchołka C upuszczono na dolną podstawę wysokość C E oraz oznaczono kąt prosty między wysokością a podstawą dolną. Punkt E podzielił dolną podstawę na dwie części, przy czym lewa, czyli odcinek A E opisano jako q do potęgi trzeciej.

Niech trapez $ABCD$ będzie rozważanym trapezem, $CE$ niech będzie wysokością tego trapezu.

Oznaczmy:
$1$, $q$, $q^2$, $q^3$ – długości kolejnych boków trapezu $\left(q>1\right)$.

Aby wyznaczyć $q$, do trójkąta prostokątnego $BCE$ stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

$1^2+{\left(q^3-q\right)}^2={\left(q^2\right)}^2$

$1+q^6-2q^4+q^2=q^4$

$q^6-3q^4+q^2+1=0$

Mamy do rozwiązania równanie stopnia szóstego. Zauważmy, że liczby $1$ i $\left(-1\right)$ spełniają to równanie (są to dzielniki wyrazu wolnego $1$). Pomoże nam to w rozkładzie lewej strony równania na czynniki.

$q^6-q^4-2q^4+q^2+2-1=0$

$q^4\left(q^2-1\right)-2·\left(q^4-1\right)+\left(q^2-1\right)=0$

$\left(q^2-1\right)\left(q^4-2q^2-1\right)=0$

Równanie jest równoważne alternatywie.

$q^2-1=0$ lub $q^4-2q^2-1=0$

Z pierwszego równania otrzymujemy:

$q_1=1$ – nie spełnia warunków zadania, bo $q>1$

$q_2=-1$ – nie spełnia warunków zadania, bo $q>1$

Pozostaje do rozwiązania równanie dwukwadratowe $q^4-2q^2-1=0$.

Stosujemy podstawienie $q^2=t$, gdzie $t>0$.

$t^2-2t-1=0$

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

$∆=4+4=8\Rightarrow \sqrt{∆}=2\sqrt{2}$

$t_1=\frac{2-2\sqrt{2}}{2}=1-\sqrt{2}$

$t_2=1+\sqrt{2}$

Ponieważ $t_1=1-\sqrt{2}<0$, więc odrzucamy to rozwiązanie.

Dla

$t_2=1+\sqrt{2}$ mamy

$q^2=1+\sqrt{2}$

Zatem

$q_3=\sqrt{1+\sqrt{2}}>1$ – spełnia warunki zadania

$q_4=-\sqrt{1+\sqrt{2}}<0$ – nie spełnia warunków zadania

Odpowiedź:

Krótsza  podstawa trapezu ma długość $\sqrt{1+\sqrt{2}}$.

W konkursie matematycznym rozdzielono pewną ilość nagród – w sumie za $20460 \mathrm{zł}$. Pierwsza nagroda była w wysokości $15360 \mathrm{zł}$, a każda następna stanowiła stały ułamek kwoty poprzedniej. Ostatnia nagroda wynosiła $60 \mathrm{zł}$. Obliczymy ile nagród przyznano.

Wysokości nagród tworzą ciąg geometrycznyciąg geometrycznyciąg geometryczny, w którym pierwszy wyraz jest równy $15360$, ostatni $60$, a suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa $20460$.

Oznaczmy:
$n$ – liczba nagród, które przyznano.

Wstawiając do wzoru na $n$–ty wyraz ciągu geometrycznego odpowiednie liczby, otrzymujemy

$15360q^{n-1}=60 |:60$

$256q^{n-1}=1$

$q^{n-1}=\frac{1}{256}$

$q^n=\frac{1}{256}q$

Teraz skorzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, który przypominamy poniżej.

W rozważanym przypadku:

$15360·\frac{1-q^n}{1-q}=20460$

Do wzoru wstawiamy wyznaczone $q^n$ i przekształcamy otrzymane wyrażenie tak, aby wyznaczyć iloraz ciągu.

$15360·\frac{1-\frac{1}{256}q}{1-q}=20460 |:20$

$768·\left(\frac{256-q}{256}\right)=1023·\left(1-q\right)$

$768-3q=1023-1023q$

$q=\frac{1}{4}$

Teraz już możemy wyznaczyć liczbę nagród.

$q^n=\frac{1}{256}q$

${\left(\frac{1}{4}\right)}^n=\frac{1}{256}·\frac{1}{4}$

$n=5$

Odpowiedź:

W konkursie przyznano $5$ nagród.

W $2020$ roku liczba ludności pewnego miasteczka wynosiła $3000$ mieszkańców. Prognozowany roczny przyrost naturalny na najbliższe lata to $50$ promili. Obliczymy, ilu mieszkańców byłoby w tym miasteczku w $2030$ roku, gdyby tempo przyrostu utrzymało się przez cały ten okres.

Rocznie liczba ludności wzrastałaby

$\left(1+\frac{50}{1000}\right)=1,050$ razy.

Zatem po dziesięciu latach wynosiłaby

$3000·{\left(1,050\right)}^{10}\approx 4887$

Odpowiedź:

Po dziesięciu latach ludność miasteczka zwiększyłaby się o około $1887$ osób i liczyła około $4887$ mieszkańców.

W pewnym miasteczku jest $2000$ mieszkańców. Według burmistrza za pięć lat liczba mieszkańców podwoi się. Znajdziemy prognozowany przez burmistrza roczny przyrost procentowy ludności, przy założeniu że będzie w tym okresie stały.

Oznaczmy przez $p$ roczny przyrost ludności wyrażony w procentach.

Liczba ludności co roku wzrasta $1+\frac{p}{100}$ razy, więc po pięciu latach będzie równa

$2000·{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^5$

Wiemy też, że ta liczba według burmistrza ma być równa $2·2000=4000$.

Zapisujemy równanie, z którego wyznaczamy $p$.

$2000·{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^5=4000 |:2000$

${\left(1+\frac{p}{100}\right)}^5=2$

$1+\frac{p}{100}=\sqrt[5]{2}$

$\frac{p}{100}\approx 1,1487-1=0,1487$

$p\approx 14,87\%$

Odpowiedź:

Aby ludność miasteczka podwoiła się, roczny przyrost naturalny musiałby wynosić około $14,87\%$.

Pan Włodek zaciągnął w banku pożyczkę w wysokości $5000 \mathrm{zł}$ na okres dwóch lat, oprocentowaną w skali roku $20\%$ z kapitalizacją roczną. Obliczymy, jaki będzie dług pana Włodka na koniec dwuletniego okresu.

Podstawiamy odpowiednie dane do wzoru na procent składany.

$K_2=5000·{\left(1+\frac{20}{100}\right)}^2$

$K_2=5000·1,44=7200$

Odpowiedź:

Dług pana Włodka będzie wynosił $7200 \mathrm{zł}$.

ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę $q$, zwaną ilorazem ciągu