Przeczytaj
Na początek kilka zastosowań wzorów związanych z ciągiem geometrycznym w zadaniach o liczbach.
Dla porządku – przypomnienie definicji ciągu geometrycznego.
Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę , zwaną ilorazem ciągu.
Już przed wiekami uczeni borykali się z problemami polegającymi na znajdowaniu liczb naturalnych spełniających określone warunki. W wielu wypadkach prowadziło to do rozwiązywania równań z wieloma niewiadomymi. Zatem poszukując takich liczb, warto było podać jak najwięcej zależności między tymi liczbami, aby doprowadzić do uzyskania układu równań zawierającego tyle równań, ile jest niewiadomych.
Chcemy znaleźć trzy różne liczby naturalne, których suma jest równa , a suma ich kwadratów jest równa . Iloraz drugiej liczby przez pierwszą jest równy ilorazowi trzeciej liczby przez drugą.
Oznaczmy:
, , – poszukiwane liczby.
Wiemy, że iloraz drugiej liczby przez pierwszą jest równy ilorazowi trzeciej liczby przez drugą.
Korzystamy z poniższej własności ciągu geometrycznego.
Jeśli w ciągu co najmniej trzywyrazowym, o wyrazach różnych od , dla dowolnej liczby i , iloraz jest stały, to ciąg jest geometryczny.
Wnioskujemy, że liczby , , tworzą ciąg geometrycznyciąg geometryczny o pewnym ilorazie (bo liczby są różne).
Zatem:
– pierwszy wyraz ciągu geometrycznego (z treści zadnia wynika, że ),
– drugi wyraz ciągu geometrycznego (z treści zadania wynika, że ),
– trzeci wyraz ciągu geometrycznego.
Zapisujemy układ równań wynikający z treści zadania.
Wyłączamy przed nawias po lewej stronie pierwszego równania, a po lewej stronie drugiego równania.
Dzielimy stronami drugie równanie przez pierwsze (lewa strona pierwszego równania przyjmuje wartości różne od zera) i tworzymy układ równań z pierwszym równaniem.
Wyrażenie przybiera wartości różne od zera dla każdej liczby . Dzielimy więc obie strony pierwszego równania układu przez to wyrażenie i wyznaczone wstawiamy do drugiego równia, które przekształcamy do postaci ogólnej.
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
Dla otrzymujemy:
, ,
Dla otrzymujemy:
, ,
Odpowiedź:
Szukane liczby to , , (kolejność, w jakiej wypisujemy liczby nie ma dla nas znaczenia).
Podamy teraz przykłady zadań geometrycznych, związanych z wyznaczaniem ilorazu ciągu geometrycznego.
Długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny. Objętość prostopadłościanu jest równa , a pole powierzchni . Obliczymy długości tych krawędzi.
Oznaczmy:
– iloraz ciągu geometrycznego utworzonego przez długości krawędzi ,
, , – długości krawędzi prostopadłościanu .
Objętość prostopadłościanu jest równa , zatem
Pole powierzchni prostopadłościanu jest równe , więc
Dzielimy obie strony równania przez .
Do ostatniego z równań za wstawiamy wyznaczoną wcześniej liczbę .
Otrzymujemy układ równań
którego rozwiązanie prowadzi do uzyskania równania
Rozwiązaniami tego równania są liczby
,
Pozostaje teraz wyznaczyć długości krawędzi prostopadłościanu:
, ,
, ,
W obu przypadkach otrzymaliśmy te same liczby określające długości krawędzi prostopadłościanu.
Istnieje więc jeden prostopadłościan o żądanych własnościach.
Odpowiedź:
Długości krawędzi prostopadłościanu są równe , , .
W trapezie prostokątnym wysokość ma długość . Długości kolejnych boków trapezu (boku prostopadłego do podstaw, podstawy górnej, ramienia, podstawy dolnej – w tej kolejności) tworzą ciąg geometryczny rosnący. Obliczymy długość krótszej podstawy trapezu.
Niech trapez będzie rozważanym trapezem, niech będzie wysokością tego trapezu.
Oznaczmy:
, , , – długości kolejnych boków trapezu .
Aby wyznaczyć , do trójkąta prostokątnego stosujemy twierdzenie Pitagorasa.
Mamy do rozwiązania równanie stopnia szóstego. Zauważmy, że liczby i spełniają to równanie (są to dzielniki wyrazu wolnego ). Pomoże nam to w rozkładzie lewej strony równania na czynniki.
Równanie jest równoważne alternatywie.
lub
Z pierwszego równania otrzymujemy:
– nie spełnia warunków zadania, bo
– nie spełnia warunków zadania, bo
Pozostaje do rozwiązania równanie dwukwadratowe .
Stosujemy podstawienie , gdzie .
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
Ponieważ , więc odrzucamy to rozwiązanie.
Dla
mamy
Zatem
– spełnia warunki zadania
– nie spełnia warunków zadania
Odpowiedź:
Krótsza podstawa trapezu ma długość .
Ciągi geometryczne spotkamy też w zadaniach z kontekstem realistycznym.
W konkursie matematycznym rozdzielono pewną ilość nagród – w sumie za . Pierwsza nagroda była w wysokości , a każda następna stanowiła stały ułamek kwoty poprzedniej. Ostatnia nagroda wynosiła . Obliczymy ile nagród przyznano.
Wysokości nagród tworzą ciąg geometrycznyciąg geometryczny, w którym pierwszy wyraz jest równy , ostatni , a suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa .
Oznaczmy:
– liczba nagród, które przyznano.
Wstawiając do wzoru na –ty wyraz ciągu geometrycznego odpowiednie liczby, otrzymujemy
Teraz skorzystamy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, który przypominamy poniżej.
Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie wyraża się wzorem:
, gdy
, gdy
W rozważanym przypadku:
Do wzoru wstawiamy wyznaczone i przekształcamy otrzymane wyrażenie tak, aby wyznaczyć iloraz ciągu.
Teraz już możemy wyznaczyć liczbę nagród.
Odpowiedź:
W konkursie przyznano nagród.
Jedno z najbardziej znanych zastosowań ciągu geometrycznego wiąże się ze wzrostem (lub spadkiem) pewnych wielkości o stałym tempie procentowym. Przykłady takiego wzrostu można zaobserwować w operacjach bankowych lub obliczeniach demograficznych.
Przypomnijmy: zwiększając jakąś wielkość o , należy ją pomnożyć przez .
W roku liczba ludności pewnego miasteczka wynosiła mieszkańców. Prognozowany roczny przyrost naturalny na najbliższe lata to promili. Obliczymy, ilu mieszkańców byłoby w tym miasteczku w roku, gdyby tempo przyrostu utrzymało się przez cały ten okres.
Rocznie liczba ludności wzrastałaby
razy.
Zatem po dziesięciu latach wynosiłaby
Odpowiedź:
Po dziesięciu latach ludność miasteczka zwiększyłaby się o około osób i liczyła około mieszkańców.
W pewnym miasteczku jest mieszkańców. Według burmistrza za pięć lat liczba mieszkańców podwoi się. Znajdziemy prognozowany przez burmistrza roczny przyrost procentowy ludności, przy założeniu że będzie w tym okresie stały.
Oznaczmy przez roczny przyrost ludności wyrażony w procentach.
Liczba ludności co roku wzrasta razy, więc po pięciu latach będzie równa
Wiemy też, że ta liczba według burmistrza ma być równa .
Zapisujemy równanie, z którego wyznaczamy .
Odpowiedź:
Aby ludność miasteczka podwoiła się, roczny przyrost naturalny musiałby wynosić około .
Zakładając lokatę długoterminową (lub zaciągając pożyczkę) często mamy do czynienia z tzw. procentem składanym. Jest to system oprocentowania wkładu pieniężnego polegający na tym, że przy danej jednostce czasu odsetki oblicza się od aktualnie zgromadzonej kwoty (powiększonej od wcześniej dopisane odsetki).
Po okresach oszczędzania kapitał wpłacony do banku przy danym oprocentowaniu w każdym z okresów, gdy odsetki będą kapitalizowane po każdym z okresów, wzrośnie do kwoty
Kwoty, które gromadzą się na koncie po kolejnych jednostkach czasu tworzą ciąg geometryczny, którego pierwszym wyrazem jest , a ilorazem .
Pan Włodek zaciągnął w banku pożyczkę w wysokości na okres dwóch lat, oprocentowaną w skali roku z kapitalizacją roczną. Obliczymy, jaki będzie dług pana Włodka na koniec dwuletniego okresu.
Podstawiamy odpowiednie dane do wzoru na procent składany.
Odpowiedź:
Dług pana Włodka będzie wynosił .
Słownik
ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę , zwaną ilorazem ciągu