Przeczytaj
Zacznijmy od pary prostych, z których żadna nie jest równoległa do osi , czyli można je opisać równaniami kierunkowymi i . Wówczas współrzędne ich punktu wspólnego możemy wyznaczyć rozwiązując układ równań
z którego wynika równanie
.
Zauważmy, że jeśli , to , więc proste są równoległe, co oznacza, że albo nie mają punktów wspólnych, albo mają ich nieskończenie wiele. Jeśli zaś , to
Po podstawieniu do pierwszego równania powyższej równości, możemy wyznaczyć . Istotnie
Zatem punkt przecięcia prostychpunkt przecięcia prostych ma współrzędne
Analogiczną analizę możemy przeprowadzić dla prostych opisanych równaniami ogólnymi, które obejmują również proste równoległeproste równoległe do osi . Aby wyznaczyć punkt wspólny prostych o równaniach , gdzie i nie są jednocześnie równe zeru, oraz , gdzie i nie są jednocześnie równe zeru, wystarczy rozwiązać układ równań
Po pomnożeniu pierwszego równania przez , zaś drugiego przez , otrzymujemy równania
Po odjęciu stronami drugiego równania od pierwszego otrzymujemy równanie z niewiadomą :
Analogiczne równanie możemy otrzymać dla niewiadomej :
Zwróćmy uwagę, że jeśli , to powyższe równania są sprzeczne albo tożsamościowe, więc rozważane proste nie przecinają się w jednym punkcie. Jeśli zaś , to każde z równań możemy obustronnie podzielić przez wyrażenie , co prowadzi do otrzymania współrzędnych punktu przecięcia
Czasami współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych możemy odczytać z rysunku, jednak warto wtedy zachować ostrożność. Przede wszystkim współrzędne punktu przecięcia prostych odczytujemy z rysunku tylko wtedy, gdy są one liczbami całkowitymi, czyli punkt przecięcia prostychpunkt przecięcia prostych jest punktem kratowym. Warto też sprawdzić odczytane współrzędne podstawiając je do równań prostych.
Wyznaczymy punkt wspólny prostych o równaniach i .
W tym celu rozwiążemy układ równań:
z którego wynika równanie
Można je rozwiązać następująco
Zatem rozwiązaniem układu jest para liczb
Punkt przecięcia danych prostych ma współrzędne . Zauważmy, że trudno byłoby je odczytać z rysunku.
Wyznaczymy współrzędne punku wspólnego prostych o równaniach oraz . Aby wyznaczyć współrzędne punktu wspólnego tych prostych, wystarczy rozwiązać układ równań
z którego wynika równanie
Przekształcając je, otrzymamy
Zatem współrzędne punktu wspólnego danych prostych to .
Punkt jest wierzchołkiem trójkąta , a punkt jest środkiem odcinka . Równania prostych , oraz symetralnej boku to odpowiednio
Wyznaczymy równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta opuszczoną z wierzchołka . Zaczniemy od wyznaczenia współrzędnych punktu , rozwiązując układ równań
z którego wynika równanie
Wykonując kolejne przekształcenia otrzymujemy:
,
więc
Pozostaje wyznaczyć niewiadomą :
Zatem punkt ma współrzędne . Współrzędne punktu możemy wyznaczyć, korzystając ze wzorów na współrzędne środka odcinka o danych końcach:
Zatem współrzędne punktu to . Ponieważ prosta jest prostopadła do prostej o równaniu , więc jej współczynnik kierunkowy jest równy . Wykorzystując współrzędne punktu możemy wyznaczyć równanie prostej :
.
Współrzędne punktu , możemy wyznaczyć rozwiązując układ równań
Zatem punkt ma współrzędne . Współczynnik kierunkowy prostej zawierającej wysokość poprowadzoną z wierzchołka to , więc jej równanie to
.
Słownik
w geometrii euklidesowej są to proste, które nie mają punktów wspólnych; wg Euklidesa są to proste, które przecięte trzecią prostą tworzą z nią kąty wewnętrzne po jednej jej stronie o miarach, których suma jest równa
punkt wspólny dwóch różnych prostych