Figurę płaską, powstałą w wyniku przecięcia bryły płaszczyzną tnącą nazywamy przekrojem bryły.

Graniastosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy $6\sqrt{3}$ i wysokości $12$ przecięto płaszczyzną zawierającą wysokość podstawy i jedną z krawędzi bocznych. Obliczymy pole powierzchni otrzymanego przekroju.

Rozwiązanie:

Narysujmy graniastosłup prawidłowy trójkątny, omawiany przekrój i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

R1RBTgADFE9An

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny. W graniastosłupie zaznaczono płaszczyznę w kształcie prostokąta. Jeden z boków pokrywa się z krawędzią ściany bocznej, dwa boki są wysokościami odpowiednio górnej i dolnej podstawy graniastosłupa, a ostatni bok leży w płaszczyźnie naprzeciwległej ściany bocznej. Krawędź podstawy graniastosłupa ma długość $6\sqrt{3}$, a krawędź ściany bocznej ma długość dwanaście.

Zauważmy, że omawiany przekrój jest prostokątem o bokach będących wysokością podstawy $h_p$ i krawędzią boczną $h$.

R1bc7fXmppIP1

Ilustracja przedstawia prostokąt, którego poziomy bok podpisano $h_p$ a pionowy bok podpisano $h$.

Wobec tego:

$h_p=\frac{6\sqrt{3}·\sqrt{3}}{2}=9$

$h=12$

Zatem pole przekroju jest równe:

$P=9·12=108$.

Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy i wierzchołek przeciwległej krawędzi bocznej, nienależący do tej podstawy. Obliczymy pole tego przekroju, jeżeli krawędź podstawy graniastosłupa ma długość $8$, a wysokość $4\sqrt{2}$.

Rozwiązanie:

Narysujmy graniastosłup prawidłowy trójkątny z opisaną płaszczyzną przekroju i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RHrIlM5vWIykY

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny. W graniastosłupie zaznaczono płaszczyznę w kształcie trójkąta. Jeden z boków trójkąta pokrywa się z krawędzią dolnej podstawy, pozostałe boki leżą w płaszczyźnie ścian bocznych, a łączący je wierzchołek leży w wierzchołku górnej podstawy naprzeciwległym do boku będącego krawędzią podstawy. Krawędzie podstawy graniastosłupa podpisane są literami a. Z kolei krawędź boczna jest podpisana literą h. Ramiona trójkąta będącego przekrojem podpisano literami x, a wysokość tego trójkąta podpisano literą y.

Otrzymany przekrój jest trójkątem równoramiennym.

Z treści zadania mamy następujące dane:

$a=8$

$h=4\sqrt{2}$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

$a^2+h^2=x^2$

$x^2=8^2+{\left(4\sqrt{2}\right)}^2$

$x^2=64+32=96$

$x=4\sqrt{6}$

Do wyznaczenia wysokości trójkąta, korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

${\left(\frac{1}{2}a\right)}^2+y^2=x^2$

$4^2+y^2={\left(4\sqrt{6}\right)}^2$

$16+y^2=96$

$y^2=80$

$y=4\sqrt{5}$

Wobec tego pole przekroju jest równe:

$P=\frac{1}{2}·8·4\sqrt{5}=16\sqrt{5}$.

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy równej $8$, poprowadzono płaszczyznę przechodzącą przez wysokość dolnej podstawy oraz wierzchołek górnej podstawy. Obliczymy pole otrzymanego przekroju wiedząc, że płaszczyzna ta tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze $60°$.

Rozwiązanie:

Narysujmy graniastosłup prawidłowy trójkątny, omawiany przekrój i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

RiwYkr04XgoBz

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny. W graniastosłupie zaznaczono płaszczyznę w kształcie trójkąta. Jeden z boków trójkąta pokrywa się z wysokością dolnej podstawy, pozostałe boki leżą w płaszczyźnie ścian bocznych, a łączący je wierzchołek leży w wierzchołku górnej podstawy. Krawędzie podstawy graniastosłupa podpisane są literami a, wysokość dolnej podstawy podpisano literą h. Ramiona trójkąta będącego przekrojem podpisano literami x, trójkątna płaszczyzna jest pod kątem 60 stopni do płaszczyzny podstawy graniastosłupa.

Krawędź podstawy graniastosłupa ma długość $a=8$ oraz $h=\frac{8·\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$.

Zatem:

$\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}a}{x}=\cos 60°$

$\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}x\Rightarrow x=a=8$

Zauważmy, że trójkąt otrzymany w wyniku przekroju jest prostokątny.

Wobec tego pole trójkąta jest równe:

$P=\frac{1}{2}·x·h=\frac{1}{2}·8·4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$.

Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i pewien punkt należący do przeciwległej krawędzi bocznej tak, że płaszczyzna jest nachylona do podstawy pod kątem $30°$. Obliczymy pole powierzchni otrzymanego przekroju, jeżeli krawędź podstawy ma długość $2\sqrt{2}$.

Rozwiązanie:

Narysujmy graniastosłup trójkątny, omawiany przekrój oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

Przekrój jest trójkątem równoramiennym.

R1Nf57ypvOnUA

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny. W graniastosłupie zaznaczono płaszczyznę w kształcie trójkąta. Jeden z boków trójkąta pokrywa się z krawędzią dolnej podstawy, pozostałe boki leżą w płaszczyźnie ścian bocznych, a łączący je wierzchołek leży na krawędzi naprzeciwległej do boku będącego krawędzią podstawy. Krawędzie podstawy graniastosłupa podpisane są literami a, wysokość tej podstawy podpisano literą h. Wysokość trójkąta będącego płaszczyzną podpisano literą y. Kąt pomiędzy wysokościami h i y ma miarę 30 stopni.

Ponieważ płaszczyzna jest nachylona do podstawy pod kątem $30°$, więc:

$\frac{h}{y}=\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Wobec tego $y=\frac{2h}{\sqrt{3}}=\frac{2h\sqrt{3}}{3}$.

Ponieważ $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ oraz $a=2\sqrt{2}$, to:

$y=\frac{2·{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}·\sqrt{3}}{2}}·\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{2}$

Zatem pole powierzchni przekroju jest równe:

$P=\frac{1}{2}·2\sqrt{2}·2\sqrt{2}=4$.

Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź dolnej podstawy i środek ciężkości górnej podstawy. Pole otrzymanego przekroju jest równe $15\sqrt{6}$, a płaszczyzna jest nachylona do dolnej podstawy pod kątem $45°$. Wyznaczymy długości krawędzi tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:

Narysujmy graniastosłup prawidłowy trójkątny wraz z odpowiednim przekrojem i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

RSNMlRVgUKAOC

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny, w jednej jego ścian bocznych zaznaczono odcinek będący środkiem tej ściany bocznej. W górnej płaszczyźnie podstawy zaznaczono jej wysokość. W graniastosłupie zaznaczono płaszczyznę w kształcie trapezu. Dłuższa podstawa tego trapezu pokrywa się z krawędzią dolnej podstawy graniastosłupa, górna podstawa trapezu przechodzi przez środek ciężkości górnej podstawy. Ramiona trapezu leżą w płaszczyznach ścian bocznych graniastosłupa. Krawędzie podstawy graniastosłupa podpisane są literami a, wysokość w dolnej podstawie podpisano literą y, wysokość w górnej podstawie podpisano literą b . Krawędź boczna graniastosłupa jest podpisana literą h. Odcinek łączący środek ciężkości górnej podstawy ze środkiem krawędzi dolnej podstawy, która jest dolną podstawą trapezu jest podpisana literą x. Kąt między odcinkiem x i wysokością podstawy graniastosłupa y ma miarę 45 stopni. Ze środka ciężkości górnej podstawy opuszczono odcinek pod kątem prostym do dolnej podstawy, spodek tego odcinka lży na wysokości y. Kąt pomiędzy krawędzią h i a ma wartość 90 stopni.

Wiadomo, że środek ciężkości dzieli wysokość podstawy graniastosłupa w stosunku $2:1$.

Otrzymany przekrój jest trapezem równoramiennym.

Zatem:

$b=\frac{2}{3}a$

$\frac{h}{y}=\mathrm{tg}45°=1\Rightarrow h=y$

$y=\frac{1}{3}·\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

$x=y\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}·\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$

Ponieważ pole przekroju jest równe $15\sqrt{6}$, zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{2}·\left(a+\frac{2}{3}a\right)·\frac{a\sqrt{6}}{6}=15\sqrt{6}$

$\frac{1}{2}·\frac{5}{3}a·\frac{a\sqrt{6}}{6}=15\sqrt{6}$

$\frac{5a^2\sqrt{6}}{36}=15\sqrt{6}$

$a^2=108\Rightarrow a=6\sqrt{3}$

Zatem

$h=y=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}·\sqrt{3}}{6}=3$

Wobec tego krawędź podstawy graniastosłupa ma długość $6\sqrt{3}$, a wysokość $3$.

graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt równoboczny