Ustalimy wzór i wykres funkcji potęgowejfunkcja potęgowafunkcji potęgowej dla wybranych wykładników  $m\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

Rozwiązanie

a) $m=0$

Otrzymaliśmy wzór funkcji $f\left(x\right)=x^0$, czyli $f\left(x\right)=1$, dla $x\ne 0$. Jest to funkcja, której wykres jest równoległy do osi $X$ (bez jednego punktu).

Zatem $D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$, a $Z{W}_f=\left\{1\right\}$.

b) $m=1$

Otrzymaliśmy wzór funkcji $f\left(x\right)=x$, jest to przykład funkcji liniowej. Wykresem tej funkcji jest prosta, która jest dwusieczną $\text{I}$ i $\text{III}$ ćwiartki układu współrzędnych.
Zatem $D=\mathrm{ℝ}$, a $Z{W}_f=\mathbb{R}$.

c) $m=2$

Otrzymaliśmy wzór funkcji $f\left(x\right)=x^2$, jest to przykład funkcji kwadratowej. Wykresem tej funkcji jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych $\left(0,0\right)$.
Zatem $D=\mathrm{ℝ}$, a $ZW={\mathrm{ℝ}}_{+}\cup \left\{0\right\}$.

d) $m=3$

Otrzymaliśmy wzór funkcji $f\left(x\right)=x^3$, tym razem mamy przykład jednomianu $3$–go stopnia. Wykresem tej funkcji jest krzywa, przechodząca przez punkt $\left(0,0\right)$.
Zatem $D=\mathrm{ℝ}$, a $ZW=\mathrm{ℝ}$

Ustalimy wzór i wykres funkcji potęgowej dla wybranych wykładników  $m\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiązanie

a) $m=-1$

Otrzymaliśmy wzór funkcji $f\left(x\right)=x^{-1}$. Jest to przykład funkcji wymiernej. Wykresem tej funkcji jest hiperbola.
Zatem $D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$, a $Z{W}_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

b) $m=-2$

Otrzymaliśmy wzór funkcji $f\left(x\right)=x^{-2}$. Wykresem tej funkcji są $2$ krzywe położone w $\text{I}$ i $\text{II}$ ćwiartce układu współrzędnych, symetryczne względem osi $Y$, a każda z nich ma kształt gałęzi hiperboli.
Zatem $D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$, a $Z{W}_f={\mathrm{ℝ}}_{+}$.

Obliczymy wartość funkcji potęgowej $f\left(x\right)=x^{-\frac{2}{3}}$ dla argumentu $x=\frac{125}{64}$.

Rozwiązanie

Do wzoru funkcji w miejsce argumentu $x$ należy podstawić wskazaną liczbę, czyli $f\left(\frac{125}{64}\right)={\left(\frac{125}{64}\right)}^{-\frac{2}{3}}={\left[{\left(\frac{5}{4}\right)}^3\right]}^{\frac{-2}{3}}={\left(\frac{5}{4}\right)}^{-2}={\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}$.

Wyznaczymy argument, dla którego funkcja $f\left(x\right)=x^{\frac{4}{3}}$ przyjmuje wartość $3\sqrt[3]{3}$.

Rozwiązanie

W miejsce $f\left(x\right)$ należy podstawić wskazaną wartość, tworząc równanie:

$x^{\frac{4}{3}}=3\sqrt[3]{3}$, zapisujemy liczbę po prawej stronie równania jako potęgę liczby $3$, zatem $x^{\frac{4}{3}}=3^{\frac{4}{3}}$, czyli $x=3$.

funkcja postaci $f\left(x\right)=x^m$, gdzie $m\in \mathrm{ℝ}$