Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji $f$ oraz wykres funkcji $g$, który powstał z wykresu funkcji $f$ w wyniku przesunięcia  wzdłuż osi $Y$ o $2$ jednostki w górę.

R1KXTqjpGoCyT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 1 do cztery. W układzie zaznaczono dwa wykresy o tym samym kształcie. Pierwszy z nich oznaczony $y=f\left(x\right)$ rozpoczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, stąd biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do punktu nawias dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, skąd biegnie do zamalowanego punktu nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Drugi wykres $y=g\left(x\right)$ znajduje się powyżej pierwszego wykresu. Wykres ten rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu, dalej znów biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do punktu nawias dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu.

• $g\left(0\right)=f\left(0\right)+2$

• $g\left(1\right)=f\left(1\right)+2$

• $g\left(2\right)=f\left(2\right)+2$

Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji $f$ oraz wykres funkcji $h$, który powstał z wykresu funkcji $f$ w wyniku przesunięcia  wzdłuż osi $Y$ o $4$ jednostki w dół. Widzimy, że:

• $h\left(2\right)=f\left(2\right)-4$

• $h\left(0\right)=f\left(0\right)-4$

• $h\left(-2\right)=f\left(-2\right)-4$

I ogólnie $h\left(x\right)=f\left(x\right)-4$.

Zauważmy, że i tym razem dziedziny obu funkcji są takie same.

R1WZ8iz2JdtQG

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 4 do dwa. W układzie zaznaczono dwa wykresy o tym samym kształcie. Pierwszy z nich oznaczony $y=f\left(x\right)$ rozpoczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, stąd biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do punktu nawias dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, skąd biegnie do zamalowanego punktu nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Drugi wykres $y=h\left(x\right)$ znajduje się poniżej pierwszego wykresu. Wykres ten rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik minus cztery zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, dalej znów biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik minus cztery zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do punktu nawias dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias cztery średnik minus cztery zamknięcie nawiasu.

Niech $b$ będzie liczbą dodatnią, natomiast $f$ pewną funkcją. Aby uzyskać wykres funkcji $g$ danej wzorem $g\left(x\right)=f\left(x\right)+b$, należy wykres funkcji $f$ przesunąć wzdłuż osi $Y$ o $b$ jednostek w górę.

Aby uzyskać wykres funkcji $g$ danej wzorem $g\left(x\right)=f\left(x\right)-b$, należy wykres funkcji $f$ przesunąć wzdłuż osi $Y$ o $b$ jednostek w dół.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f$ oraz wykres funkcji $g$, który powstał z wykresu funkcji $f$ w wyniku przesunięcia  wzdłuż osi $X$ o $3$ jednostki w prawo.

Rp2OTA6Fgs0er

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 3 i pionową osią y od minus 1 do cztery. W układzie zaznaczono dwa wykresy o tym samym kształcie. Pierwszy z nich oznaczony $y=f\left(x\right)$ rozpoczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu, stąd biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do punktu nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu, skąd biegnie do zamalowanego punktu nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu. Drugi wykres $y=g\left(x\right)$ został przesunięty w prawo. Wykres ten rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik cztery zamknięcie nawiasu, dalej znów biegnie ukośnie do punktu nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do punktu dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $⟨-4;0⟩$, zaś dziedziną funkcji $g$ przedział $⟨-1;3⟩$. Spójrzmy teraz na wartości funkcji $f$ oraz $g$ dla kilku wybranych punktów:

Widzimy, że np.: $g\left(2\right)=f\left(-1\right)$, $g\left(1\right)=f\left(-2\right)$, $g\left(0\right)=f\left(-3\right)$.

Ogólnie zachodzi równość:

$g\left(x\right)=f\left(x-3\right)$.

Przesuwając wykres funkcji $f$ wzdłuż osi $X$ o $1$ jednostkę w lewo, uzyskujemy wykres funkcji $h$. Jakim wzorem można opisać funkcję $h$?

R1EprwiqHTk5E

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 2 i pionową osią y od minus 1 do cztery. W układzie zaznaczono dwa wykresy o tym samym kształcie. Pierwszy z nich oznaczony $y=f\left(x\right)$ rozpoczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu, stąd biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do punktu nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu, skąd biegnie do zamalowanego punktu nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu. Drugi wykres $y=h\left(x\right)$ został przesunięty w lewo. Wykres ten rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus pięć średnik jeden zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus cztery średnik cztery zamknięcie nawiasu, dalej znów biegnie ukośnie do punktu nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do punktu minus dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias minus jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie

Spójrzmy na wartości funkcji $f$ oraz $h$ dla kilku wybranych punktów:

Widzimy, że np.: $h\left(-1\right)=f\left(0\right)$, $h\left(-2\right)=f\left(-1\right)$. Ogólnie zachodzi równość: $h\left(x\right)=f\left(x+1\right)$. Dziedziną funkcjidziedzina funkcjiDziedziną funkcji $f$ jest przedział $⟨-4;0⟩$, zaś dziedziną funkcji $h$ jest przedział $⟨-5;-1⟩$.

Niech $a$ będzie liczbą dodatnią, natomiast $f$ pewną funkcją. Aby uzyskać wykres funkcji $h$ danej wzorem $h\left(x\right)=f\left(x-a\right)$, należy wykres funkcji $f$ przesunąć wzdłuż osi $X$ o $a$ jednostek w prawo.

Aby uzyskać wykres funkcji $h$ danej wzorem $h\left(x\right)=f\left(x+a\right)$, należy wykres funkcji $f$ przesunąć wzdłuż osi $X$ o $a$ jednostek w lewo.

Na rysunku został przedstawiony wykres funkcji $y=f\left(x\right)$. W jaki sposób należy przesunąć ten wykres, aby uzyskać wykres funkcji $g\left(x\right)=f\left(x-2\right)$ oraz $h\left(x\right)=f\left(x\right)-1$?

R1eQpepcGEy95

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 3 i pionową osią y od minus 1 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji $y=f\left(x\right)$, który rozpoczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus pięć średnik trzy, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu, dalej biegnie poziomo do punktu minus dwa średnik jeden, skąd biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik trzy, dalej biegnie ukośnie do zamalowanego punktu o współrzędnych nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie

Bezpośrednio z twierdzenia wynika, że w przypadku funkcji $g$ należy przesunąć wykres o $2$ jednostki w prawo, natomiast w przypadku funkcji $h$ o $1$ jednostkę w dół.

RxTNNA1fplqUa

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 2 do trzy. W układzie zaznaczono trzy wykresy. Najpierw linią przerywaną zaznaczono wykres funkcji $y=f\left(x\right)$, który rozpoczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus pięć średnik trzy, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu, dalej biegnie poziomo do punktu minus dwa średnik jeden, skąd biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik trzy, dalej biegnie ukośnie do zamalowanego punktu o współrzędnych nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Drugi wykres $h\left(x\right)=f\left(x\right)-1$ rozpoczyna się w punkcie nawias minus pięć średnik dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie poziomo do punktu nawias minus dwa średnik zero zamknięcie nawiasu, stąd biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do zamalowanego punktu o współrzędnych nawias trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Trzeci wykres $g\left(x\right)=f\left(x-2\right)$ rozpoczyna się w punkcie nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu, dalej biegnie poziomo do punktu nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do punktu nawias dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do zamalowanego punktu o współrzędnych nawias pięć średnik minus jeden.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$. Przesuń ten wykres o $2$ jednostki w prawo i $3$ jednostki w dół. Jaki jest wzór funkcji $g$, której wykres powstał w wyniku tego przesunięcia?

R1f02bUJqYJGH

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 5 i pionową osią y od 0 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji $y=f\left(x\right)$, który rozpoczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus trzy średnik jeden, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu minus dwa średnik jeden, skąd biegnie ukośnie do zamalowanego punktu o współrzędnych nawias trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie

Szukany wykres funkcji $g$ znajdujemy w dwóch krokach: najpierw przesuwamy wykres funkcji $f$ o $2$ jednostki w prawo, uzyskując wykres funkcji $h$, następnie wykres funkcji $h$ przesuwamy o $3$ jednostki w dół, otrzymując wykres funkcji $g$. Po przesunięciu wykresu funkcji $f$ o $2$ jednostki w prawo uzyskaliśmy wykres funkcji: $h\left(x\right)=f\left(x-2\right)$.

RhbXB9LHIFxLO

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 5 i pionową osią y od minus 2 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji $y=h\left(x\right)$, który rozpoczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus jeden średnik jeden, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu minus cztery średnik jeden, skąd biegnie ukośnie do zamalowanego punktu o współrzędnych nawias pięć średnik dwa zamknięcie nawiasu.

Po przesunięciu wykresu funkcji $h$ o 3 jednostki w dół dostaliśmy wykres funkcji:
$g\left(x\right)=h\left(x\right)-3=f\left(x-2\right)-3$.

R1JmnZeULXQLo

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 5 i pionową osią y od minus 2 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji $y=g\left(x\right)$, który rozpoczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus jeden średnik minus dwa, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do zamalowanego punktu o współrzędnych nawias pięć średnik minus jeden zamknięcie nawiasu.

Podsumowując, funkcja $g$ dana jest wzorem:
$g\left(x\right)=f\left(x-2\right)-3$.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $⟨-1;6⟩$. Jaki jest zbiór wartości funkcji $g\left(x\right)=f\left(x\right)+5$?

Rozwiązanie

Wykres funkcji $g$ powstaje z wykresu funkcji $f$ po przesunięciu o $5$ jednostek w górę. Przy przesuwaniu każda wartość zwiększa się o $5$, więc funkcja $g$ ma następujący zbiór wartości $⟨-1+5;6+5⟩$. Podsumowując, zbiorem wartości funkcji $g$ jest przedział: $⟨4;11⟩$.

Jaki jest wzór funkcji $g$, której wykres powstaje z wykresu funkcji $f\left(x\right)=x^2$ po przesunięciu:
a) o $2$ jednostki w prawo;
b) o $3$ jednostki w górę?

Rozwiązanie

a) Na mocy twierdzenia mamy: $g\left(x\right)=f\left(x-2\right)$. Do wzoru funkcji $f$ w miejsce  $x$, podstawiamy $\left(x-2\right)$. Zatem: $g\left(x\right)=f\left(x-2\right)={\left(x-2\right)}^2$.
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, możemy ten wzór zapisać także bez nawiasów:$g\left(x\right)={\left(x-2\right)}^2=x^2-4x+4$.

b) Na mocy twierdzenia wiemy, że: $g\left(x\right)=f\left(x\right)+3=x^2+3$.

Wyznacz wzór oraz dziedzinę funkcji $g$, której wykres otrzymamy po przesunięciu o $3$ jednostki w lewo wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$.

Rozwiązanie

Na mocy twierdzenia: $g\left(x\right)=f\left(x+3\right)=\frac{1}{x+3}$. Dziedziną funkcji $g$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wyrażenie $x+3$ jest różne od zera. A zatem dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych różnych od $\left(-3\right)$. Podsumowując: Funkcja wyraża się wzorem $g\left(x\right)=\frac{1}{x+3}$, a jej dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych różnych od $\left(-3\right)$.

zbiór wszystkich argumentów funkcji

przyporządkowanie każdemu elementowi jednego zbioru dokładnie jednego elementu drugiego zbioru

wykres funkcji $f$ jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych $\left(x;f\left(x\right)\right)$, w prostokątnym uładzie współrzędnych, gdzie $x$ należy do dziedziny tej funkcji, natomiast $f\left(x\right)$ jest wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$.