Przeczytaj
Równaniem kierunkowym
można opisać każdą prostą, która nie jest równoległa do osi . Proste równoległe do osi opisuje się równaniami postaci
W geometrii analitycznej często używa się tzw. równania ogólnego, które obejmuje każdą prostą narysowaną w układzie współrzędnych. Ma ono postać
gdzie , .
Warunek oznacza, że współczynniki i nie są równocześnie równe zeru. Czasami zapisuje się ten fakt inaczej:
Zauważmy, że warunek ten jest niezbędny, aby równanie opisywało prostą. Gdyby bowiem i były jednocześnie równe zeru, równanie opisywałoby:
zbiór pusty, gdy albo
całą płaszczyznę, gdy .
Zwróćmy jeszcze uwagę, że równanie opisuje:
Aby narysować prostą o danym równaniu ogólnym
wystarczy wyznaczyć współrzędne punktów przecięcia prostej z osiami układu współrzędnych. Współrzędne punktu przecięcia prostej z osią są postaci , zatem możemy do równania prostej podstawić
.
Wówczas otrzymujemy kolejno:
Zatem punkt przecięcia z osią ma współrzędne .
Współrzędne punktu przecięcia prostej z osią są postaci , zatem możemy do równania prostej podstawić
.
Wówczas otrzymujemy kolejno:
.
Zatem punkt przecięcia z osią ma współrzędne .
Wystarczy zatem poprowadzić prostą przez punkty i , aby otrzymać wykres równaniawykres równania
Równania kierunkowe prostejRównania kierunkowe prostej zapiszemy w postaci ogólnej.
Równanie kierunkowe prostej | Równanie ogólne prostej |
---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
Aby równanie kierunkowe przekształcić do ogólnego, wystarczy przenieść wszystkie składniki na jedną stronę równania i uporządkować je tak, aby najpierw wystąpił składnik ze zmienną , później składnik ze zmienną , a na końcu wyraz wolny. Zwróćmy przy okazji uwagę, że jeśli prosta opisana jest równaniem kierunkowym, to jest ono tylko jedno. Natomiast każda prosta ma nieskończenie wiele równoważnych równań ogólnych.
Do każdego z równań dopiszemy równania równoważne opisujące tę samą prostą.
Równanie | Równanie | Równanie | Równanie |
---|---|---|---|
Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi , czyli współczynnik w równaniu jest różny od zera, to równanie ogólne można przekształcić do kierunkowego, wyznaczając zmienną w zależności od zmiennej .
Przekształcimy równanie ogólne prostejrównanie ogólne prostej na jej równanie kierunkowe.
Od obu stron równania odejmujemy i , otrzymując
Obie strony równania dzielimy przez , otrzymując
Wprowadzimy jeszcze jedno użyteczne pojęcie związane z prostą. Mianowicie do każdej prostej możemy narysować nieskończenie wiele wektorów prostopadłych - każdy z nich nazywamy wektorem normalnym prostejwektorem normalnym prostej.
Wykorzystując iloczyn skalarny wektorówiloczyn skalarny wektorów, można udowodnić, że współrzędne jednego z wektorów normalnych prostej o równaniu są równe .
Do podanych prostych podamy współrzędne przykładowych wektorów normalnych.
Równanie kierunkowe | Przykładowe równania ogólne | Współrzędne przykładowych wektorów normalnych |
---|---|---|
brak |
Słownik
równanie postaci , gdzie współczynniki i nie są jednocześnie równe zeru; równaniem takiej postaci można opisać dowolną prostą narysowana w układzie współrzędnych
równanie postaci , gdzie ; równaniem takiej postaci można opisać dowolną prostą narysowaną w układzie współrzędnych, która nie jest równoległa do osi
zbiór wszystkich punktów, których współrzędne spełniają dane równanie
każdy wektor prostopadły do danej prostej
wektory: i , liczba oznaczana jako (gdzie znak oznacza mnożenie skalarne w odróżnieniu od zwykłego mnożenia), którą można wyznaczyć na dwa sposoby:
albo inaczej
gdzie to miara kąta pomiędzy wektorami i . Jeden z tych wzorów przyjmujemy jako definicję, zaś drugiego dowodzimy jako twierdzenie