Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Równaniem kierunkowym

y=ax+b,  a,b

można opisać każdą prostą, która nie jest równoległa do osi Y. Proste równoległe do osi Y opisuje się równaniami postaci

x=a,  a.

W geometrii analitycznej często używa się tzw. równania ogólnego, które obejmuje każdą prostą narysowaną w układzie współrzędnych. Ma ono postać

Ax+By+C=0,

gdzie A,B,C,  (A,B)(0,0).

Warunek (A,B)(0,0) oznacza, że współczynniki A i B nie są równocześnie równe zeru. Czasami zapisuje się ten fakt inaczej:

A2+B2>0 albo A2+B20.

Zauważmy, że warunek ten jest niezbędny, aby równanie opisywało prostą. Gdyby bowiem A i B były jednocześnie równe zeru, równanie Ax+By+C=0 opisywałoby:

  • zbiór pusty, gdy C0 albo

  • całą płaszczyznę, gdy C=0.

Zwróćmy jeszcze uwagę, że równanie Ax+By+C=0 opisuje:

a)

prostą równoległą do osi X, gdy A=0B0, równanie tej prostej to

y=-CB.
ep2019.contentplus.io:R1Z799GJeO5xk
b)

prostą równoległą do osi X, gdy A0B=0, równanie tej prostej to

x=-CA.
ep2019.contentplus.io:RJsOduKUuUgpW
c)

prostą przecinającą obie osie układu współrzędnych w punktach o współrzędnych

-CA,00,-CB,

gdy A0B0.

ep2019.contentplus.io:R1GPBOwQSWm4v

Przykład 1

Aby narysować prostą o danym równaniu ogólnym

3x-2y+6=0,

wystarczy wyznaczyć współrzędne punktów przecięcia prostej z osiami układu współrzędnych. Współrzędne punktu przecięcia prostej z osią X są postaci x0,0, zatem możemy do równania prostej podstawić

x=x0, y=0.

Wówczas otrzymujemy kolejno:

3x0-2·0+6=0 3x0=-6 x0=-2

Zatem punkt przecięcia z osią X ma współrzędne -2,0.

Współrzędne punktu przecięcia prostej z osią Y są postaci 0,y0, zatem możemy do równania prostej podstawić

x=0, y=y0.

Wówczas otrzymujemy kolejno:

3·0-2y0+6=0 -2y0=-6y0=3.

Zatem punkt przecięcia z osią X ma współrzędne 0,3.

Wystarczy zatem poprowadzić prostą przez punkty -2,00,3, aby otrzymać wykres równaniawykres równaniawykres równania

3x-2y+6=0.
ep2019.contentplus.io:R1Cl2qeKHfVZb

Przykład 2

Równania kierunkowe prostejrównanie kierunkowe prostejRównania kierunkowe prostej zapiszemy w postaci ogólnej.

Równanie kierunkowe prostej

Równanie ogólne prostej

(y=ax+b)

(ax-y+b=0)

y=-3x+2 (a=-3, b=2)

-3x-y+2=0 (A=-3, B=-1, C=2)

y=πx (a=π, b=0)

πx-y=0 (A=π, B=-1, C=0)

y=-2,5 (a=0, b=-2,5)

y+2,5=0 (A=0, B=1, C=2,5)

y=0 (a=0, b=0)

y=0 (A=0, B=1, C=0)

Aby równanie kierunkowe przekształcić do ogólnego, wystarczy przenieść wszystkie składniki na jedną stronę równania i uporządkować je tak, aby najpierw wystąpił składnik ze zmienną x, później składnik ze zmienną y, a na końcu wyraz wolny. Zwróćmy przy okazji uwagę, że jeśli prosta opisana jest równaniem kierunkowym, to jest ono tylko jedno. Natomiast każda prosta ma nieskończenie wiele równoważnych równań ogólnych.

Przykład 3

Do każdego z równań dopiszemy równania równoważne opisujące tę samą prostą.

Równanie I

Równanie II

Równanie III

Równanie IV

3x-4y+1=0

-3x+4y-1=0

6x-8y+2=0

32x-2y+12=0

-5x+7y=0

5x-7y=0

53x-73y=0

15x-21y=0

2x-3=0

-10x+15=0

x-32=0

23x-1=0

y=0

2y=0

-3y=0

0,73y=0

Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi Y, czyli współczynnik B w równaniu Ax+By+C=0 jest różny od zera, to równanie ogólne można przekształcić do kierunkowego, wyznaczając zmienną y w zależności od zmiennej x.

Przykład 4

Przekształcimy równanie ogólne prostejrównanie ogólne prostejrównanie ogólne prostej na jej równanie kierunkowe.

2x-3y+7=0

Od obu stron równania odejmujemy 2x7, otrzymując

-3y=-2x-7

Obie strony równania dzielimy przez -3, otrzymując

y=23x+73

Wprowadzimy jeszcze jedno użyteczne pojęcie związane z prostą. Mianowicie do każdej prostej możemy narysować nieskończenie wiele wektorów prostopadłych - każdy z nich nazywamy wektorem normalnym prostejwektor normalny prostejwektorem normalnym prostej.

Wykorzystując iloczyn skalarny wektorówiloczyn skalarny wektorówiloczyn skalarny wektorów można udowodnić, że współrzędne jednego z  wektorów normalnych prostej o równaniu Ax+By+C=0 są równe A,B.

ep2019.contentplus.io:R5CACHgldK8ss

Przykład 5

Do podanych prostych podamy współrzędne przykładowych wektorów normalnych.

Równanie kierunkowe

Przykładowe równania ogólne

Współrzędne przykładowych wektorów normalnych

y=5

y-5=0 2y-10=0

[0,-1] [0,2]

y=3x

3x-y=0 32x-12y =0

[3,-1] 32,-12

y=-2x-1

2x+y+1=0 -6x-3y-3=0

[2,1] [-6,-3]

brak

x-3=0 10x-30=0

[1,0] [10,0]

Słownik

równanie ogólne prostej
równanie ogólne prostej

równanie postaci Ax+By+C=0, gdzie współczynniki AB nie są jednocześnie równe zeru; równaniem takiej postaci można opisać dowolną prostą narysowana w układzie współrzędnych

równanie kierunkowe prostej
równanie kierunkowe prostej

równanie postaci y=ax+b, gdzie a, b; równaniem takiej postaci można opisać dowolną prostą narysowaną w układzie współrzędnych, która nie jest równoległa do osi Y

wykres równania
wykres równania

zbiór wszystkich punktów, których współrzędne spełniają dane równanie

wektor normalny prostej
wektor normalny prostej

każdy wektor prostopadły do danej prostej

iloczyn skalarny wektorów
iloczyn skalarny wektorów

wektory: u=u1, u2v=v1, v2, liczba oznaczana jako uv (gdzie znak „” oznacza mnożenie skalarne w odróżnieniu od zwykłego mnożenia), którą można wyznaczyć na dwa sposoby:

uv=u1·v1+u2·v2

albo inaczej

uv=|u|·|v|·cosα,

gdzie α to miara kąta pomiędzy wektorami uv. Jeden z tych wzorów przyjmujemy jako definicję, zaś drugiego dowodzimy jako twierdzenie