Przeczytaj

graniastosłup prawidłowy trójkątny

Definicja: graniastosłup prawidłowy trójkątny

Graniastosłup prawidłowy trójkątny to taki graniastosłup prostygraniastosłup prostygraniastosłup prosty, który ma w podstawie trójkąt równoboczny.

Bryła ta ma pięć ścian: dwie podstawy i trzy ściany boczne. Poniżej prezentujemy tabelę systematyzującą rodzaje odcinków leżących w płaszczyznach tych ścian oraz podającą ich liczbę i długość w zależności od długości krawędzi podstawy $a$ oraz krawędzi bocznej $h$ . Odcinki te zostały zaznaczone w przedstawionym niżej aplecie.

Nazwa odcinka	Oznaczenie	Liczba odcinków w graniastosłupie	Wzór na długość odcinka
Krawędź podstawy	$a$	$6$	-
Krawędź boczna	$h$	$3$	-
Wysokość podstawy	$h_{p}$	$6$	$h_{p} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$
Przekątna ściany bocznej	$d$	$6$	$d = \sqrt{a^{2} + h^{2}}$

RziWdIQnrTox1

Pomiędzy przecinającymi się odcinkami w graniastosłupie powstają różne kąty. Miara części z nich jest stała, innych jest zależna od wymiarów graniastosłupa.

Kąt pomiędzy dwoma krawędziami w podstawie ma miarę $60 °$ , ponieważ figura w podstawie to trójkąt równoboczny.
Kąt pomiędzy krawędzią boczną a dowolnym odcinkiem leżącym w płaszczyźnie podstawy (w tym krawędzią podstawy czy jej wysokością) ma miarę $90 °$ , ponieważ w graniastosłupie prostym każda krawędź boczna jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

Poniżej zajmiemy się więc bardziej skomplikowanymi przypadkami kątów pomiędzy odcinkami w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym.

Kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy leżącą na tej samej ścianie

RZlgBgv2ZHXy6

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C A prim B prim C prim. Na rysunku zaznaczono przekątną ściany bocznej A prim C o długości d oraz odcinek A C o długości a, odcinek A A prim ma długość h. Pomiędzy odcinkiem A prim C oraz A C zaznaczono kąt alfa.

Kąt ten można znaleźć w trójkącie prostokątnym $A C A^{'}$ i wyznaczyć z wartości jednej z funkcji trygonometrycznych:

\sin α = \frac{h}{d}

\cos α = \frac{a}{d}

tg α = \frac{h}{a}

Przykład 1

Wyznaczymy miarę kąta pomiędzy przekątną ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego a krawędzią podstawy leżącą na tej samej ścianie wiedząc, że obwód podstawy wynosi $15$ , a obwód ściany bocznej jest równy $28$ .

Rozwiązanie

Obwód podstawy wynosi $15$ , zatem $a = \frac{15}{3} = 5$ .

Obwód ściany bocznej wynosi $28$ , zatem $2 a + 2 h = 28$ , stąd $h = \frac{28 - 2 \cdot 5}{2} = 9$ .

Obliczamy tangens szukanego kąta

$tg α = \frac{9}{5} = 1, 8$ .

Szukamy odpowiedniej wartości w tablicy wartości funkcji trygonometrycznych.

$α [^{\circ}]$	$\sin α$ $\cos β$	$tg α$	$β [^{\circ}]$
$57$	$0, 8387$	$1, 5399$	$33$
$58$	$0, 8480$	$1, 6003$	$32$
$59$	$0, 8572$	$1, 6643$	$31$
$60$	$0, 8660$	$1, 7321$	$30$
$61$	$0, 8746$	$1, 8040$	$29$
$62$	$0, 8829$	$1, 8807$	$28$
$63$	$0, 8910$	$1, 9626$	$27$

i podajemy odpowiedź: $α \approx 61 °$ .

Kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej a krawędzią boczną

Rbhki0jgCXHnR

Kąt ten można znaleźć w trójkącie prostokątnym $A C A^{'}$ i wyznaczyć z wartości jednej z funkcji trygonometrycznych:

\sin α = \frac{a}{d}

\cos α = \frac{h}{d}

tg α = \frac{a}{h}

Warto zauważyć, że suma miar kątów pomiędzy przekątną ściany bocznej a krawędziami odpowiednio podstawy i boczną wynosi $90 °$ :

|∢ A A^{'} C| + |∢ A^{'} C A| = 90^{\circ}

Przykład 2

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej a krawędzią boczną ma miarę $30 °$ . Przekątna ściany bocznej jest o $4$ dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

$d = a + 4$

$\sin 30^{\circ} = \frac{a}{a + 4}$

$\frac{1}{2} = \frac{a}{a + 4}$

$a + 4 = 2 a$

$a = 4$

$tg 30^{\circ} = \frac{4}{h}$

$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{4}{h}$

$h = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4 \sqrt{3}$

Suma długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa wynosi $6 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \sqrt{3} = 24 + 12 \sqrt{3}$ .

Kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej a wysokością podstawy

RHbkWDHffDgOc

Kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej a wysokością podstawy można znaleźć w trójkącie $D C A^{'}$ . Trójkąt ten jest prostokątny, ponieważ wysokość $C D$ jest prostopadła do ściany $A B B^{'} A$ , a więc jest prostopadła do każdej prostej leżącej w płaszczyźnie ściany, w tym do $A^{'} D$ .

Warto zauważyć, że korzystając z twierdzenia Pitagorasatwierdzenie Pitagorasatwierdzenia Pitagorasa możemy wyznaczyć długość odcinka $A^{'} D$ w zależności od długości krawędzi graniastosłupa

|A^{'} D| = \sqrt{h^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}}

Dane są następujące wartości funkcji trygonometrycznych omawianego kąta:

\sin α = \frac{|A^{'} D|}{d}

\cos α = \frac{h_{p}}{d}

tg α = \frac{|A^{'} D|}{h_{p}}

Przykład 3

Wyznaczymy miarę kąta pomiędzy przekątną ściany bocznej a wysokością podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, w którym krawędź podstawy jest $2$ razy krótsza od krawędzi bocznej.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $a$ długość krawędzi podstawy. Wtedy długość krawędzi bocznej $h = 2 a$ .

Wysokość w podstawie ma długość $h_{p} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Długość przekątnej ściany bocznej $d = \sqrt{a^{2} + {(2 a)}^{2}} = \sqrt{5 a^{2}} = a \sqrt{5}$ .

Obliczamy cosinus szukanego kąta:

$\cos α = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{a \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{10} \approx 0, 3873$

i odczytujemy jego przybliżoną miarę

$α [^{\circ}]$	$\sin α$ $\cos β$	$tg α$	$β [^{\circ}]$
$17$	$0, 2924$	$0, 3057$	$73$
$18$	$0, 3090$	$0, 3249$	$72$
$19$	$0, 3256$	$0, 3443$	$71$
$20$	$0, 3420$	$0, 3640$	$70$
$21$	$0, 3584$	$0, 3839$	$69$
$22$	$0, 3746$	$0, 4040$	$68$
$23$	$0, 3907$	$0, 4245$	$67$
$24$	$0, 4067$	$0, 4452$	$66$
$25$	$0, 4226$	$0, 4663$	$65$

$α \approx 67 °$

Kąt pomiędzy przekątnymi ścian bocznych o wspólnym wierzchołku

RhT0SdxuBRYW9

Kąt pomiędzy przekątnymi ścian bocznych o wspólnym wierzchołku leży w trójkącie równoramiennym $B C A^{'}$ pomiędzy ramionami o długości $d$ , na przeciwko podstawy $a$ . Cosinus tego kąta możemy wyznaczyć powołując się na twierdzenie cosinusówtwierdzenie cosinusówtwierdzenie cosinusów:

{|B C|}^{2} = {|B A^{'}|}^{2} + {|C A^{'}|}^{2} - 2 \cdot |B A^{'}| \cdot |C A^{'}| \cdot \cos α

a^{2} = d^{2} + d^{2} - 2 d^{2} \cos α

2 d^{2} \cos α = 2 d^{2} - a^{2}

\cos α = \frac{2 d^{2} - a^{2}}{2 d^{2}} = 1 - \frac{a^{2}}{2 d^{2}}

Z powyższych wyliczeń wynika, że $\cos α < 1$ , ponieważ powstaje jako różnica liczby $1$ i liczby dodatniej.

Co więcej, z geometrii graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynika, że krawędź podstawy jest krótsza od przekątnej ściany bocznej (ponieważ, przekątna jest przeciwprostokątną w trójkącie o przyprostokątnej $a$ ). Zatem możemy oszacować $\frac{a^{2}}{2 d^{2}} < \frac{d^{2}}{2 d^{2}} = \frac{1}{2}$ .

Uwzględniając szacowanie w wyznaczonym wzorze na cosinus otrzymujemy informację, że $\cos α > \frac{1}{2}$ ponieważ cosinus obliczymy jako różnicę liczby $1$ i liczby mniejszej niż $\frac{1}{2}$ .

Pamiętając o tym, że dla kątów ostrych funkcja cosinus jest malejąca wnioskujemy, że kąt $α$ ma miarę mniejszą niż $60 °$ .

Przykład 4

Obliczymy długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, w którym długość krawędzi bocznej wynosi $8$ , a miara kąta pomiędzy przekątnymi ścian bocznych o wspólnym wierzchołku jest jest równa $α$ , przy czym $\cos α = 0, 82$ .

Rozwiązanie

R1aa7v3g3kYGE

Korzystając z tw. cosinusów w trójkącie $B C A^{'}$ zapisujemy:

$a^{2} = d^{2} + d^{2} - 2 \cdot d \cdot d \cdot 0, 82$

$a^{2} = 2 d^{2} - 1, 64 d^{2}$

$a^{2} = 0, 36 d^{2}$

uwzględniając fakt, że $a > 0$ oraz $d > 0$ otrzymujemy

$a = 0, 6 d$

Zapisujemy tw. Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $B B^{'} A^{'}$ :

$8^{2} + a^{2} = d^{2}$

$64 + {(0, 6 d)}^{2} = d^{2}$

$d^{2} - 0, 36 d^{2} = 64$

$0, 64 d^{2} = 64$

$d^{2} = 100$

$d = 10$ .

Szukana wielkość $a = 0, 6 \cdot 10 = 6$ .

Kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy leżącą na sąsiedniej ścianie bocznej

RQxIsFduo8f8m

Z jednej strony miarę tego kąta możemy wyznaczyć, podobnie jak w poprzednim przypadku, zapisując twierdzenie cosinusów dla trójkąta równoramiennego $B C A^{'}$ .

d^{2} = a^{2} + d^{2} - 2 a d \cos α

\cos α = \frac{a^{2}}{2 a d}

\cos α = \frac{a}{2 d}

Podobnie jak poprzednio, $a < d$ , zatem $\cos α < \frac{d}{2 d} = \frac{1}{2}$ , a więc $α > 60 °$ .

Z drugiej strony, kąt $α$ występuje w trójkącie prostokątnym $C D A^{'}$ , gdzie $D$ jest środkiem krawędzi $B C$ i jednocześnie spodkiem wysokości $A D$ w postawie. Jego miarę możemy wyznaczyć korzystając z wartości funkcji trygonometrycznych

\sin α = \frac{|D A^{'}|}{d}

\cos α = \frac{\frac{a}{2}}{d} = \frac{a}{2 d}

tg α = \frac{|D A^{'}|}{\frac{a}{2}} = \frac{2 |D A^{'}|}{a}

Przykład 5

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym tangens kąta pomiędzy przekątną ściany bocznej, a krawędzią podstawy leżącą na tej samej ścianie jest równy $\frac{4}{3}$ . Wyznaczymy sinus kąta pomiędzy przekątną ściany bocznej, a krawędzią podstawy leżącą na sąsiedniej ścianie bocznej.

Rozwiązanie

Zaznaczmy na rysunku dwa kąty przedstawione w treści zadania.

R7PSSNKS1sE9X

Wiemy, że $tg β = \frac{4}{3}$ , zatem $\frac{h}{a} = \frac{4}{3}$ , czyli $h = \frac{4}{3} a$ .

Z tw. Pitagorasa w trójkącie $B A A^{'}$ otrzymujemy

$d^{2} = a^{2} + h^{2}$

$d = \sqrt{a^{2} + {(\frac{4}{3} a)}^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{16}{9} a^{2}} = \sqrt{\frac{25}{9} a^{2}} = \frac{5}{3} a$

Możemy obliczyć cosinus kąta $α$ korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie $C D A^{'}$ :

$\cos α = \frac{\frac{a}{2}}{d} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{5}{3} a} = \frac{a}{2} \cdot \frac{3}{5 a} = \frac{3}{10}$

Wstawiając wartość cosinusa do jedynki trygonometrycznejjedynka trygonometrycznajedynki trygonometrycznej i pamiętając, że $α$ ma miarę mniejszą niż $180 °$ , otrzymujemy:

$\sin^{2} α + {(\frac{3}{10})}^{2} = 1$

$\sin α = \sqrt{1 - \frac{9}{100}} = \frac{\sqrt{91}}{10}$ .

Słownik

graniastosłup prosty

to graniastosłup, w którym wszystkie krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, a więc wszystkie ściany boczne są prostokątami

twierdzenie Pitagorasa

jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej

twierdzenie cosinusów

w dowolnym trójkącie kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.

RHwp9nPnhLYKm

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C z kątem alfa przy wierzchołku A. Zaznaczono również długości poszczególnych boków, odcinek A B ma długość c, odcinek B C ma długość a, natomiast odcinek A C ma długość b.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α

jedynka trygonometryczna

to tożsamość trygonometryczna mówiąca, że suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest zawsze równa $1$ .

Dla dowolnego kąta $α$ zachodzi:

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1

Wprowadzenie

Animacja 3D

Kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy leżącą na tej samej ścianie

Kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej a krawędzią boczną

Kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej a wysokością podstawy

Kąt pomiędzy przekątnymi ścian bocznych o wspólnym wierzchołku

Kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy leżącą na sąsiedniej ścianie bocznej

Słownik