Przeczytaj
Na początku przypomnimy pojęcie funkcji.
Niech będą dane dwa niepuste zbiory i . Funkcją ze zbioru w zbiór nazywamy przyporządkowanie które:
każdemu elementowi ze zbioru
przyporządkowuje dokładnie jeden element ze zbioru
i oznaczamy .
W języku matematycznym tę treść można zapisać w następujący sposób:
dla każdego istnieje takie , że ,
dla każdego i dla dowolnych , jeżeli spełniony jest warunek i , to .
Zastanówmy się nad następującymi grafami:
Grafy powyżej przedstawiają relację między zbiorami i , które nie są funkcjami. Czyli, aby dane przekształcenie było funkcją, w zbiorze , który nazywamy dziedziną funkcji, nie mogą zostać elementy, od których nie odchodzą strzałki (graf 1). Nie mogą również od jednego elementu z tej dziedziny odchodzić strzałki do dwóch różnych elementów zbioru – przeciwdziedziny (graf 2).
Na grafach poniżej przedstawiono przyporządkowania, które są funkcjami. W przypadku pierwszej funkcji w zbiorze znajdują się elementy, do których nie dochodzą strzałki. W drugiej sytuacji do jednego elementu zbioru dochodzą dwie strzałki z dwóch różnych elementów dziedziny.
Zauważ, że jeśli postawimy wymagania, aby w zbiorze nie było elementów, do których nie dochodzą strzałki i aby do jednego elementu ze zbioru nie dochodziły strzałki z dwóch elementów zbioru , to odwracając strzałki otrzymamy funkcję określoną na zbiorze i przyjmującą wartości w zbiorze .
Formalizując powyższe rozważania możemy zapisać następujące warunki:
dla każdego istnieje takie , że ,
dla każdego i dla dowolnych , jeżeli spełniony jest warunek i , to .
Czy zauważasz symetrię między tymi własnościami, a napisanymi wcześniej warunkami?
Jeśli funkcjafunkcja spełnia pierwszy warunek, to mówimy, że jest „na”„na” cały zbiór . Jeśli funkcja spełnia drugi warunek, to mówimy, że jest różnowartościowa. Funkcję spełniającą te dwa warunki nazywamy funkcją wzajemnie jednoznaczną.
Niech funkcja będzie funkcją wzajemnie jednoznacznąfunkcją wzajemnie jednoznaczną. Funkcję nazywamy funkcją odwrotnąfunkcją odwrotną do funkcji , jeśli:
dla dowolnych elementów oraz spełniony jest warunek:
wtedy i tylko wtedy, gdy .
to symboli funkcji odwrotnej do funkcji . Nie można traktować jako wykładnika całkowitego.
Jeśli funkcja jest wzajemnie jednoznaczna, to istnieje funkcja do niej odwrotna. Taką funkcję nazywamy również funkcją odwracalnąfunkcją odwracalną
Oblicz pole ograniczone osiami układu współrzędnych oraz wykresami: funkcji oraz funkcji do niej odwrotnej.
Rozwiązanie:
Funkcja . Sprawdźmy, czy jest wzajemnie jednoznaczna.
Różnowartościowość: Weźmy dowolne , . Jeśli zachodzi równość , to spełnione są kolejno warunki
Czyli funkcja jest różnowartościowaróżnowartościowa.
Jednocześnie wiemy, że funkcja liniowa, która nie jest stała przyjmuje wszystkie wartości ze zbioru liczb rzeczywistych. Zatem istnieje funkcja odwrotna do funkcji .
Aby wyznaczyć tę funkcję odwrotnąfunkcję odwrotną z równania wyznaczamy niewiadomą . Mamy więc kolejno
Otrzymaliśmy funkcję, której argumentami są . Zmieńmy tę równość na zapis, w którym niewiadomą jest , otrzymujemy , a stosując oznaczenie funkcji odwrotnej: , gdzie .
Znajdźmy współrzędne punktu przecięcia się wykresów funkcji oraz funkcji do niej odwrotnej .
Możemy rozwiązać równanie:
Wówczas . Otrzymujemy punkt .
Drugi sposób znalezienia odciętej punktu przecięcia, to rozwiązanie metodą graficzną, po naniesieniu na układ współrzędnych wykresów funkcji i .
Zauważmy, że wykresy danej funkcji i funkcji odwrotnej do niej są symetryczne względem prostej o równaniu . Z rysunku odczytujemy współrzędne punktu wspólnego obu krzywych.
(Ponieważ punkty spełniające równanie leżą na prostej o równaniu , to rozwiązanie równania jest trzecim sposobem znalezienia odciętej punktu przecięcia wykresów funkcji i do niej odwrotnej).
Pole figury ograniczonej osiami układu oraz wykresami funkcji i do niej odwrotnej wynosi: .
Zwróćmy uwagę, że obydwie funkcje liniowe, zarówno jak i funkcja do niej odwrotna są funkcjami rosnącymi.
Funkcja odwrotna do funkcji rosnącej jest funkcją rosnącą.
Niech będzie funkcją rosnącą. Oznacza to, że dla dowolnych elementów , spełniających warunek zachodzi nierówność lub równoważnie, że z faktu, że wynika, że .
Chcemy pokazać, że funkcja jest rosnąca, czyli że dla dowolnych elementów , spełniających warunek zachodzi nierówność .
Weźmy więc dwa elementy , spełniające warunek . Pamiętajmy, że jest „na”„na” (wynika to z faktu, że posiada funkcję odwrotną), więc istnieją takie i , że oraz . Z faktu, że jest rosnąca mamy, że . Pozostaje zauważyć, że oraz . Zatem .
Sprawdzimy, czy dla funkcji istnieje funkcja odwrotnafunkcja odwrotna.
Rozwiązanie:
Funkcja to wielomian trzeciego stopnia przedstawiony w postaci iloczynowej. Stąd od razu możemy odczytać miejsca zerowe funkcji , są to: oraz . Oznacza to, że , więc nie jest równowartościowa, a zatem nie jest funkcją wzajemnie jednoznacznąfunkcją wzajemnie jednoznaczną. Zatem nie istnieje funkcja odwrotna do .
Sprawdzimy, czy dla funkcji , , istnieje funkcja odwrotna.
Rozwiązanie:
Funkcja jest różnowartościowaróżnowartościowa, ponieważ jest rosnąca. Ale funkcja nie jest „na”, gdyż np. dla nie istnieje taki , że .
Sprawdź, czy dla funkcji , , istnieje funkcja odwrotna.
Rozwiązanie:
Zauważmy, że wzór funkcji jest taki jak w Przykładzie 3. Tym razem zmieniliśmy przeciwdziedzinę. FunkcjaFunkcja jest różnowartościowa, ponieważ jest rosnąca. Jej zbiór wartości – – pokrywa się z przeciwdziedziną, więc jest też „na”. Zatem istnieje funkcja odwrotna . Jest to , gdyż .
Niech , a . Wykaż, że są to funkcje odwrotne do siebie.
Rozwiązanie:
Funkcja oraz . Możliwe są złożenia i oraz . W jednym i drugim złożeniu otrzymaliśmy identyczność, a więc i są funkcjami odwrotnymi do siebie.
Narysujmy wykresy funkcji , i i funkcji do nich odwrotnych.
Wniosek:
Zauważmy, że wykresy funkcji odwrotnych są symetryczne względem prostej opisanej równaniem .
Słownik
funkcją nazywamy takie przyporządkowanie:
które każdemu elementowi ze zbioru
przyporządkowuje dokładnie jeden element ze zbioru
i oznaczamy
funkcja jest „na” cały zbiór wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego istnieje takie , że
funkcja jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego i dla dowolnych , jeżeli spełniony jest warunek i , to
funkcja będąca jednocześnie „na” i różnowartościową
niech funkcja będzie bijekcją; funkcję nazywamy funkcją odwrotną do funkcji , jeśli wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego i
funkcję, dla której istnieje funkcja odwrotna, nazywamy funkcją odwracalną