Przeczytaj

Na początku przypomnimy pojęcie funkcji.

Funkcja

Definicja: Funkcja

Niech będą dane dwa niepuste zbiory $X$ i $Y$ . Funkcją $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przyporządkowanie które:

każdemu elementowi ze zbioru $X$

przyporządkowuje dokładnie jeden element ze zbioru $Y$

i oznaczamy $f : X \to Y$ .

W języku matematycznym tę treść można zapisać w następujący sposób:

dla każdego $x \in X$ istnieje takie $y \in Y$ , że $f (x) = y$ ,

dla każdego $x \in X$ i dla dowolnych $y_{1}$ , $y_{2} \in Y$ jeżeli spełniony jest warunek $f (x) = y_{1}$ i $f (x) = y_{2}$ , to $y_{1} = y_{2}$ .

Zastanówmy się nad następującymi grafami:

R141VBbROwFZR

Ilustracja przedstawia dwie pary zbiorów X oraz Y. W pierwszym zbiorze X znajdują się 4 kropki, trzy z nich połączone są z trzema kropkami w zbiorze Y. Pod spodem znajduję się kolejna para zbiorów X i Y. W pierwszym zbiorze X znajdują się 4 kropki połączone z pięcioma kropkami w zbiorze Y.

Grafy powyżej przedstawiają relację między zbiorami $X$ i $Y$ , które nie są funkcjami. Czyli, aby dane przekształcenie było funkcją, w zbiorze $X$ , który nazywamy dziedziną funkcji, nie mogą zostać elementy, od których nie odchodzą strzałki (graf 1). Nie mogą również od jednego elementu z tej dziedziny odchodzić strzałki do dwóch różnych elementów zbioru $Y$ – przeciwdziedziny (graf 2).

Na grafach poniżej przedstawiono przyporządkowania, które są funkcjami. W przypadku pierwszej funkcji w zbiorze $Y$ znajdują się elementy, do których nie dochodzą strzałki. W drugiej sytuacji do jednego elementu zbioru $Y$ dochodzą dwie strzałki z dwóch różnych elementów dziedziny.

RTlDKmwnU8Qer

Ilustracja przedstawia dwie pary zbiorów. W pierwszej parze w zbiorze X znajdują się cztery kropki, a w zbiorze Y siedem kropek. Połączono wszystkie kropki ze zbioru X pojedynczo z czterema kropkami ze zbioru Y. W drugiej parze w zbiorze X oraz zbiorze Y znajdują się 4 kropki. Połączono wszystkie kropki ze zbioru X z trzema kropkami ze zbioru Y. Dwie kropki ze zbioru X połączone są z jedną kropką ze zbioru Y.

Zauważ, że jeśli postawimy wymagania, aby w zbiorze $Y$ nie było elementów, do których nie dochodzą strzałki i aby do jednego elementu ze zbioru $Y$ nie dochodziły strzałki z dwóch elementów zbioru $X$ , to odwracając strzałki otrzymamy funkcję określoną na zbiorze $Y$ i przyjmującą wartości w zbiorze $X$ .

Formalizując powyższe rozważania możemy zapisać następujące warunki:

dla każdego $y \in Y$ istnieje takie $x \in X$ , że $f (x) = y$ ,

dla każdego $y \in Y$ i dla dowolnych $x_{1}$ , $x_{2} \in X$ jeżeli spełniony jest warunek $f (x_{1}) = y$ i $f (x_{2}) = y$ , to $x_{1} = x_{2}$ .

Czy zauważasz symetrię między tymi własnościami, a napisanymi wcześniej warunkami?

Jeśli funkcjafunkcjafunkcja $f$ spełnia pierwszy warunek, to mówimy, że jest „na”funkcja „na”„na” cały zbiór $Y$ . Jeśli funkcja $f$ spełnia drugi warunek, to mówimy, że jest różnowartościowa. Funkcję spełniającą te dwa warunki nazywamy funkcją wzajemnie jednoznaczną.

RfwgVNs7KUnRh

Ilustracja przedstawia dwa zbiory. W zbiorze X znajdują się cztery kropki, a w zbiorze Y siedem kropek. Połączono wszystkie kropki ze zbioru X pojedynczo z czterema kropkami ze zbioru Y. napis. Funkcja wzajemnie jednoznaczna, różnowartościowa i w cudzysłowie na.

Funkcja odwrotna do funkcji

f

Definicja: Funkcja odwrotna do funkcji

f

Niech funkcja $f : X \to Y$ będzie funkcją wzajemnie jednoznacznąfunkcja wzajemnie jednoznacznafunkcją wzajemnie jednoznaczną. Funkcję $f^{- 1} : Y \to X$ nazywamy funkcją odwrotnąfunkcja odwrotnafunkcją odwrotną do funkcji $f$ , jeśli:

dla dowolnych elementów $x \in X$ oraz $y \in Y$ spełniony jest warunek:

$f^{- 1} (y) = x$ wtedy i tylko wtedy, gdy $y = f (x)$ .

Uwaga!

$f^{- 1}$ to symboli funkcji odwrotnej do funkcji $f$ . Nie można traktować $(- 1)$ jako wykładnika całkowitego.

Jeśli funkcja $f$ jest wzajemnie jednoznaczna, to istnieje funkcja do niej odwrotna. Taką funkcję nazywamy również funkcją odwracalnąfunkcja odwracalnafunkcją odwracalną

Przykład 1

Oblicz pole ograniczone osiami układu współrzędnych oraz wykresami: funkcji $f (x) = 3 x + 4$ oraz funkcji do niej odwrotnej.

Rozwiązanie:

Funkcja $f : ℝ \to ℝ$ . Sprawdźmy, czy jest wzajemnie jednoznaczna.

Różnowartościowość: Weźmy dowolne $x_{1}$ , $x_{2} \in ℝ$ . Jeśli zachodzi równość $f (x_{1}) = f (x_{2})$ , to spełnione są kolejno warunki

$3 x_{1} + 4 = 3 x_{2} + 4$

$3 x_{1} = 3 x_{2}$

$x_{1} = x_{2}$

Czyli funkcja $f$ jest różnowartościowafunkcja różnowartościowaróżnowartościowa.

Jednocześnie wiemy, że funkcja liniowa, która nie jest stała przyjmuje wszystkie wartości ze zbioru liczb rzeczywistych. Zatem istnieje funkcja odwrotna do funkcji $f$ .

Aby wyznaczyć tę funkcję odwrotnąfunkcja odwrotnafunkcję odwrotną z równania $y = 3 x + 4$ wyznaczamy niewiadomą $x$ . Mamy więc kolejno

$y = 3 x + 4$

$y - 4 = 3 x$

$x = \frac{y - 4}{3}$

Otrzymaliśmy funkcję, której argumentami są $y$ . Zmieńmy tę równość na zapis, w którym niewiadomą jest $x$ , otrzymujemy $y = \frac{x - 4}{3}$ , a stosując oznaczenie funkcji odwrotnej: $f^{- 1} (x) = \frac{x - 4}{3}$ , gdzie $f^{- 1} : ℝ \to ℝ$ .

Znajdźmy współrzędne punktu przecięcia się wykresów funkcji $f$ oraz funkcji do niej odwrotnej $f^{- 1}$ .

Możemy rozwiązać równanie: $f (x) = f^{- 1} (x)$

$3 x + 4 = \frac{x - 4}{3}$

$9 x + 12 = x - 4$

$8 x = - 16$

$x = - 2$

Wówczas $f (- 2) = - 6 + 4 = - 2$ . Otrzymujemy punkt $P = (- 2, - 2)$ .

Drugi sposób znalezienia odciętej punktu przecięcia, to rozwiązanie metodą graficzną, po naniesieniu na układ współrzędnych wykresów funkcji $f (x) = 3 x + 4$ i $f^{- 1} (x) = \frac{x - 4}{3}$ .

Zauważmy, że wykresy danej funkcji i funkcji odwrotnej do niej są symetryczne względem prostej o równaniu $y = x$ . Z rysunku odczytujemy współrzędne punktu wspólnego obu krzywych.

(Ponieważ punkty spełniające równanie $f (x) = f^{- 1} (x)$ leżą na prostej o równaniu $y = x$ , to rozwiązanie równania $f (x) = x$ jest trzecim sposobem znalezienia odciętej $x$ punktu przecięcia wykresów funkcji $f$ i do niej odwrotnej).

RqphbjrmMcVxv

Ilustracja przedstawia układ równań z pionową osią od minus 3 do czterech oraz osią poziomą od minus 2 do pięciu. Zaznaczono proste przecinające się w jednym punkcie w trzeciej ćwiartce układu. Pierwsza prosta oznaczona równaniem y=3x+4 , jest prostą rosnącą przecinającą oś Y w punkcie cztery. Druga prosta oznaczona równaniem y=x przecina oś X i Y w początku układu współrzędnych. Trzecia prosta oznaczona równaniem y=13x-43 prosta mająca miejsce zerowe równe cztery. Tworzą one w miejscu przecięcia w rejonie trzeciej ćwiartce trzy figury oznaczone P indeks dolny jeden koniec indeksu będący deltoidem oraz dwa trójkąty P indeks dolny 2 koniec indeksu oraz P indeks dolny 3 koniec indeksu.

Pole figury ograniczonej osiami układu oraz wykresami funkcji $f$ i do niej odwrotnej $f^{- 1}$ wynosi: $P = P_{1} - P_{2} - P_{3} = 2 \cdot 2 - 2 \cdot \frac{2 \cdot \frac{2}{3}}{2} = 4 - \frac{4}{3} = 2 \frac{2}{3} [j^{2}]$ .

Zwróćmy uwagę, że obydwie funkcje liniowe, zarówno $f (x) = 3 x + 4$ jak i funkcja do niej odwrotna $f^{- 1} (x) = \frac{x - 4}{3}$ są funkcjami rosnącymi.

O monotoniczności funkcji odwrotnej

Twierdzenie: O monotoniczności funkcji odwrotnej

Funkcja odwrotna do funkcji rosnącej jest funkcją rosnącą.

Dowód

Niech $f : X \to Y$ będzie funkcją rosnącą. Oznacza to, że dla dowolnych elementów $x_{1}$ , $x_{2} \in X$ spełniających warunek $x_{1} < x_{2}$ zachodzi nierówność $f (x_{1}) < f (x_{2})$ lub równoważnie, że z faktu, że $f (x_{1}) < f (x_{2})$ wynika, że $x_{1} < x_{2}$ .

Chcemy pokazać, że funkcja $f^{- 1}$ jest rosnąca, czyli że dla dowolnych elementów $y_{1}$ , $y_{2} \in Y$ spełniających warunek $y_{1} < y_{2}$ zachodzi nierówność $f^{- 1} (y_{1}) < f^{- 1} (y_{2})$ .

Weźmy więc dwa elementy $y_{1}$ , $y_{2} \in Y$ spełniające warunek $y_{1} < y_{2}$ . Pamiętajmy, że $f$ jest „na”funkcja „na”„na” (wynika to z faktu, że posiada funkcję odwrotną), więc istnieją takie $x_{1}$ i $x_{2} \in X$ , że $f (x_{1}) = y_{1}$ oraz $f (x_{2}) = y_{2}$ . Z faktu, że $f$ jest rosnąca mamy, że $x_{1} < x_{2}$ . Pozostaje zauważyć, że $x_{1} = f^{- 1} (f (x_{1})) = f^{- 1} (y_{1})$ oraz $x_{2} = f^{- 1} (f (x_{2})) = f^{- 1} (y_{2})$ . Zatem $f^{- 1} (y_{1}) < f^{- 1} (y_{2})$ .

Przykład 2

Sprawdzimy, czy dla funkcji $f (x) = (x - 1) {(x + 1)}^{2}$ istnieje funkcja odwrotnafunkcja odwrotnafunkcja odwrotna.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ to wielomian trzeciego stopnia przedstawiony w postaci iloczynowej. Stąd od razu możemy odczytać miejsca zerowe funkcji $f$ , są to: $x_{1} = - 1$ oraz $x_{2} = 1$ . Oznacza to, że $f (- 1) = f (1)$ , więc $f$ nie jest równowartościowa, a zatem nie jest funkcją wzajemnie jednoznacznąfunkcja wzajemnie jednoznacznafunkcją wzajemnie jednoznaczną. Zatem nie istnieje funkcja odwrotna do $f$ .

Przykład 3

Sprawdzimy, czy dla funkcji $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = 100^{x}$ , istnieje funkcja odwrotna.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ jest różnowartościowafunkcja różnowartościowaróżnowartościowa, ponieważ jest rosnąca. Ale funkcja nie jest „na”, gdyż np. dla $y = - 3 \in ℝ$ nie istnieje taki $x \in ℝ$ , że $f (x) = y$ .

Przykład 4

Sprawdź, czy dla funkcji $f : ℝ \to (0, \infty)$ , $f (x) = 100^{x}$ , istnieje funkcja odwrotna.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że wzór funkcji jest taki jak w Przykładzie 3. Tym razem zmieniliśmy przeciwdziedzinę. FunkcjafunkcjaFunkcja $f$ jest różnowartościowa, ponieważ jest rosnąca. Jej zbiór wartości – $(0, \infty)$ – pokrywa się z przeciwdziedziną, więc jest też „na”. Zatem istnieje funkcja odwrotna $f^{- 1} : (0, \infty) \to ℝ$ . Jest to $\log_{100} x$ , gdyż $\log_{100} 100^{x} = x = 100^{\log_{100} x_{}}$ .

Przykład 5

Niech $f (x) = x^{3} - 3$ , a $g (x) = \sqrt[3]{x + 3}$ . Wykaż, że są to funkcje odwrotne do siebie.

Rozwiązanie:

Funkcja $f : ℝ \to ℝ$ oraz $g : ℝ \to ℝ$ . Możliwe są złożenia i $(f \circ g) (x) = f (g (x)) = \sqrt[3]{x + 3}^{3} - 3 = x + 3 - 3 = x$ oraz $(g \circ f) (x) = g (f (x)) = \sqrt[3]{x^{3} - 3 + 3} = \sqrt[3]{x^{3}} = x$ . W jednym i drugim złożeniu otrzymaliśmy identyczność, a więc $f$ i $g$ są funkcjami odwrotnymi do siebie.

Przykład 6

Narysujmy wykresy funkcji $y = 3 x + 4$ , $y = 100^{x}$ i $y = x^{3} - 3$ i funkcji do nich odwrotnych.

RgWI5QPrtYECw

Ilustracja przedstawia układ równań z pionową osią od minus 3 do czterech oraz osią poziomą od minus 5 do pięciu. Zaznaczono proste przecinające się w jednym punkcie w trzeciej ćwiartce układu. Pierwsza prosta o równaniu y=3x+4 jest prostą przecinającą oś Y w punkcie cztery. Druga prosta o równaniu y=x-43 ma miejsce zerowe w punkcie cztery.

RxVSEWjzhfkXr

Ilustracja przedstawia układ równań z pionową osią od minus 0 przecinek 8 do jeden oraz osią poziomą od minus 1 do jeden. Zaznaczono na nim dwie hiperbole znajdujące się w ćwiartce drugiej oraz czwartej. Przez środek układu współrzędnych oraz środki pierwszej i trzeciej ćwiartki przebiega przerywana linia. Hiperbola znajdująca się w drugiej ćwiartce o wzorze y=100x przecina oś Y w punkcie 1, hiperbola znajdująca się w czwartej ćwiartce o wzorze y=log100x przecina oś X w punkcie jeden.

R1AfB2kBSFaAj

Ilustracja przedstawia układ równań z pionową osią od minus 4 do czterech oraz osią poziomą od minus 6 do czterech. Zaznaczono graficzne interpretacje funkcji przecinające się w jednym punkcie w pierwszej ćwiartce układu. Pierwsza o wzorze y=x+33 mająca miejsce zerowe w punkcie minus 3 oraz przecinająca oś Y w punkcie pomiędzy 1 a dwa. Druga o wzorze y=x3-3 mająca miejsce zerowe w punkcie pomiędzy 1 a 2 oraz przecinająca oś Y w punkcie minus trzy.

Wniosek:

Zauważmy, że wykresy funkcji odwrotnych są symetryczne względem prostej opisanej równaniem $y = x$ .

Słownik

funkcja

funkcją nazywamy takie przyporządkowanie:

które każdemu elementowi ze zbioru $X$

przyporządkowuje dokładnie jeden element ze zbioru $Y$

i oznaczamy $f : X \to Y$

funkcja „na”

funkcja jest „na” cały zbiór $Y$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $y \in Y$ istnieje takie $x \in X$ , że $f (x) = y$

funkcja różnowartościowa

funkcja jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $y \in Y$ i dla dowolnych $x_{1}$ , $x_{2} \in X$ jeżeli spełniony jest warunek $f (x_{1}) = y$ i $f (x_{2}) = y$ , to $x_{1} = x_{2}$

funkcja wzajemnie jednoznaczna

funkcja będąca jednocześnie „na” i różnowartościową

funkcja odwrotna

niech funkcja $f : X \to Y$ będzie bijekcją; funkcję $f^{- 1} : Y \to X$ nazywamy funkcją odwrotną do funkcji $f$ , jeśli $f^{- 1} (y) = x$ wtedy i tylko wtedy, gdy $y = f (x)$ dla każdego $x \in X$ i $y \in Y$

funkcja odwracalna

funkcję, dla której istnieje funkcja odwrotna, nazywamy funkcją odwracalną

Wprowadzenie

Infografika

Słownik