Warto przeczytać

Soczewki są elementami optycznymi modyfikującymi bieg promieni w układzie. Jeśli po przejściu przez nie, promień ulega odchyleniu do osi optycznejoś optycznaosi optycznej – mówimy o soczewkach skupiających (Rys. 1.). Jeśli odchyla się on od osi optycznej – mamy do czynienia z soczewkami rozpraszającymi (Rys. 2.). Taka sytuacja ma miejsce wtedy, gdy soczewki znajdują się w ośrodku o  współczynniku załamania mniejszym niż współczynnik. załamania materiału, z którego wykonana jest soczewka. Soczewka dwuwypukła umieszczona w  ośrodku gęstszym optycznie staje się rozpraszająca, i na odwrót.

R1SyBamgKarbL

Rys. 1. przedstawia bieg wiązki świetlnej przez soczewkę dwuwypukłą umieszczoną na tle tablicy z zestawu optycznego z widoczną linijką i fragmentem kątomierza. Widok z góry. Wiązka świetlna zaczynająca bieg z lewej strony, składa się z pięciu jasnoczerwonych promieni równoległych do siebie. Promienie załamują się na obu powierzchniach granicznych soczewki i skupiają się po jej prawej stronie w jednym punkcie, aby następnie stać się wiązka rozbieżną. Ze skali wynika, że skupiają się około 7,6 mm.

Na Rys. 1. widać, jak wiązka promieni równoległych (przyosiowychpromienie przyosioweprzyosiowych) przechodzi przez soczewkę skupiającą (dwuwypukłą). Promienie przecinają się w jednym punkcie – ognisku soczewki. Możemy odczytać, że ogniskowa w podanym przykładzie wynosi 76±1 mm.

R1XBAy8gZuObO

Rys. 2. przedstawia bieg wiązki świetlnej przez soczewkę dwuwklęsłą umieszczoną na tle tablicy z zestawu optycznego z widoczną linijką i fragmentem kątomierza. Widok z góry. Wiązka świetlna zaczynająca bieg z lewej strony, składa się z pięciu jasnoczerwonych promieni równoległych do siebie. Promienie załamują się na obu powierzchniach granicznych soczewki i po przejściu przez soczewkę staje się wiązką rozbieżną.

Na Rys. 2. wiązka promieni równoległych po przejściu przez soczewkę rozpraszającą (dwuwklęsłą) staje się wiązką promieni rozbieżnych. Na zdjęciu widoczne są również promienie odbite od powierzchni soczewki.

RyPJqdTTtrvTe

Rys. 3. przedstawia bieg charakterystycznych promieni w dwuwypukłej symetrycznej soczewce skupiającej. Soczewka ma kolor jasnoszary, promienie - niebieski, a wszystkie oznaczenia są w kolorze czarnym. Na osi optycznej z lewej strony soczewki ustawiono przedmiot w postaci małej pionowej strzałki oznaczonej AB skierowanej do góry. Oznaczono wysokość przedmiotu: h. Po prawej stronie widnieje czerwona pionowa strzałka A prim B prim oznaczająca obraz powstały w soczewce. Na górze zaznaczono strzałkami odległość przedmiotu od soczewki: x, oraz odległość obrazu od soczewki: y. Na osi optycznej, symetrycznie po obu stronach soczewki zaznaczono dwa punkty i oznaczono F - są to ogniska soczewki. W środku soczewki na osi optycznej zaznaczono punkt - środek soczewki i oznaczono: O. Promienie charakterystyczne wychodzą z punku A i biegną w prawo. Promień równoległy do osi optycznej po przejściu przez soczewkę przechodzi przez ognisko z prawej strony; promień biegnący przez środek soczewki nie ulega zmianie podczas przejścia przez soczewkę; promień przechodzący przez ognisko z lewej strony, po przejściu przez soczewkę biegnie równolegle do osi optycznej. Wszystkie promienie skupiają się w punkcie A prim. Powstały obraz jest oznaczony A prim B prim i ma zaznaczoną wysokość h prim.

Jak widać, konstruowanie obrazu opiera się na znajomości biegu promieni. Wystarczy znać bieg dwóch promieni, aby w miejscu ich przecięcia odwzorować obraz A${}^{\prime }$ punktu A (Rys. 3.), z którego te promienie wychodzą. W momencie, gdy założymy że punkt A znajduje się w odległości większej niż ogniskowa, ale mniejszej niż podwójna ogniskowa (f<x<2f), poznamy przebieg przynajmniej trzech różnych promieni. Pierwszy to promień równoległy do osi optycznej po przejściu przez soczewkę, przejdzie on przez ognisko F położone po drugiej stronie soczewki, a kierunek promienia przechodzącego przez środek soczewki nie ulegnie zmianie. Drugi to promień przechodzący przez ognisko F przed soczewką, który po przejściu przez soczewkę pobiegnie równolegle do osi optycznej soczewki. Bieg tego promienia jest analogiczny do biegu promienia pierwszego. Widać, że otrzymamy w tym przypadku obraz rzeczywisty (rzeczywisty – to znaczy, że promienie odtworzą w rzeczywistości przedmiot w postaci obrazu utworzonego z punktów przecięcia się promieni) powiększony i odwrócony. Jeżeli jednak punkt A znajduje się w odległości większej niż podwójna ogniskowa (x>2f), to otrzymamy obraz rzeczywisty odwrócony i pomniejszony. Mamy tu sytuację odwrotną do poprzedniego przypadku (odwrotną w sensie zamiany miejscami przedmiotu i obrazu z odwróceniem zwrotu biegu promieni).

Soczewka jest niekiedy definiowana jako cienka, jeżeli jej grubość jest znacznie mniejsza niż promień krzywizny obu powierzchni załamujących (Rys. 4.). W tym przypadku można uznać, że promienie światła są załamywane przez soczewkę tylko raz. Na rysunku pokazano, że promień światła 1 równoległy do osi optycznej ulega pojedynczemu załamaniu wewnątrz soczewki, a następnie przechodzi przez ognisko soczewki. Inną ważną cechą cienkich soczewek jest to, że promienie światła przechodzące przez środek soczewki nie ulegają odchyleniu od początkowego kierunku, co widać dla promienia światła 2.

R1HJpPN6mlbXw

Rys. 4. przedstawia symetryczną cienką soczewkę dwuwypukłą w kolorze jasnoszarym. Przez środek soczewki biegnie pozioma prosta oznaczająca oś optyczną, na której zaznaczono dwa punkty oznaczające środki krzywizn soczewki. Punkty te stanowią środki okręgów, których fragmenty stanowią boczne ścianki soczewek. Promienie krzywizn narysowano w postaci strzałek o początkach na osi optycznej i zakończeniach na przedłużeniach łuków ścianek soczewki i oznaczono R1 i R2. Po prawej stronie zaznaczono dodatkowo punkt określający położenie ogniska i oznaczono "ognisko". Na dole rysunku narysowano poziomą strzałkę oznaczającą odległość od soczewki do ogniska, to jest ogniskową i oznaczono: f. Kolorem niebieskim narysowano promień światła 1, który biegnie równolegle do osi optycznej, załamuje się w soczewce i po po przejściu przez soczewkę biegnie przez ognisko. Promień światła 2 przechodzi przez środek soczewki bez zmiany swojego biegu.

Przyjrzyjmy się dokładnie obrazom powstającym przy użyciu soczewek. Zacznijmy od soczewki skupiającej. Umieśćmy ją na ławie optycznej, na której zlokalizowany będzie również ekran oraz świecący przedmiot (Rys. 5.). Ulokujmy przedmiot w określonej odległości od soczewki, a  następnie przesuńmy ekran tak, by otrzymany na nim obraz był ostry.

Ri8KB5e2Zce6D

Rys. 5. przedstawia fotografię optycznego zestawu doświadczalnego umieszczonego na dużym stole. Elementy zestawu maja barwę czarną i osadzone są na ławie optycznej. Analizując od prawej, na stole leży zasilacz do lasera. Laser zamocowano na specjalnym uchwycie przytwierdzonym do ławy optycznej. Następnie w odległości większej niż f stoi pusty uchwyt, a w odległości f od tego uchwytu zamocowano soczewką. Odległość między soczewką oraz źródłem światła to x. Skrajnie po lewej stronie umocowano ekran w odległości y od soczewki.

Określmy cechy tego obrazu wybierając je spośród zamieszczonych w Tab. 1.

Tab. 1. Cechy obrazów powstających w soczewkach.

Rozpatrzmy kilka przypadków, najpierw dla soczewki skupiającej, potem - rozpraszającej.

1. umieśćmy przedmiot (w postaci świecącej strzałki) w odległości większej od dwukrotności ogniskowej tej soczewki (x > 2f);

RjiOD003yk9yh

Rys. 6. przedstawia schemat powstawania obrazu w soczewce skupiającej, przedmiotu ustawionego w odległości x większe 2f od soczewki. W centrum umieszczono soczewkę przedstawioną jako pionowy odcinek zakończony z obu stron strzałkami. Na osi optycznej z lewej strony soczewki ustawiono przedmiot w postaci małej pionowej strzałki skierowanej do góry. Po prawej stronie widnieje pionowa strzałka skierowana w dół oznaczająca obraz powstały w soczewce. Na osi optycznej, symetrycznie po obu stronach soczewki zaznaczono dwa punkty i oznaczono wielkie F - są to ogniska soczewki. Promienie charakterystyczne wychodzą z przedmiotu - z grotu strzałki po lewej stronie i biegną w prawo. Promień równoległy do osi optycznej po przejściu przez soczewkę przechodzi przez ognisko F prim z prawej strony; promień biegnący przez środek soczewki nie ulega zmianie podczas przejścia przez soczewkę. Oba promienie skupiają się w punkcie leżącym w grocie strzałki oznaczającej obraz. Na prawo od obrazu zaznaczono jeszcze punkt na osi optycznej wielkie O prim.

Cechy obrazu: rzeczywisty, odwrócony i zmniejszony (Rys. 6.).

2. umieśćmy przedmiot w odległości równej dwukrotności ogniskowej tej soczewki (x = 2f);

RFJbVKAdskokI

Rys. 7. przedstawia schemat powstawania obrazu w soczewce skupiającej, przedmiotu ustawionego w odległości x=2f od soczewki. W centrum umieszczono soczewkę przedstawioną jako pionowy odcinek zakończony z obu stron strzałkami. Na osi optycznej z lewej strony soczewki ustawiono przedmiot w postaci małej pionowej strzałki skierowanej do góry. Po prawej stronie widnieje pionowa strzałka skierowana w dół oznaczająca obraz powstały w soczewce. Na osi optycznej, symetrycznie po obu stronach soczewki zaznaczono dwa punkty i oznaczono wielkie F - są to ogniska soczewki. Promienie charakterystyczne wychodzą z przedmiotu - z grotu strzałki po lewej stronie i biegną w prawo. Promień równoległy do osi optycznej po przejściu przez soczewkę przechodzi przez ognisko F prim z prawej strony; promień biegnący przez środek soczewki nie ulega zmianie podczas przejścia przez soczewkę. Oba promienie skupiają się w punkcie leżącym w grocie strzałki oznaczającej obraz. Obraz powstaje w punkcie wielkie O prim.

Cechy obrazu: rzeczywisty, odwrócony i takiej samej wielkości, co przedmiot (Rys. 7.).

3. umieśćmy przedmiot w odległości mniejszej od dwukrotności ogniskowej tej soczewki oraz większej od ogniskowej (2f > x > f);

R9Ov6iMMuJ4ll

Rys. 8. przedstawia schemat powstawania obrazu w soczewce skupiającej przedmiotu ustawionego w odległości 2f większe x większe f od soczewki. W centrum umieszczono soczewkę przedstawioną jako pionowy odcinek zakończony z obu stron strzałkami. Na osi optycznej z lewej strony soczewki ustawiono przedmiot w postaci małej pionowej strzałki skierowanej do góry. Po prawej stronie widnieje pionowa strzałka skierowana w dół oznaczająca obraz powstały w soczewce. Na osi optycznej, symetrycznie po obu stronach soczewki zaznaczono dwa punkty i oznaczono wielkie F - są to ogniska soczewki. Promienie charakterystyczne wychodzą z przedmiotu - z grotu strzałki po lewej stronie i biegną w prawo. Promień równoległy do osi optycznej po przejściu przez soczewkę przechodzi przez ognisko F prim z prawej strony; promień biegnący przez środek soczewki nie ulega zmianie podczas przejścia przez soczewkę. Oba promienie skupiają się w punkcie leżącym w grocie strzałki oznaczającej obraz. Obraz powstaje na prawo od punktu oznaczonego wielkie O prim.

Cechy obrazu: rzeczywisty, odwrócony i powiększony (Rys. 8.).

4. umieśćmy przedmiot w odległości równej ogniskowej (x = f);

Rvef69ZrIPLVM

Rys. 9. przedstawia schemat powstawania obrazu w soczewce skupiającej, przedmiotu ustawionego w odległości x=f od soczewki. W centrum umieszczono soczewkę przedstawioną jako pionowy odcinek zakończony z obu stron strzałkami. Na osi optycznej z lewej strony soczewki ustawiono przedmiot w postaci małej niebieskiej pionowej strzałki skierowanej do góry. Na osi optycznej, symetrycznie po obu stronach soczewki zaznaczono dwa punkty i oznaczono wielkie F - są to ogniska soczewki, zaznaczono jeszcze dwa punkty oznaczone: po lewej 2F, po prawej wielkie O prim. Dwa promienie charakterystyczne w kolorze czerwonym wychodzą z przedmiotu - z grotu strzałki po lewej stronie i biegną w prawo. Promień równoległy do osi optycznej po przejściu przez soczewkę przechodzi przez ognisko F prim z prawej strony; promień biegnący przez środek soczewki nie ulega zmianie podczas przejścia przez soczewkę. Oba promienie są równoległe do siebie - obraz nie powstaje.

Możemy zauważyć, że w przypadku umieszczenia przedmiotu w ognisku obraz nie powstaje (Rys. 9.).

5. umieśćmy przedmiot w odległości mniejszej od ogniskowej (x < f);

Rt3gDwnde8mhJ

Rys. 10. przedstawia schemat biegu promieni w soczewce skupiającej, przedmiotu ustawionego w odległości x mniejsze f od soczewki. W centrum umieszczono soczewkę przedstawioną jako pionowy odcinek zakończony z obu stron strzałkami. Na osi optycznej z lewej strony soczewki ustawiono przedmiot w postaci małej pionowej strzałki skierowanej do góry. Na osi optycznej, symetrycznie po obu stronach soczewki zaznaczono dwa punkty i oznaczono wielkie F - są to ogniska soczewki. Promienie charakterystyczne wychodzą z przedmiotu - z grotu strzałki po lewej stronie i biegną w prawo. Promień równoległy do osi optycznej po przejściu przez soczewkę przechodzi przez ognisko F prim z prawej strony; promień biegnący przez środek soczewki nie ulega zmianie podczas przejścia przez soczewkę. Oba promienie po przejściu przez soczewkę są rozbieżne. Ich przedłużenia narysowane linią przerywana skupiają się w grocie strzałki leżącej z lewej strony przedmiotu i równoległej do przedmiotu, oznaczającej obraz. Obraz powstaje w ognisku wielkie F po lewej stronie przedmiotu.

Jeśli przedmiot znajdzie się w odległości mniejszej niż ogniskowa soczewki skupiającej, to powstały obraz będzie: pozorny, prosty i powiększony (Rys. 10.).

RelKW0M7aBHW5

Rys. 11. przedstawia schemat biegu promieni w soczewce rozpraszającej, przedmiotu ustawionego w odległości 2f większe x większe f od soczewki. W centrum umieszczono soczewkę przedstawioną jako pionowy odcinek zakończony z obu stron odwróconymi strzałkami. Na osi optycznej z lewej strony soczewki ustawiono przedmiot w postaci małej pionowej strzałki skierowanej do góry. Na osi optycznej, symetrycznie po obu stronach soczewki zaznaczono dwa punkty i oznaczono wielkie F - są to ogniska soczewki. Promienie charakterystyczne wychodzą z przedmiotu - z grotu strzałki po lewej stronie i biegną w prawo. Promień równoległy do osi optycznej po przejściu przez soczewkę przechodzi przez ognisko F prim z prawej strony; promień biegnący przez środek soczewki nie ulega zmianie podczas przejścia przez soczewkę. Oba promienie po przejściu przez soczewkę są rozbieżne. Ich przedłużenia narysowane linią przerywaną skupiają się w grocie strzałki leżącej z lewej strony przedmiotu i równoległej do przedmiotu i oznaczającej obraz. Obraz powstaje na lewo od przedmiotu oraz ogniska.

Obraz powstający w soczewce rozpraszającej jest pozorny, prosty i pomniejszony (Rys. 11.). Taki obraz powstaje niezależnie od odległości przedmiotu od soczewki rozpraszającej.

Jednak taki opis, jaki został przedstawiony powyżej, jest wyidealizowany. Pomija się przy nim powstające zniekształcenia. Jak zatem wygląda to w rzeczywistości? Widać to już na Rys. 1. Obrazem nie jest punkt, lecz odcinek. Wynika to z tak zwanych aberracji, czyli zniekształceń powstającego obrazu. Czym są te aberracje?

R1BJHtuMIWcBz

Rys. 12. przedstawia bieg promieni w soczewce grubej. Promienie biegną od strony lewej, są od siebie równoodległe, padają na soczewkę, załamują się i skupiają się w okolicach jednego punktu, a następnie staja się wiązką rozbieżną. Rysunek jest w kolorze jasnoniebieskim.

Jak pamiętamy, punktowe źródło światła po przejściu przez soczewkę cienką, tworzyło obraz punktowy. Jeśli jednak nie zaniedbamy grubości tego elementu optycznego oraz pominiemy przybliżenie przyosiowe, to pojawi się wówczas problem z ogniskowaniem i promienie padające z dalekiej odległości na soczewkę (początkowo równolegle do osi optycznej) nie przetną się w jednym punkcie (Rys. 12.). Mówi się wówczas o tak zwanej aberracji sferycznejaberracja sferycznaaberracji sferycznej, która związana jest ze wspomnianym faktem, że promienie położone w różnych odległościach pomiędzy środkiem soczewki a jej brzegami, przecinają oś optyczną w różnych miejscach – tym samym zamiast punktu, otrzymujemy odcinek. Im światło przechodzi dalej od osi, tym promienie załamują się bardziej.

Kolejnym problemem, który jest pomijany w  modelu soczewek cienkich, jest aberracja chromatycznaaberracja chromatycznaaberracja chromatyczna. Polega ona na skupianiu się w różny sposób światła o różnych barwach. Światło białe, będące mieszaniną wielu barw, przechodząc przez soczewkę, której grubość nie jest pomijana (a dokładniej chodzi tutaj o  różnicę grubości pomiędzy środkiem a brzegami soczewki), ulega rozszczepieniu. Jest to związane z różnymi współczynnikami załamania dla różnych długości fali λlambda (im większa długość fali λlambda, tym współczynnik załamania jest mniejszy), czyli zjawiskiem dyspersji. Krótsze fale załamują się więc bardziej niż dłuższe. W związku z tym mamy do czynienia z różnymi długościami ogniskowych, a tym samym powstaniem kolorowych obwódek wokół obrazowanych przedmiotów. Widoczne jest to także w przypadku ludzkiego oka, którego soczewka również nie jest wolna od omawianego efektu. Na przykład, gdy obserwujemy ciemne przedmioty na jasnym tle, możemy dostrzec wokół nich pomarańczowe i niebieskie obwódki. Jeśli rozważymy układy optyczne (teleskop, aparat fotograficzny itp.), możemy zauważyć, że aberracja chromatyczna znacznie pogorszy jakość obrazowania. Wyróżniamy dwa typy aberracji chromatycznej: poprzeczną i podłużną (Rys. 13.).

RaFNWQXwvDXaS

Rys. 13. składa się z dwóch rysunków położonych jeden pod drugim. Górny przedstawia zachowanie się dwóch równoległych skrajnych promieni w soczewce symetrycznej skupiającej, padających prostopadle do osi soczewki. Promienie biegną od strony lewej, padają na wierzchołki soczewki, rozszczepiają się na dwa promienie skupiają się parami w dwóch oddzielnych punktach leżących na osi optycznej. Para niebieskich promieni, bardziej ugiętych, skupia się w punkcie bliżej soczewki. Para promieni czerwonych, mniej ugiętych, skupia się nieco dalej na prawo. Nad promieniami napis: aberracja chromatyczna podłużna. Soczewka jest w kolorze jasnoniebieskim. Oś optyczna narysowana linią przerywaną. Dolny rysunek przedstawia zachowanie się dwóch równoległych skrajnych promieni w soczewce symetrycznej skupiającej, padających pod dowolnym kątem do osi soczewki. Promienie biegną od strony lewej, padają na wierzchołki soczewki, rozszczepiają się na dwa promienie i skupiają się parami w dwóch oddzielnych punktach na prostej prostopadłej do osi optycznej. Promień, który pada na górny wierzchołek rozszczepia się na czerwony, lekko ugięty, po przejściu przez soczewkę podążający lekko w górę i w prawo aż do ekranu. Drugi - niebieski – po przejściu przez soczewkę jest prostopadły zarówno do osi soczewki jak i do ekranu, trafia w ekran nieco poniżej promienia czerwonego. Promień po przejściu przez dolny wierzchołek soczewki rozszczepia się na czerwony, który ugina się znacznie i podąża w górę i w prawo aż do miejsca na ekranie, w które trafia promień czerwony z górnego wierzchołka. Promień niebieski, podobnie, podąża w górę i w prawo aż do spotkania z promieniem niebieskim z górnego wierzchołka. Ponad nimi napis, aberracja chromatyczna poprzeczna. Soczewka jest w kolorze jasnoniebieskim. Oś optyczna i prosta do nie prostopadła narysowane są linią przerywaną.

Chcąc uniknąć aberracji, w rzeczywistych układach stosuje się nie jedną soczewkę, lecz zestawy specjalnie dobranych soczewek i ustawia się je odpowiednio względem siebie. Dodatkowo zamienia się (w miarę możliwości) soczewki na zwierciadła.

Słowniczek