Niech oznacza dowolną funkcję określoną w otoczeniu punktu .
Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu zmiennej niezależnej nazywamy funkcję określoną wzorem:
.
Inaczej mówiąc, jest to stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu funkcji.
Na osi zaznaczmy pewien przyrost argumentu funkcji , zaś na osi odpowiadający mu przyrost wartości funkcji.
Przedstawmy opisaną sytuację na poniższym rysunku:
RlFThl7Mg7ZY3
Punkty o współrzędnych: , oraz są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.
Jeżeli wykorzystamy definicję funkcji tangens kąta ostregotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnymtangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, to otrzymujemy następującą zależność:
.
Mając dany wzór funkcji lub jej wykres, możemy wyznaczyć iloraz różnicowy funkcji w punkcie .
Przykład 1
Na wykresie przedstawiono wykres funkcji . Zapiszemy wzór na iloraz różnicowy tej funkcji w punktach i .
RK0TtHJs38sbW
Rozwiązanie:
Z wykresu funkcji odczytujemy współrzędne punktów:
,
.
Obliczamy wartość przyrostu dla argumentu .
Zatem .
Wobec tego, korzystając ze wzoru na iloraz różnicowy funkcji, mamy:
.
Przykład 2
Określmy funkcję wzorem .
Obliczymy iloraz różnicowy tej funkcji w punkcie i przyroście argumentu .
Rozwiązanie:
Jeżeli , to .
Dla mamy:
.
Wobec tego iloraz różnicowy tej funkcji jest równy:
.
Przykład 3
Obliczymy wartość tangensa kąta zaznaczonego na poniższym rysunku.
R8HUrVKJMF4wD
Rozwiązanie:
Z rysunku odczytujemy współrzędne punktów:
,
,
.
Zatem:
,
.
Korzystając z definicji funkcji tangens mamy:
.
Ważne!
W powyższym przykładzie obliczyliśmy iloraz różnicowy funkcji z wykresu w punkcie i przyroście argumentu .
Przykład 4
Sprawdzimy, kiedy iloraz różnicowy funkcji w punkcie wynosi , gdy przyrost argumentu .
Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru na iloraz różnicowy funkcji, rozwiązujemy równanie:
.
Zatem , czyli .
Iloraz różnicowy funkcji w punkcie wynosi , gdy wartość funkcji w punkcie oraz jest taka sama.
Przykład 5
Wykażemy, że iloraz różnicowy funkcji określonej wzorem w punkcie i przyroście argumentu jest równy .
Rozwiązanie:
Jeżeli , to
.
Korzystając ze wzoru na iloraz różnicowy funkcji, dla mamy:
.
Słownik
iloraz różnicowy funkcji
iloraz różnicowy funkcji
stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu funkcji
tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta ostrego do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie