Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Wprowadźmy definicję ilorazu różnicowego funkcjiiloraz różnicowy funkcjiilorazu różnicowego funkcji.

Iloraz różnicowy funkcji
Definicja: Iloraz różnicowy funkcji

Niech fx oznacza dowolną funkcję określoną w otoczeniu punktu x0.

Ilorazem różnicowym funkcji fx w punkcie x0 dla przyrostu h zmiennej niezależnej x nazywamy funkcję określoną wzorem:

Uh=fx0+h-fx0h

Inaczej mówiąc, jest to stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu funkcji.

Na osi X zaznaczmy pewien przyrost argumentu funkcji f, zaś na osi Y odpowiadający mu przyrost wartości funkcji.

Przedstawmy opisaną sytuację na poniższym rysunku:

RlFThl7Mg7ZY3

Punkty o współrzędnych: x0,fx0, x0+h,fx0 oraz x0+h,fx0+h są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Jeżeli wykorzystamy definicję funkcji tangens kąta ostregotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnymtangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, to otrzymujemy następującą zależność:

tgα=fx0+h-fx0h

Mając dany wzór funkcji lub jej wykres, możemy wyznaczyć iloraz różnicowy funkcji w punkcie x0.

Przykład 1

Na wykresie przedstawiono wykres funkcji f. Zapiszemy wzór na iloraz różnicowy tej funkcji w punktach AB.

RK0TtHJs38sbW

Rozwiązanie:

Z wykresu funkcji odczytujemy współrzędne punktów:

A=x1,y1,

B=x2,y2.

Obliczamy wartość przyrostu h dla argumentu x1.

Zatem h=x2-x1.

Wobec tego, korzystając ze wzoru na iloraz różnicowy funkcji, mamy:

fx0+h-fx0h=fx2-fx1x2-x1.

Przykład 2

Określmy funkcję f wzorem fx=x-1.

Obliczymy iloraz różnicowy tej funkcji w punkcie x0=2 i przyroście argumentu h=8.

Rozwiązanie:

Jeżeli x0=2, to fx0=f2=2-1=1.

Dla h=8 mamy:

fx0+h=f2+8=f10=10-1=3.

Wobec tego iloraz różnicowy tej funkcji jest równy:

fx0+h-fx0h=f10-f28=3-18=14.

Przykład 3

Obliczymy wartość tangensa kąta zaznaczonego na poniższym rysunku.

R8HUrVKJMF4wD

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy współrzędne punktów:

A=-6,2,

O=-6,-1,

B=3,-1.

Zatem:

AO=3,

OB=9.

Korzystając z definicji funkcji tangens mamy:

tgα=39=13.

Ważne!

W powyższym przykładzie obliczyliśmy iloraz różnicowy funkcji z wykresu w punkcie A i przyroście argumentu h=9.

Przykład 4

Sprawdzimy, kiedy iloraz różnicowy funkcji w punkcie x0 wynosi 0, gdy przyrost argumentu h0.

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru na iloraz różnicowy funkcji, rozwiązujemy równanie:

0=fx0+h-fx0h.

Zatem fx0+h-fx0=0, czyli fx0+h=fx0.

Iloraz różnicowy funkcji w punkcie x0 wynosi 0, gdy wartość funkcji w punkcie x0 oraz x0+h jest taka sama.

Przykład 5

Wykażemy, że iloraz różnicowy funkcji f określonej wzorem fx=ax2+bx+c w punkcie x0,fx0 i przyroście argumentu h=1 jest równy 2ax0+a+b.

Rozwiązanie:

Jeżeli fx=ax2+bx+c, to

fx0=ax02+bx0+c.

Korzystając ze wzoru na iloraz różnicowy funkcji, dla h=1 mamy:

fx0+h-fx0h=fx0+1-fx0=

=a·x0+12+b·x0+1+c-ax02+bx0+c=

=ax02+2ax0+a+bx0+b+c-ax02-bx0-c=

=2ax0+a+b.

Słownik

iloraz różnicowy funkcji
iloraz różnicowy funkcji

stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu funkcji

tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta ostrego do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie