Przeczytaj

Wprowadźmy definicję ilorazu różnicowego funkcjiiloraz różnicowy funkcjiilorazu różnicowego funkcji.

Iloraz różnicowy funkcji

Definicja: Iloraz różnicowy funkcji

Niech $f (x)$ oznacza dowolną funkcję określoną w otoczeniu punktu $x_{0}$ .

Ilorazem różnicowym funkcji $f (x)$ w punkcie $x_{0}$ dla przyrostu $h$ zmiennej niezależnej $x$ nazywamy funkcję określoną wzorem:

U (h) = \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}

Inaczej mówiąc, jest to stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu funkcji.

Na osi $X$ zaznaczmy pewien przyrost argumentu funkcji $f$ , zaś na osi $Y$ odpowiadający mu przyrost wartości funkcji.

Przedstawmy opisaną sytuację na poniższym rysunku:

RlFThl7Mg7ZY3

Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano dwa obiekty. Pierwszy w nich to parabola o ramionach skierowanych do góry i o wierzchołku w pierwszej ćwiartce układu. Parabolę tę przecina w dwóch punktach ukośna prosta nachylona do poziomej osi X pod ostrym kątem alfa. Prosta ta opisana jest wzorem y=tgα·x+b. Pierwszy punkt przecięcia ma współrzędne x0;fx0, które zrzutowano na obie osie. Punkt drugi przecięcia ma współrzędne x0+h;fx0+h. Punkt ten również zrzutowano na obie osie. Dodatkowo z pierwszego punktu wykreślono w prawo odcinek o długości h, jest to różnica między pierwszymi współrzędnymi obu punktów. Z drugiego punktu poprowadzono w dół pionowy odcinek o długości fx0+h-fx0. Dorysowane odcinki tworzą trójkąt prostokątny wraz z odcinkiem znajdującym się na prostej pomiędzy punktami przecięcia z parabolą. Zaznaczono dwa kąty wewnętrzne w tym trójkącie: kąt alfa między poziomym odcinkiem a odcinkiem na prostek oraz kąt prosty między poziomym i pionowym odcinkiem.

Punkty o współrzędnych: $(x_{0}, f (x_{0}))$ , $(x_{0} + h, f (x_{0}))$ oraz $(x_{0} + h, f (x_{0}) + h)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Jeżeli wykorzystamy definicję funkcji tangens kąta ostregotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, to otrzymujemy następującą zależność:

tg α = \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}

Mając dany wzór funkcji lub jej wykres, możemy wyznaczyć iloraz różnicowy funkcji w punkcie $x_{0}$ .

Przykład 1

Na wykresie przedstawiono wykres funkcji $f$ . Zapiszemy wzór na iloraz różnicowy tej funkcji w punktach $A$ i $B$ .

RK0TtHJs38sbW

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześć do dziewięć oraz z pionową osią Y od minus cztery do trzy. W układzie współrzędnych zaznaczono wykres funkcji f, który składa się dwóch ukośnych półprostych o wspólnym początku. Lewa półprosta biegnie przez drugą, trzecią i czwartą ćwiartkę między innymi przez punkty -2;0 oraz 0;-2, a jej początek znajduje się w punkcie 2;-4. Jest to jednocześnie początek drugiej półprostej, która biegnie między innymi przez punkt 6;0. Wyróżniono dwa punkty należące do wykresu. Są to A=x1;y1 należący do lewej półprostej. Punkt ten znajduje się w drugiej ćwiartce. Drugi wyróżniony punkt to B=x2;y2 należący do prawej półprostej. Punkt ten znajduje się w czwartej ćwiartce.

Rozwiązanie:

Z wykresu funkcji odczytujemy współrzędne punktów:

$A = (x_{1}, y_{1})$ ,

$B = (x_{2}, y_{2})$ .

Obliczamy wartość przyrostu $h$ dla argumentu $x_{1}$ .

Zatem $h = x_{2} - x_{1}$ .

Wobec tego, korzystając ze wzoru na iloraz różnicowy funkcji, mamy:

$\frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$ .

Przykład 2

Określmy funkcję $f$ wzorem $f (x) = \sqrt{x - 1}$ .

Obliczymy iloraz różnicowy tej funkcji w punkcie $x_{0} = 2$ i przyroście argumentu $h = 8$ .

Rozwiązanie:

Jeżeli $x_{0} = 2$ , to $f (x_{0}) = f (2) = \sqrt{2 - 1} = 1$ .

Dla $h = 8$ mamy:

$f (x_{0} + h) = f (2 + 8) = f (10) = \sqrt{10 - 1} = 3$ .

Wobec tego iloraz różnicowy tej funkcji jest równy:

$\frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} = \frac{f (10) - f (2)}{8} = \frac{3 - 1}{8} = \frac{1}{4}$ .

Przykład 3

Obliczymy wartość tangensa kąta zaznaczonego na poniższym rysunku.

R8HUrVKJMF4wD

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedem do osiem oraz z pionową osią Y od minus trzy do pięć. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f, który jest parabolą o ramionach zwróconych w górę i o wierzchołku w punkcie 0;-2. Na paraboli zaznaczono dwa punkty: A=-6;2 oraz punkt B=3;-1. Prze punkty A i B wykreślono ukośną prostą. Z punktu A poprowadzono pionowy odcinek w dół do punktu O=-6;-1 oraz z punktu B poprowadzono poziomy odcinek do punktu B. Odcinki utworzylu trójkąt prostokątny, gdzie odcinki A O oraz B O to przyprostokątne, między którymi zaznaczono kąt prosty, a odcinek A B to przeciwprostokątna. Przy wierzchołku B zaznaczono kąt wewnętrzny trójkąta alfa. Jest to kąt ostry.

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy współrzędne punktów:

$A = (- 6, 2)$ ,

$O = (- 6, - 1)$ ,

$B = (3, - 1)$ .

Zatem:

$|A O| = 3$ ,

$|O B| = 9$ .

Korzystając z definicji funkcji tangens mamy:

$tg α = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ .

Ważne!

W powyższym przykładzie obliczyliśmy iloraz różnicowy funkcji z wykresu w punkcie $A$ i przyroście argumentu $h = 9$ .

Przykład 4

Sprawdzimy, kiedy iloraz różnicowy funkcji w punkcie $x_{0}$ wynosi $0$ , gdy przyrost argumentu $h \neq 0$ .

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru na iloraz różnicowy funkcji, rozwiązujemy równanie:

$0 = \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$ .

Zatem $f (x_{0} + h) - f (x_{0}) = 0$ , czyli $f (x_{0} + h) = f (x_{0})$ .

Iloraz różnicowy funkcji w punkcie $x_{0}$ wynosi $0$ , gdy wartość funkcji w punkcie $x_{0}$ oraz $x_{0} + h$ jest taka sama.

Przykład 5

Wykażemy, że iloraz różnicowy funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ w punkcie $(x_{0}, f (x_{0}))$ i przyroście argumentu $h = 1$ jest równy $2 a x_{0} + a + b$ .

Rozwiązanie:

Jeżeli $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , to

$f (x_{0}) = a {x_{0}}^{2} + b x_{0} + c$ .

Korzystając ze wzoru na iloraz różnicowy funkcji, dla $h = 1$ mamy:

$\frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} = f (x_{0} + 1) - f (x_{0}) =$

$= a \cdot {(x_{0} + 1)}^{2} + b \cdot (x_{0} + 1) + c - (a {x_{0}}^{2} + b x_{0} + c) =$

$= a {x_{0}}^{2} + 2 a x_{0} + a + b x_{0} + b + c - a {x_{0}}^{2} - b x_{0} - c =$

$= 2 a x_{0} + a + b$ .

Słownik

iloraz różnicowy funkcji

stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu funkcji

tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta ostrego do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie

Wprowadzenie

Infografika

Słownik