Jeśli liczbę dwucyfrową $K$ pomnożymy przez sumę cyfr tej liczby, to otrzymamy $1264$. Znajdziemy liczbę $K$ wiedząc, że cyfra jedności tej liczby jest o $2$ większa od cyfry dziesiątek.

$x$ – cyfra dziesiątek liczby $K$, $x\in \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\right\}$

$x+2$ – cyfra jedności liczby $K$

$K=10x+x+2$ – szukana liczba

$x+x+2$ – suma cyfr liczby $K$

Zapisujemy i rozwiązujemy równanie wynikające z treści zadania.

$\left(10x+x+2\right)\left(x+x+2\right)=1264$

$\left(11x+2\right)\left(2x+2\right)=1264 |:2$

$\left(11x+2\right)\left(x+1\right)=632$

$11x^2+11x+2x+2=632$

$11x^2+13x-630=0$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego i pierwiastki.

$∆=169+27720=27889$

$\sqrt{∆}=167$

$x_1=\frac{-13-167}{22}=-8\frac{4}{22}$ – nie spełnia warunków zadania, bo jest to liczba ujemna (i znaleziona liczba nie jest liczbą całkowitą).

$x_2=\frac{-13+167}{22}=7$

Szukana liczba to

$10·7+7+2=79$

Odpowiedź:

Szukana liczba to $K=79$.

Znajdź dwie liczby naturalne dodatnie takie, że ich największy wspólny dzielnik jest równy $14$, a najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa $630$.

Oznaczmy:

$x$, $y$ – szukane liczby

Na podstawie tego, że $NWD\left(x, y\right)=14$, możemy zapisać

$x=14a$, gdzie $a\in {\mathbb{N}}_{+}$

$y=14b$, gdzie $b\in {\mathbb{N}}_{+}$ i liczby $a$, $b$ są względnie pierwsze

Ponieważ $NWW\left(x, y\right)=630$, zatem

$14ab=630 |:14$

$ab=45$

Otrzymaliśmy równanie z dwiema niewiadomymi, które musimy rozwiązać w zbiorze liczb naturalnych.

Lewa strona równania jest iloczynem dwóch liczb względnie pierwszych, zatem chcąc znaleźć te liczby – zapisujemy liczbę $45$ w postaci iloczynu i porównujemy odpowiednie czynniki.

$ab=1·45$, zatem $a=1$, $b=45$, $1·45=45$ i $1·14=14$, $45·14=630$

$ab=3·15$ – liczby $a$, $b$ nie są względnie pierwsze

$ab=5·9$, zatem $a=5$, $b=9$, $5·14=70$, $9·14=126$

Odpowiedź:

Otrzymujemy dwie pary liczb spełniających warunki zadania $14$ i $630$ oraz $70$ i $126$.

Znajdziemy wszystkie trójki liczb naturalnych dodatnich spełniających równanie

$x^{2022}+y^{2022}-8z^{2022}=6$

Aby rozwiązać równanie, każdą z potęg zapisujemy w postaci kwadratu.

$x^{2022}+y^{2022}-8z^{2022}=6$

${\left(x^{1011}\right)}^2+{\left(y^{1011}\right)}^2-8{\left(z^{1011}\right)}^2=6$

Otrzymane równanie jest równaniem z trzema niewiadomymi, więc trudno je rozwiązać, przekształcając dalej w sposób równoważny.

Można albo zgadnąć rozwiązania, albo znaleźć je, korzystając z własności potęg lub udowodnić, że rozwiązania nie ma.

Najprościej jest skorzystać z teorii podzielności.

Zauważmy, że kwadrat liczby całkowitej w dzieleniu przez $8$ daje resztę $0$, $1$ lub $4$. Zatem suma kwadratów dwóch liczb naturalnych dodatnich w dzieleniu przez $8$ może dać resztę $0$, $2$, $4$ lub $5$.

Liczba $8{\left(z^{1011}\right)}^2$ jest podzielna przez $8$. Zatem, gdyby istniały liczby spełniające warunki zadania, to liczba ${\left(x^{1011}\right)}^2+{\left(y^{1011}\right)}^2$ w dzieleniu przez $8$ musiałaby dać resztę $6$, co jak stwierdziliśmy, jest niemożliwe. Rozważane równanie nie ma więc rozwiązania.

Odpowiedź:

Nie istnieją liczby naturalne dodatnie spełniające warunki zadania.

Suma dwóch liczb jest równa $1$. A suma odwrotności tych liczb jest równa $\frac{16}{3}$. Znajdziemy te liczby.

Oznaczmy:

$x$ – pierwsza liczba, $x\ne 0$

$1-x$ – druga liczba, $1-x\ne 0$

Układamy równanie wynikające z treści zadania.

$\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}=\frac{16}{3}$

Mnożymy obie strony równania przez $3x\left(1-x\right)$ i skracamy.

$3\left(1-x\right)+3x=16x\left(1-x\right)$

$3-3x+3x=16x-16x^2$

$16x^2-16x+3=0$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które rozwiązujemy.

$∆=256-192=64$

$x_1=\frac{16-8}{32}=\frac{1}{4}$

$x_2=\frac{16+8}{32}=\frac{24}{32}=\frac{3}{4}$

Obie uzyskane liczby spełniają warunki zadania.

Jeśli $x_1=\frac{1}{4}$, to druga z szukanych liczb jest równa $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.

Jeśli $x_2=\frac{3}{4}$, to druga z szukanych liczb jest równa $1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$.

Odpowiedź:

Szukane liczby to $\frac{1}{4}$ i $\frac{3}{4}$.

Dane są cztery kolejne liczby całkowite.

Suma sześcianów trzech z tych liczb jest równa sześcianowi największej z tych liczb. Wykażemy, że iloczyn tych liczb jest większy od $300$.

Oznaczmy:

$x-1$, $x$, $x+1$, $x+2$ – dane liczby, gdzie $x$ – liczba całkowita

Zapisujemy równanie wynikające z treści zadania.

${\left(x-1\right)}^3+x^3+{\left(x+1\right)}^3={\left(x+2\right)}^3$

Podnosimy do sześcianu zapisane wyrażenia i redukujemy wyrazy podobne.

$x^3-3x^2+3x-1+x^3+x^3+3x^2+3x+1=x^3+6x^2+12x+8$

$2x^3-6x^2-6x-8=0$

Dzielimy obie strony równania przez $2$.

$x^3-3x^2-3x-4=0$

Rozwiązań równania szukamy wśród dzielników wyrazu wolnego $4$. Metodą prób i błędów możemy stwierdzić, że jednym w pierwiastków równania jest liczba $4$. Korzystając z tego, rozkładamy na czynniki lewą stronę równania.

$x^3-4x^2+x^2-4x+x-4=0$

$x^2\left(x-4\right)+x\left(x-4\right)+\left(x-4\right)=0$

$\left(x-4\right)\left(x^2+x+1\right)=0$

Zapisujemy równanie w postaci równoważnej alternatywy.

$x-4=0\Rightarrow x=4$

lub

$x^2+x+1=0\Rightarrow ∆=-3<0$ – równanie nie ma rozwiązania.

Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest liczba $4$.

$x-1=4-1=3$

$x+1=5$

$x+2=6$

Określamy iloczyn tych liczb: $3·4·5·6=360>300$.

Odpowiedź:

Iloczyn szukanych liczb jest większy od $300$, co należało wykazać.