Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Rozwiązywanie trójkątów

Przez rozwiązywanie trójkąta będziemy rozumieli wyznaczanie długości wszystkich jego boków i miar wszystkich jego kątów.

Przykład 1

Rozważmy trójkąt, w którym jeden z kątów ma miarę 45°, a bok leżący naprzeciw tego kąta ma długość 8, zaś drugi z kątów ma miarę 30°. Wyznaczymy miarę trzeciego kąta tego trójkąta i długości jego dwóch pozostałych boków.

Oczywiście miarę trzeciego kąta tego trójkąta wyznaczymy korzystając z bilansu kątów:

180°-30°-40°=110°, a do wyznaczenia długości jego boków posłużymy się definicjami odpowiednich funkcji trygonometrycznych w trójkątach prostokątnych, jakie powstaną, gdy poprowadzimy odpowiednio wysokości.

Przyjmijmy oznaczenia takie, jak na rysunku.

RBsq2hAQ2SSJN

Wtedy mamy oczywiście sinβ=ha, a stąd h=a·sinβ. Podobnie sinα=hb, a stąd h=b·sinα. Zatem h=b·sinα oraz h=a·sinβ, czyli b·sinα=a·sinβ. Możemy już teraz podstawić wartości liczbowe: b·sin45°=8·sin30° i wyznaczyć, że b=8·1222=82=2.

Zauważmy, że równość bsinα=asinβ możemy zapisać w postaci proporcji: bsinβ=asinα Dokonamy teraz pewnych modyfikacji naszego rysunku poprzez dorysowanie wysokości H poprowadzonej z wierzchołka kąta o mierze 30 i usunięcie wysokości h.

R1dRkYxd6PvZM

Teraz mamy oczywiście sinα=Hc oraz sin750=Ha. Stąd H=csinα oraz H=asin75, czyli asin75=csinα. Zatem  c=8sin7522=4sin75. Pozostaje odczytać z tablic wartość sinusa kąta  i podać przybliżony wynik, albo skorzystać z dokładnej wartości (odpowiedni wzór można znaleźć w dostępnych źródłach) i zapisać, że c=4sin75=4(6+24)=6+2.

Podobnie jak wcześniej, równość  asin75=csinα możemy zapisać w postaci proporcji:

csin75°=asinα

Ponieważ sin75°=sin180°-75°=sin180°-45°-30°=sin(180°-α-β)=sinγ

więc wcześniejszą proporcję można zapisać, jako: csinγ=asinα

Ponieważ csinγ=asinα oraz bsinβ=asinα, więc asinα=bsinβ=csinγ

Otrzymana w naszym przykładzie zależność oznacza, że stosunek długości boku trójkąta do sinusa kąta leżącego naprzeciw tego boku jest wielkością stałą.  

Pozostaje zbadać, czy zależność ta jest prawdziwa dla dowolnego trójkąta, a jeśli tak, to czym jest ta stała wielkość, będąca ilorazem długości boku i sinusa odpowiedniego kąta w danym trójkącie.

Twierdzenie sinusów (twierdzenie Snelliusa)

W dowolnym trójkącie na płaszczyźnie stosunki długości boków do sinusów przeciwległych kątów są równe średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie: 

asinα=bsinβ=csinγ=2R
Dowód:

Rozważmy najpierw trójkąt prostokątny i przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

RTRfmyTF70rUX

Bezpośrednio z definicji funkcji sinus kąta w trójkącie prostokątnymsinus kąta w trójkącie prostokątnymsinus kąta w trójkącie prostokątnym mamy: sinα=a2R, czyli 2R=asinα. Analogicznie możemy postąpić z drugą przyprostokątną. Pamiętając, że sin90°=1 oraz przyjmując oznaczenie c=2R, możemy zapisać, że csin90°=2R. Co kończy dowód w przypadku trójkąta prostokątnego.

Rozważmy teraz dowolny trójkąt ostrokątny ABC i przyjmijmy oznaczenia takie, jak na rysunku.  

Odcinek CD jest średnicą okręgu (trójkąt CBD jest prostokątny).

RIibVIRvpJYKw

Pokażemy, że asinα=2R. Zauważmy, że kąty α i γ są kątami wpisanymi w dany okrąg i są oparte na tym samym łuku, zatem są równe. Stąd sinα=sinγ. Ale sinγ=|BC|CD=a2R, więc 2R=asinγ=asinα, co należało wykazać.

Analogicznie, dorysowując odpowiednio średnice i cięciwy poprowadzone z pozostałych wierzchołków, można udowodnić, że stosunek długości każdego z pozostałych boków do sinusa kąta leżacego naprzeciwko danego boku jest równy średnicy okręgu opisanego na danym trójkącie.

Dowód w przypadku trójkąta rozwartokątnego jest treścią Ćwiczenia 1.

Słownik

sinus kąta w trójkącie prostokątnym
sinus kąta w trójkącie prostokątnym

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej w tym trójkącie