Przeczytaj
Rozwiązywanie trójkątów
Przez rozwiązywanie trójkąta będziemy rozumieli wyznaczanie długości wszystkich jego boków i miar wszystkich jego kątów.
Rozważmy trójkąt, w którym jeden z kątów ma miarę , a bok leżący naprzeciw tego kąta ma długość , zaś drugi z kątów ma miarę . Wyznaczymy miarę trzeciego kąta tego trójkąta i długości jego dwóch pozostałych boków.
Oczywiście miarę trzeciego kąta tego trójkąta wyznaczymy korzystając z bilansu kątów:
, a do wyznaczenia długości jego boków posłużymy się definicjami odpowiednich funkcji trygonometrycznych w trójkątach prostokątnych, jakie powstaną, gdy poprowadzimy odpowiednio wysokości.
Przyjmijmy oznaczenia takie, jak na rysunku.
Wtedy mamy oczywiście , a stąd . Podobnie , a stąd . Zatem oraz , czyli . Możemy już teraz podstawić wartości liczbowe: i wyznaczyć, że .
Zauważmy, że równość możemy zapisać w postaci proporcji: Dokonamy teraz pewnych modyfikacji naszego rysunku poprzez dorysowanie wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta o mierze i usunięcie wysokości .
Teraz mamy oczywiście oraz . Stąd oraz , czyli . Zatem . Pozostaje odczytać z tablic wartość sinusa kąta i podać przybliżony wynik, albo skorzystać z dokładnej wartości (odpowiedni wzór można znaleźć w dostępnych źródłach) i zapisać, że .
Podobnie jak wcześniej, równość możemy zapisać w postaci proporcji:
Ponieważ ,
więc wcześniejszą proporcję można zapisać, jako:
Ponieważ oraz , więc
Otrzymana w naszym przykładzie zależność oznacza, że stosunek długości boku trójkąta do sinusa kąta leżącego naprzeciw tego boku jest wielkością stałą.
Pozostaje zbadać, czy zależność ta jest prawdziwa dla dowolnego trójkąta, a jeśli tak, to czym jest ta stała wielkość, będąca ilorazem długości boku i sinusa odpowiedniego kąta w danym trójkącie.
W dowolnym trójkącie na płaszczyźnie stosunki długości boków do sinusów przeciwległych kątów są równe średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie:
Rozważmy najpierw trójkąt prostokątny i przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Bezpośrednio z definicji funkcji sinus kąta w trójkącie prostokątnymsinus kąta w trójkącie prostokątnym mamy: , czyli . Analogicznie możemy postąpić z drugą przyprostokątną. Pamiętając, że oraz przyjmując oznaczenie , możemy zapisać, że . Co kończy dowód w przypadku trójkąta prostokątnego.
Rozważmy teraz dowolny trójkąt ostrokątny i przyjmijmy oznaczenia takie, jak na rysunku.
Odcinek jest średnicą okręgu (trójkąt jest prostokątny).
Pokażemy, że . Zauważmy, że kąty i są kątami wpisanymi w dany okrąg i są oparte na tym samym łuku, zatem są równe. Stąd . Ale , więc , co należało wykazać.
Analogicznie, dorysowując odpowiednio średnice i cięciwy poprowadzone z pozostałych wierzchołków, można udowodnić, że stosunek długości każdego z pozostałych boków do sinusa kąta leżacego naprzeciwko danego boku jest równy średnicy okręgu opisanego na danym trójkącie.
Dowód w przypadku trójkąta rozwartokątnego jest treścią Ćwiczenia 1.
Słownik
stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej w tym trójkącie