Przeczytaj
Przypomnijmy podstawowe pojęcia związane ze stożkiemstożkiem.
Stożek to bryła przestrzenna, którą otrzymujemy przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z jego przyprostokątnych.
W stożku stosujemy oznaczenia takie, jak na poniższym rysunku:
– promień podstawy stożka,
– tworząca stożka,
– wysokość stożka,
– kąt rozwarcia stożka.
Pole powierzchni całkowitej stożka obliczamy ze wzoru:
Objętość stożka
Objętość dowolnego stożka obliczamy ze wzoru:
Ponieważ podstawa stożka jest kołem o promieniu długości , zatem:
Objętość walcawalca jest równa objętości trzech stożków o tym samym promieniu podstawy i wysokości.
Wyznaczymy objętość stożka, w którym wysokość jest trzy razy dłuższa niż promień podstawy, a tworząca ma długość .
Rozwiązanie
Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.
Ponieważ promień podstawy, wysokość i tworząca stożka tworzą trójkąt prostokątny, zatem, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, układamy i rozwiązujemy równanie:
, czyli .
Wysokość stożka jest równa , zatem objętość tego stożka wynosi:
.
Obliczymy objętość stożka, w którym promień podstawy, wysokość i tworząca w kolejności ich występowania tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy .
Rozwiązanie
Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia:
Promień, wysokość oraz tworząca stożka tworzą trójkąt prostokątny, korzystamy zatem z twierdzenia Pitagorasa i rozwiązujemy równanie:
.
Zatem .
Wobec tego wysokość stożka jest równa .
Objętość stożka wynosi:
.
Obliczymy objętość stożka, w którym cosinus kąta rozwarcia wynosi , a tworząca ma długość .
Rozwiązanie
Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia:
Z zadania wynika, że długość tworzącej oraz .
Do wyznaczenia długości promienia podstawy stożka wykorzystamy twierdzenie cosinusów.
Zatem:
, czyli
.
Długość wysokości stożka obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
, czyli .
Objętość tego stożka jest równa:
.
Obliczymy objętość bryły będącej sumą dwóch wypukłych stożków z rysunku:
Rozwiązanie
Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia, jak na poniższym rysunku:
Zauważmy, że:
oraz
W stożku o tworzącej długości zachodzi zależność .
Zatem objętość omawianej bryły jest równa:
.
Wobec tego:
.
Na rysunku przedstawiono stożek ścięty, w którym i są promieniami podstaw, a jego wysokością.
Objętość stożka ściętego z rysunku obliczamy ze wzoru:
Obliczymy długość promienia dolnej podstawy w stożku ściętym o objętości , jeżeli promień górnej podstawy ma długość , a wysokość stożka .
Rozwiązanie
Z treści zadania wynika, że:
,
,
.
Po podstawieniu tych danych do wzoru na objętość stożka ściętego:
.
Do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:
.
Równanie przekształcamy do postaci:
,
,
,
.
Zatem promień dolnej podstawy stożka ściętego jest równy .
Słownik
bryła powstała w wyniku obrotu płaszczyzny trójkąta prostokątnego o kąt pełny względem osi przechodzącej przez jedną z przyprostokątnych tego trójkąta
bryła obrotowa, która powstaje przez obrót prostokąta dookoła osi zawierającej jeden z jego boków