Stożek to bryła przestrzenna, którą otrzymujemy przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z jego przyprostokątnych.

Wyznaczymy objętość stożka, w którym wysokość jest trzy razy dłuższa niż promień podstawy, a tworząca ma długość $20$.

Rozwiązanie

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

RYqOIMovRtssb

Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości trzy r, promieniem podstawy stożka o długości r oraz tworzącą stożka o długości dwadzieścia.

Ponieważ promień podstawy, wysokość i tworząca stożka tworzą trójkąt prostokątny, zatem, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, układamy i rozwiązujemy równanie:

$r^2+{\left(3r\right)}^2={20}^2$

$10r^2=400$

$r^2=40$, czyli $r=2\sqrt{10}$.

Wysokość stożka jest równa $3r=6\sqrt{10}$, zatem objętość tego stożka wynosi:

$V=\frac{1}{3}·\pi ·{\left(2\sqrt{10}\right)}^2·6\sqrt{10}=80\pi \sqrt{10}$.

Obliczymy objętość stożka, w którym promień podstawy, wysokość i tworząca w kolejności ich występowania tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $3$.

Rozwiązanie

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia:

RV7pQFUwX97Ia

Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości r dodać trzy, promieniem podstawy stożka o długości r oraz tworzącą stożka o długości r dodać sześć.

Promień, wysokość oraz tworząca stożka tworzą trójkąt prostokątny, korzystamy zatem z twierdzenia Pitagorasa i rozwiązujemy równanie:

$r^2+{\left(r+3\right)}^2={\left(r+6\right)}^2$

$r^2+r^2+6r+9=r^2+12r+36$

$r^2-6r-27=0$.

Zatem $r=9$.

Wobec tego wysokość stożka jest równa $r+3=12$.

Objętość stożka wynosi:

$V=\frac{1}{3}·\pi ·9^2·12=324\pi$.

Obliczymy objętość stożka, w którym cosinus kąta rozwarcia wynosi $\frac{3}{4}$, a tworząca ma długość $4$.

Rozwiązanie

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia:

RoARU8SCOXEw4

Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości h, tworząca stożka o długości l, promieniem podstawy stożka o długości r oraz kącie rozwarcia o wartości alfa.

Z zadania wynika, że długość tworzącej $l=4$ oraz $\cos \alpha =\frac{3}{4}$.

Do wyznaczenia długości promienia $r$ podstawy stożka wykorzystamy twierdzenie cosinusów.

Zatem:

${\left(2r\right)}^2=4^2+4^2-2·4·4·\frac{3}{4}$

$4r^2=16+16-24$

$4r^2=8$, czyli $r^2=2$

$r=\sqrt{2}$.

Długość wysokości stożka obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$r^2+h^2=l^2$

${\left(\sqrt{2}\right)}^2+h^2=4^2$

$h^2=14$, czyli $h=\sqrt{14}$.

Objętość tego stożka jest równa:

$V=\frac{1}{3}·\pi ·{\left(\sqrt{2}\right)}^2·\sqrt{14}=\frac{2\sqrt{14}}{3}\pi$.

Obliczymy objętość bryły będącej sumą dwóch wypukłych stożków z rysunku:

RJsvzy7z3qeNU

Grafika prezentuje dwa wypukłe stożki posiadające tę samą podstawę. W górnym stożku tworząca stożka ma długość trzy pierwiastki z sześciu, natomiast jego kąt rozwarcia wynosi sześćdziesiąt stopni. Kątem rozwarcia drugiego, dolnego stożka jest kąt prosty.

Rozwiązanie

Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia, jak na poniższym rysunku:

RIIvYIkJDopkp

Grafika prezentuje dwa wypukłe stożki posiadające tę samą podstawę. W górnym stożku tworząca stożka ma długość trzy pierwiastki z sześciu, natomiast jego kąt rozwarcia wynosi sześćdziesiąt stopni. Kątem rozwarcia drugiego, dolnego stożka jest kąt prosty. Wysokość pierwszego stożka oznaczona jest jako x, natomiast wysokość stożka dolnego oznaczona została jako y. Promień podstawy stożków został opisany jako r, a tworząca drugiego stożka jako a.

Zauważmy, że:

$r=\frac{3\sqrt{6}}{2}$ oraz $x=\frac{3\sqrt{6}·\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$

W stożku o tworzącej długości $a$ zachodzi zależność $y=r=\frac{3\sqrt{6}}{2}$.

Zatem objętość $V$ omawianej bryły jest równa:

$V=\frac{1}{3}·\pi ·r^2·x+\frac{1}{3}·\pi ·r^2·y=\frac{1}{3}·\pi ·r^2·\left(x+y\right)$.

Wobec tego:

$V=\frac{1}{3}·\pi ·{\left(\frac{3\sqrt{6}}{2}\right)}^2·\left(\frac{9\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{6}}{2}\right)=\left(\frac{81\sqrt{2}}{4}+\frac{27\sqrt{6}}{4}\right)\pi$.

Obliczymy długość promienia dolnej podstawy w stożku ściętym o objętości $30\pi$, jeżeli promień górnej podstawy ma długość $3$, a wysokość stożka $9$.

Rozwiązanie

Z treści zadania wynika, że:

$V=30\pi$,

$r=3$,

$H=9$.

Po podstawieniu tych danych do wzoru na objętość stożka ściętego:

$V=\frac{1}{3}·\pi ·H·\left(r^2+r·R+R^2\right)$.

Do wyznaczenia wartości $R$ rozwiązujemy równanie:

$30\pi =\frac{1}{3}·\pi ·9·\left(3^2+3·R+R^2\right)$.

Równanie przekształcamy do postaci:

$R^2+3R-1=0$,

$\Delta =9+4=13$,

$R_1=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}<0$,

$R_2=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}>0$.

Zatem promień dolnej podstawy stożka ściętego jest równy $\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$.

bryła powstała w wyniku obrotu płaszczyzny trójkąta prostokątnego o kąt pełny względem osi przechodzącej przez jedną z przyprostokątnych tego trójkąta

bryła obrotowa, która powstaje przez obrót prostokąta dookoła osi zawierającej jeden z jego boków